Методы оптимизации, технические приложения

21

бодные, то есть, решаем систему ограничений заданной задачи. 3. Выражаем целевую функцию через свободные переменные.

4. Полученную двухмерную задачу решаем обычным графическим методом.

5. Найдя координаты оптимального решения двухмерной задачи, подставляем их в ограничения исходной задачи и определяем остальные координаты оптимального решения.

n m n m 1 2 3 2 3 1 2 . Следовательно, задача может быть решена графически. Выберем две свободные переменные,

22

Пример 1.9. Найти максимум функции

f 4x1 2x2 x4 8

при ограничениях:

2x1 x2 x3 14; x2 x4 8;

x1 x2 x5 4;

2x1 3x2 x6 6;

xj 0; j 1,6.

Ре ш е н и е . В качестве свободных переменных примем, напри-

23

x2 : f 4x1 2x2 8 x2 8 4x1 x2 . Опуская неотрицательные переменные x3; x4 ; x5; x6 , получаем задачу с двумя переменными:

f 4x1 x2 max ;

при ограничениях:

2x1 x2 14; x2 8;

x1 x2 4;

2x1 3x2 6; x1 0; x2 0.

1.5. Аналитическое решение задач линейного программирования

Аналитическое решение задач линейного программирования осуществляется в следующей последовательности.

1.Задачу приводим к каноническому виду.

2.Выбираем базисные и свободные переменные. Переменные

25

при ограничениях:

2x1 x2 10; x1 x2 8;

0 x1 10;

0 x2 8.

Р е ш е н и е . 1. Заданная система ограничений не содержит базиса. Поэтому вводим в нее дополнительные переменные x3, x4 , x5, x6 , образующие некоторый базис:

2. Выразим базисные переменные x3, x4 , x5, x6 через свободные переменные x1, x2 :

x3 10 2x1 x2 ; x4 8 x1 x2 ; x5 10 x1;

x6 8 x2 .

3. Приравняв свободные переменные к нулю, получим значения базисных переменных: x3 10; x4 8; x5 10; x6 8 . Базисным ре-

шением будет X1 0, 0, 10, 8, 10, 8 .

4. Так как целевая функция уже выражена через свободные переменные, то находим ее значение f 8 0 12 0 0 .

5. Функцию f можно увеличивать путем увеличения значений x1 , или x2 . Увеличим, например, x2 .

Из системы пункта 2 видно, что наибольшее значение, которое может принять x2 , равно 8.

26

6. Перейдем к новому базису, состоящему из x3; x4 ; x5; x2 , т.е. из предыдущего базиса выведем переменную x6 , а переменную x2

введем в базис.

Перед выполнением следующего шага выразим эти переменные и целевую функцию f через свободные переменные x1 и x6 . Это

легко сделать, если решить систему пункта 2 относительно новых базисных переменных:

x3 10 2x1 x2 10 2x1 8 x6 2 2x1 x6 ; x4 8 x1 x2 8 x1 8 x6 x1 x6 ;

x5 10 x1;

7. Дальнейшее увеличение f возможно только за счет x1 . Анализ

f 8x1 96 x6 8 1 0,5x3 0,5x6 96 x6

8 4x3 4x6 96 x6 104 4x3 3x6.

Значение целевой функции на новом базисе равно 104: f 104.

9. Значение целевой функции снова можно увеличить и только за счет переменной x6 .

Из системы пункта 8 видим, что x6 может быть не более 8 (ина-

че x2 0 ).

10. Переходим к новому базису: x1; x4 ; x5; x6 :

f 104 4x3 3 8 x2 104 4x3 24 3x2 128 4x3 3x2.

Значение целевой функции на новом базисе равно 128, т.е., целевая функция снова возросла. Дальнейшее увеличение f невозможно,

1.6. Симплексный метод

Наиболее широко применяется метод при решении задач линейного программирования симплексный метод (симплекс-метод). Впервые он был предложен американским ученым Дж. Данцигом

(1949).

Основан симплекс-метод на идее последовательного улучшения плана. При реализации симплекс-метода осуществляется переход от одной вершины многогранника, являющегося областью допустимых решений задачи линейного программирования, к другой. При этом для задач на максимум перемещение ведется вдоль тех ребер, где целевая функция возрастает. Для задач на минимум перемещение осуществляется вдоль ребер, в направлении которых целевая функция убывает. При достижении оптимальной вершины движение прекращается.

Как отмечалось ранее, если линейная (целевая) функция принимает максимальное (минимальное) значение более чем в одной вершине, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих вершин.

Решение задачи симплекс-методом начинается с приведения ее к каноническому виду, исключения из целевой функции базисных переменных и определения начального опорного плана.

Нахождение опорного плана в симплекс-методе чаще осуществляем с помощью симплексной таблицы (табл.1.1).

28

Таблица 1.1

В первом столбце таблицы приводятся базисные переменные (БП). Вторым столбцом является столбец свободных членов. Далее в таблице следуют столбцы со свободными переменными (СП). aij

– коэффициенты системы ограничений исходной задачи. Последняя строка таблицы называется f-строкой. В ней в столбце свободных членов указывается значение целевой функции, а в столбцах, соответствующих свободным переменным, – коэффициенты целевой функции. Для заполнения таблицы из системы ограничений заданной задачи, имеющей канонической вид, выражаем базисные переменные через свободные. Так как свободные переменные записаны со знаком минус, то коэффициенты aij берем из полученных урав-

нений (для базисных переменных) с противоположным знаком. Коэффициенты целевой функции записываем в f-строку также с противоположным знаком.

Возможны два случая.

С л у ч а й 1 . В столбце свободных членов все элементы положительные, т.е. начальный опорный план есть. Он получается приравниванием базисных переменных соответствующим элементам столбца свободных членов, а свободных переменных – к нулю.

Затем просматриваем элементы f-строки и выбираем наибольший по абсолютной величине отрицательный элемент c j ( если за-

дача на max). Можно брать и любой из отрицательных элементов в f-строке. Столбец j, соответствующий выбранному отрицательному элементу c j , будет разрешающим.

Затем находим отношение элементов столбца свободных членов к элементам разрешающего столбца (только для элементов одинакового знака). Наименьшее частное будет определять разрешающую строку. Элемент, стоящий на пересечении разрешающей стро-

29

ки и разрешающего столбца, называется разрешающим.

Далее с разрешающим элементом делаем шаг обычных симплексных преобразований:

разрешающий элемент заменяем обратной величиной;

остальные элементы разрешающей строки и разрешающего столбца делим на разрешающий элемент. При этом знак меняется либо для элементов строки, либо для элементов столбца;

другие элементы таблицы находим по правилу прямоугольника: разность произведений элементов, расположенных на главной и побочной диагоналях, делится на разрешающий элемент:

где am1 – разрешающий элемент.

Главной называется диагональ, содержащая разрешающий элемент. Прямоугольник образуется путем опускания перпендикуляров из рассматриваемого элемента на разрешающую строку и разрешающий столбец. В новой заполняемой таблице из базисных переменных выводится переменная, соответствующая разрешающей строке, а на ее место записывается переменная, соответствующая разрешающему столбцу, и наоборот: из свободных переменных выводится переменная, соответствующая разрешающему столбцу, а на ее место вводится переменная, соответствующая разрешающей строке.

В результате выполненных вычислений получаем новый опорный план.

С л у ч а й 2 . В столбце свободных членов есть отрицательные числа, т.е. начальный опорный план отсутствует. Разрешающий элемент в этом случае выбирается следующим образом:

просматриваем строку, соответствующую отрицательному свободному члену, и выбираем в ней какой-либо отрицательный элемент. Если отрицательных элементов в выбранной строке нет, то решения не существует;

столбец, содержащий выбранный отрицательный элемент, принимаем за разрешающий;

находим отношение элементов столбца свободных членов к соответствующим элементам разрешающего столбца и выбираем из полученных частных наименьшее. Наименьшее частное будет определять разрешающую строку и разрешающий элемент;

с разрешающим элементом делаем шаг обычных симплексных преобразований.

30

Пример 1.11. Найти какой-нибудь опорный план задачи f 4x1 6x2 max ;

при ограничениях:

Р е ш е н и е . Введем в систему ограничений неотрицательные базисные переменные x3 и x4 :

x1 x2 x3 6;

2x1 4x2 x4 8.

Откуда

x3 6 x1 x2 ;

x4 8 2x1 4x2 .

Составим симплексную таблицу (табл. 1). Таблица 1

Из таблицы видно, что начальный опорный план есть (в столбце свободных членов все элементы положительные) X * 0,0,6,8 .

Если посмотреть на график (рис. 1.9), то видим, что опорная прямая проходит через вершину области допустимых решений.

Для построения другого опорного плана в f-строке выбираем элемент (– 6), соответствующий переменной x2 . Столбец x2 будет

разрешающим. Затем находим минимальное отношение элементов столбца свободных членов к элементам разрешающего столбца:

т.е. строка, содержащая базисную переменную x4 , является разре-

шающей. Элемент (4), стоящий на пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца, является разрешающим. С этим элементом делаем шаг симплексных преобразований (табл. 2).