Методы оптимизации, технические приложения

171

4.Решаем задачу линейного программирования с дополнительным ограничением, полученным на третьем шаге.

5.Переходим к пункту 2.

Главное в данном методе – правильно выбрать отсекающую гиперплоскость. Она должна быть линейной, отсекать найденное оптимальное нецелочисленное решение задачи линейного программирования (6.4)–(6.6), и не должна затрагивать ни одной целочисленной точки задачи (6.1)–(6.3).

Рассмотрим предложенный Р. Гомари алгоритм выбора отсекающей гиперплоскости. Обозначим Jб – множество индексов, соответствующих базисным переменным; Jнб – множество индексов, соответствующих небазисным переменным. Тогда после каждой итерации система ограничений задачи будет иметь вид

xi i ij x j ,

ченное решение не будет оптимальным для задачи целочисленного программирования. В этом случае строится отсекающая гиперплоскость, и процесс решения повторяется.

Гиперплоскость, согласно правилу отсечения Гомари, определяется по формуле

i ij x j 0 ,

j J нб

где i и ij – дробная положительная часть чисел i и ij соот-

ветственно.

Например, β = 2,7. Тогда {β} = 0,7. Для β = – 8,3 положительная дробная часть будет равна {– 8,3} = 0,7. Целая часть числа обозначается [βi]. Для β = 2,7 целая часть [2,7] = 2. Для β = – 8,3 целая

ij [ ij ] { ij } .

Правило Гомари получается путем следующих рассуждений.

172

Пусть в полученном для задачи линейного программирования оптимальном решении некоторое i0 – не целое. Составим условие

оптимальности для строки i0, в которой находится число i0 :

Затем находим целую и дробную части его коэффициентов. Со-

Первая скобка представляет собой разность целых чисел. Следовательно, она является целой. Тогда для того чтобы xi0 было це-

Пример 6.2. Используя метод отсечения, найти максимальное значение целевой функции

f=70x1 + 30x2

при ограничениях:

10х1 + 4х2 40;

6х1 + 4х2 36;

173

х1, х2 0; х1, х2 – целые.

Р е ш е н и е . 1. Вводим базисные переменные х3 и х4:

10х1 + 4х2 + х3 = 40; 6х1 + 4х2 + х4 = 36.

Откуда

х3 = 40 – 10х1 – 4х2; х4 = 36 – 6х1 – 4х2.

2. Составляем исходную симплексную таблицу (табл.1).

Таблица 1

3. Используя табличный симплекс-метод, находим оптимальное решение задачи линейного программирования (табл.2, 3).

Таблица 2

Оптимальное решение задачи линейного программирования есть

4.Так как в полученном плане не все значения базисных переменных целые, то найденный план не является оптимальным для задачи целочисленного программирования.

5.Составляем уравнение отсекающей гиперплоскости для х2:

174

Вводим новую базисную переменную х5, обращающую последнее неравенство в равенство:

58 x3 58 x4 x5 21 .

Выражаем базисную переменную х5 через свободные переменные:

x5 21 58 x3 58 x4.

С учетом полученного ограничения составляем новую симплексную таблицу (табл. 4).

Таблица 4

Эта таблица соответствует расширенной задаче линейного программирования. Содержащийся в ней план не является опорным, так как в столбце свободных членов содержится отрицательный элемент

симплексное отношение

Оно соответствует элементу 53 85 .

С найденным разрешающим элементом делаем шаг симплексных преобразований (табл. 5).

Таблица 5

В полученном плане базисные переменные снова не целые:

ным для задачи целочисленного программирования. Строим новую отсекающую гиперплоскость. В качестве компоненты i, i I6, принимаем i с большей дробной частью i. В нашем случае дробная часть { i} одинакова во всех свободных членах, поэтому выбираем любое i, например, i = 3. Уравнение отсекающей гиперплоскости будет иметь вид

Откуда 52 x5 54 . Вводим новую базисную переменную х6:

52 x5 x6 54 .

Выражаем х6 через свободные переменные:

x6 54 52 x5.

Запишем новую симплексную таблицу (табл. 6).

Содержащийся в таблице план не является опорным, так как в столбце свободных членов есть отрицательный элемент.

Строим опорный план.

Фиксируем столбец х5. Он будет разрешающим. Находим минимальное отношение

ченным разрешающим элементом делаем шаг симплексных преобразований (табл. 7).

Таблица 7

Получим план X* = (0, 0, 4, 0, 2, 0). Он является оптимальным как для расширенной задачи линейного программирования, так и для задачи целочисленного программирования, так как все элементы хj – целые.

177

Упражнения

1. Решить задачи методом отсечения.

1.1. f x1 4x2 x3 min ; x1 x2 2x3 3;

2x1 x2 1; 2x2 3x3 4;

x j 0, j 1,3; x j целые .

1.2. f 4x1 3x2 max; 8x1 2x2 88;

x1 22; 5x2 90;

178

3x1 2x3 18;

x1 4x2 2x5 1;

x2 2x4 2;

x3 3x4 x5 3;

179

ЛИТЕРАТУРА

1.Горлаг Б.А., Шахов В.Г. Математическое моделирование. Построение моделей и численная реализация. М.: Высшая школа. 2018. – 280с.

2.Королев А.В. Экономика – математические методы и моделирование. Учебник и практикум для бакалавриата и магистратуры. М.: Высшая школа. 2018 – 280 с.

3.Лебедева Г.И. Прикладная математика. Математические модели в транспортных системах /Г.И. Лебедева, Н.А. Микулик, Минск: Асар, 2009.