Методы оптимизации, технические приложения

2.Задачи 1.1–1.20 решить распределительным методом.

3.Задачи 1.1–1.20 решить методом потенциалов.

144

ГЛАВА 5. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА В СЕТЕВОЙ ФОРМЕ

5.1. Основные понятия из теории графов

Помимо матричной формы транспортная задача может быть представлена в виде схемы сети. Сетевая форма транспортной задачи является более наглядной, так как хорошо отражает реальную картину перевозок. Кроме того, сетевой метод позволяет учесть пропускную способность отдельных участков транспортнодорожной сети, в то время как матричная форма позволяет учесть только пропускную способность приемных пунктов. Сетевая форма транспортной задачи требует и меньше подготовительных работ: если погрузка и выгрузка совершаются в узлах, то для решения задачи требуется всего лишь раз составить макет сети с указанием расстояния или стоимости перевозки.

Рассматриваемая транспортная задача непосредственно связана с теорией графов.

Графом называется множество точек, соединенных отрезками. Обозначается граф G(I, K), где I=1, 2,..., п – множество точек. Точки, входящие в множество I, называются вершинами графа. К – множество отрезков, соединяющих вершины графа. Эти отрезки называются ребрами графа. Пример графа показан на рис. 5.1. Точки 1, 2, 3, 4, 5 являются вершинами графа. Ребрами являются отрезки (1-2), (1-3), (1-4), (2-3), (3-4), (2-5), (3-5), (4-5). Если ребра графа ориенти-

рованы, т.е. имеют определенное направление движения, то граф называется ориентированным. Если ребра графа неориентированы, то граф называется неориентированным. Граф, в котором содержатся как ориентированные, так и неориентированные ребра, называется смешанным. Примеры названных графов показаны на рис. 5.2– 5.4.

Любые две вершины графа называются смежными, если они соединены ребром. Для графа, показанного на рис. 5.3, смежными являются следующие пары вершин: (1–2), (1–3), (1–5), (2–4), (3–4), (4–5). Два графа называются изоморфными, если между их вершинами существует соответствие, сохраняющее смежность.

145

Пример изоморфных графов показан на рис. 5.5.

Изоморфизм графов обозначает G H . Подграфом графа G называется граф, у которого все вершины и ребра принадлежат графу G. Для графа, приведенного на рис. 5.6, подграф показан на рис. 5.7. Граф, у которого все вершины соединены между собой, называется полным (рис. 5.8).

146

Степенью вершины называется число ребер графа, которым принадлежит эта вершина.

Для графа, показанного на рис. 5.9, степень вершины 1 равна 1, степень вершины 2, равна 2. Степень вершины может быть четной или нечетной. Число вершин нечетной степени – четно. Это утверждение справедливо для любого графа. Дугой на графе называется ориентированная пара (xi-хj) вершин xi и хj. Например, для графа, показанного на рис.5. 10, дугами являются: (1-2), (2-1), (3-4) и (4-3).

Путем (маршрутом) на графе называется последовательность сцепленных дуг, позволяющих пройти из одной вершины в другую. Для графа, показанного на рис. 5.11, примерами пути являются:

(1-2-5-6), (1-2-5-4), (1-4-6), (1-4-6-5), (1-4-5-2).

147

Маршрут называется цепью, если все его ребра различны. Примером цепи является рис. 5.12. На графе цепь выделена двойной линией.

Цепь называется простой, если все ее вершины различны. На приведенном примере показана простая цепь.

Замкнутая простая цепь называется циклом. Пример цикла показан на рис. 5.13.

Цикл, содержащий отличные друг от друга ребра, называется простым и сложным в противном случае.

Контур, образованный одной дугой, называется петлей. На рис. 5.13 петля показана на вершине 6.

Гамильтоновым циклом (путем) на графе называется цикл

(путь), проходящий через каждую вершину графа только один раз.

где s – источник; s' – сток. Условия означают:

поток по любому ребру не может превышать пропускную способность ребра (5.1);

для вершин, не являющихся ни источником, ни стоком, количество ввозимого груза должно равняться количеству вывозимого груза (5.2);

сколько груза вывозится от грузоотправителей, столько и ввозится к грузополучателям (5.3).

Разрезом в сети, отделяющим источник s и сток s', является

множество дуг вида ( X X ), где s X , а s X , X X I – мно-

жество вершин графа. Подмножества X и X – не пересекаются.

Множество X (рис. 5.19) составляют вершины 3, 4 и 6, а множество X – вершины 1, 2 и 5.

Разрез составляют дуги (1-3), (2-3), (2-4), (2-6), (5-6). Следовательно, в разрез входят только те дуги, которые начинаются во

множестве X и заканчиваются во множестве X .

Пропускная способность разреза равна сумме пропускных способностей дуг, входящих в него:

d(X , X ) dij .

i X j X

Для любой сети максимально возможный поток из s в s' равен минимальной пропускной способности разреза, отделяющего s от s'. Дуга называется насыщенной, если поток на ней равен ее пропускной способности. Если поток на дуге меньше ее пропускной способности, то дуга является ненасыщенной, а если поток равен нулю

– свободной.