Методы решения инженерных задач применительно к области транспортного и тягового машиностроения

Приближенное значение функции в точке х = 4, т. е. f(x) L3(4) определим по формуле (5.3):

Следовательно, при значительно меньшем объёме расчетов получен тот же результат.

П р и м е р 5.4

Функция задана таблично, табл. 5.5.

Таблица 5.5

На языке Delphi разработать программу для вычисления функции с использованием интерполяционного многочлена Лагранжа и определить функцию при х = 0,263.

Некоторые рекомендации по разработке программы на языке Delphi

1.Вид файла исходных данных Жамойдик Н.Б. Савко А.И. 101219

6 0.263 {число данных, рассчитать функцию при 0,263}

0.05 0.1 0.17 0.25 0.30 0.36 {значения х-в} 0.050042 0.100335 0.171657 0.255342 0.309336 0.376403 {значе-

ния у-в} 150

2. Дизайн главной формы с использованием компоненты StringGrid.

3. В данной программе глобальный модуль используется только для описания глобальных переменных и массивов.

unit Global; interface

type Mas=array[0..10] of real; MasXY=array[0..10,0..10] of real; Var Fr,Fw : TextFile; FIO,nGr : string; n : integer;

X,Y,D,YD : Mas; XY : MasXY; x0,Sum,P,Rez : real; implementation

end.

4. Главный модуль.

4.1. Подпрограмма создания главной формы

procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject); Var i : integer;

begin

151

//размещение данных в ячейках таблицы StringGrid2 for i:=0 to n-1 do Cells[i+1,0]:=''+IntToStr(i);

for i:=0 to n-1 do Cells[i+1,1]:=' '+FloatToStr(X[i]); for i:=0 to n-1 do Cells[i+1,2]:=''+FloatToStr(Y[i]);

end;

end; //конец подпрограммы создания формы

152

4.2. Подпрограмма расчета

procedure TForm1.BitBtn1Click(Sender: TObject); //расчет var i,j:integer;

begin

for i:=0 to (n-1) do D[i]:=1;

for i:=0 to (n-1) do //расчет разностей for j:=0 to (n-1) do begin

if (i=j) then XY[i,j]:=x0-X[i] else XY[i,j]:=X[i]-X[j]; end;

with StringGrid1 do //размещ. разностей по ячейкам String-

Grid1

for i:=0 to (n-1) do

for j:=0 to (n-1) do Cells[i+1,j+1]:=FloatToStr(XY[j,i]); for i:=0 to (n-1) do //расчет произв. строк таблицы

for j:=0 to (n-1) do D[i]:=D[i]*XY[i,j];

with StringGrid1 do //размещ. произв. строк по ячейкам String-

Grid1

for i:=0 to (n-1) do Cells[n+1,i+1]:=FloatToStr(D[i]);

for i:=0 to (n-1) do YD[i]:=Y[i]/D[i]; //расчет частного от деления уi/Di

with StringGrid1 do //размещ. частного по ячейкам StringGrid1 for i:=0 to (n-1) do Cells[n+2,i+1]:=FloatToStr(YD[i]);

Sum:=0; //расчет суммы уi/Di

for i:=0 to (n-1) do Sum:=Sum+YD[i]; Edit3.Text:=FloatToStr(Sum);

P:=1; //расчет произведения значен. ячеек на главн. диа-

гонали

for i:=0 to (n-1) do P:=P*XY[i,i]; Edit2.Text:=FloatToStr(P);

Rez:=P*Sum; //результат вычисления функции

Edit1.Text:=FloatToStr(Rez); end; //конец подпрограммы расчет

153

5. Главная форма с результатами расчета

Ответ. Значение функции, заданной таблично, при х = 0,263 рав-

но f(x) = 0,269236.

Разделенные разности

Существует множество разностных методов интерполяции. Однако наиболее распространен метод Ньютона для интерполяции вперед, который в литературе известен как метод Ньютона–Грегори. Интерполяционный многочлен этого метода имеет вид

Pn (x) c0 c1 x x0 c2 x x0 x x1 ...

cn x x0 x x1 ... (x xn ).

Коэффициенты сi позволяющие записать систему находят из урав-

нений Рn(x) = yi, i = 0, 1, … , n:

c0 = y0;

c0 + c1(x1 – x0) = y1;

c0 + c1(x2 – x0) + c2(x2 – x0)(x2 – x1) = y2;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c0 + + cn(xn – x0)(xn – x1) (xn – xn + 1) = yn.

154

Это линейная система уравнений с треугольной матрицей. Вычисление коэффициентов сi по этой системе не вызывает затруднений.

Однако существует и более простой способ определения коэффициентов сi, основанный на применении правых конечных разностей.

Если значения х заданы через равные промежутки h = xi + 1

в общем случае хi = x0 + ih, где i = 1, 2, , n. Это выражение позволяет привести исходные уравнения к виду

у0 = с0;

y1 = c0 + c1h;

y2 = c0 + 2hc1 + 2h²c2;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

yi = c0 + cih + c2ih((i = 1)h) + + ci(i!)h,

откуда для коэффициентов сi получаются следующие выражения:

Здесь у0 называется первой разностью. Продолжая вычисления, находим

21h2 y2 y0 y1 y1 y0 y0 21h2 y2 y1 y1 y0 21h2 2 y0,

где ²у0 – вторая правая разность, представляющая собой разность разностей.

Коэффициент сi можно представить в виде

ci i y0i .

i! h

155

В общем случае разности более высоких порядков для функции y = f(x) в интервале х0 ≤ х ≤ xn определяются выражением

j yi j 1 yi 1 i 1 yi ,

где i = 0, 1, 2, …, n – j.

156

За х0 можно принять любой хi, например х0 = 20 . Необходимые

разности стоят на диагонали, идущей от х0 вниз. Количество используемых разностей высших порядков может быть любым, но чем оно больше, тем выше точность полученного результата.

Одно из достоинств рассматриваемого метода в том, что он позволяет уточнять результат, используя дополнительные разности, причем нет необходимости вычисления начинать сначала. Поэтому в случае, когда неизвестно, сколько членов следует брать, их количество можно увеличивать до тех пор, пока их вклад не станет пренебрежительно мал.

В нашем примере шаг h = 10 . Используя только первую разность, найдем

Наконец, с помощью третьей разности найдем

y(23) y(23) 3 y0 23 20 23 30 23 40 6h3

0,39100 0,00435 3 ( 7) ( 17) 0,39074. 6 103

Это значение у(23) очень близко к точному значению, равному

0,39073.

Ответ. Значение функции, заданной таблично, при х = 23 равно

0,39074.

Таким образом, рассмотренные методы интерполяции и программы, разработанные на языке Delphi, позволяют вычислять значения функций, заданных таблично, при любом значении аргумента, нахо-

дящегося в пределах x0 x xn.

157