Методы решения инженерных задач применительно к области транспортного и тягового машиностроения

с использованием встроенной функции rkfixed

110

Ответ. В результате решения заданного уравнения получены таблица результатов и графическая зависимость.

Далее наглядно представим последовательность действий метода Рунге–Кутта 4-го порядка путем создания программы, реализующей данный метод в среде MathCAD. Программная реализация метода Рунге–Кутта4-го порядкав средеMathCAD представлена нарис. 3.12.

Рис. 3.12. Программная реализация метода Рунге–Кутта 4-го порядка в среде MathCAD

111

Вкорректности работы программы легко убедиться, сравнив решения, полученные с помощью встроенных функций и представленного алгоритма.

На каждом шаге алгоритм аппроксимирует дифференциальное уравнение по приведенной схеме, поэтому попытаемся проанализировать, какие факторы влияют на точность полученных с его помощью результатов. Очевидно, возникает ошибка приближения искомой функции параболой при использовании формулы Симпсона,

атакже погрешность усреднения значений k2 и k3 в центральной точке подынтервала. Такой подход к оценке погрешности можно назвать геометрическим. С аналитической точки зрения метод Рунге– Кутта 4-го порядка для нахождения решения использует только первые пять слагаемых, полученных при разложении искомой функции в ряд Тейлора в окрестности заданной точки. Если на отдельном шаге погрешность пренебрежимо мала, то на интервале происходит накопление ошибки, что отражается на точности результата. Поэтому важно выбрать оптимальное соотношение между длиной шага и их количеством, при котором погрешность аппроксимации окажется минимальной, а время расчета приемлемым. Как правило,

суменьшением длины шага точность возрастает до определенной величины, которая не меняется при дальнейшем разбиении интервала. Проиллюстрируем сказанное.

Втабл. 3.5 приведены истинные решения задачи Коши у'(t) = t2 – у, у(0) = 1 на интервале [0; 10], а также рассчитанные алгоритмом (см. рис. 3.12) при различной длине шага.

Таблица 3.5

Решения задачи Коши у'(t) = t2 – у, у(0) = 1 на интервале [0; 10] методом Рунге–Кутта 4-го порядка

112

Окончание табл. 3.5

Как видно из табл. 3.5, при длине шага, равной 0,1 (используемой системой по умолчанию), решения оказываются точными до четвертого знака. Уменьшение длины шага до 0,01 увеличивает точность до седьмого знака. Подобная закономерность реализуется далеко не для всех функций. Выбор желаемого уровня точности остается за пользователем, но зачастую оценить величину ошибки при той или иной длине шага просто невозможно. В этом случае альтернативным оказывается метод Рунге–Кутта с переменным шагом (адаптивный метод), лежащий в основе работы функций rkadapt и Rkadapt. В каждой узловой точке интервала этот алгоритм находит два варианта решения, используя схемы Рунге–Кутта 4-го и 5-го порядков. Если разность между полученными значениями оказывается меньше допустимой величины ошибки (которую можно заранее задать через системную переменную Т0L), то длина шага увеличивается. Если же разность превысит ошибку, то следующую точку интервала алгоритм определит с меньшей длиной шага. В случае равенства обоих параметров шаг остается постоянным. Адаптивный метод целесообразно использовать для нахождения неоднородных решений, меняющихся с различной скоростью на том или ином участке интервала. Это позволит сократить время расчета, поскольку для некоторых функций хороший результат может быть получен и при использовании алгоритмом небольшого количества шагов.

Варианты заданий

Решить задачу Коши для заданных дифференциальных уравнений y f (x, y) на отрезке [a, b] при заданном начальном условии

у(а) = y0 и шаге интегрирования h.

113

114

Варианты заданий

Решить задачу Коши для заданной системы дифференциальных

118

Лабораторная работа № 4

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Цель работы

1.Освоить методику численного интегрирования методами трапеций, парабол (Симпсона), Гаусса, разработать программы для вычисления определённых интегралов названными методами на языке Delphi, а также научиться вычислять интегралы в символьном виде

спомощью пакета MathCAD.

2.Ознакомиться с методом вычисления производных по табличным данным.

Основные понятия

Из курса математического анализа известно, что если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то определенный интеграл от этой функции в пределах от а до b существует и имеет вид

b

f (x)dx F(b) F(a),

a

где F(x) – первообразная для функции f(х).

Для большинства элементарных функций первообразную F(x) не удается выразить через элементарные функции. Кроме того, при практических расчетах подынтегральная функция задается в виде таблиц. Все это приводит к необходимости замены интегрирования численными методами.

Задача численного интегрирования состоит в следующем: найти определенный интеграл на отрезке [a, b], если подынтегральная функция на отрезке [a, b] задана таблично.

Формулы приближенного интегрирования называются квадратурными формулами. Рассмотрим простейшие из них.

119