Методы линейной и сетевой оптимизации

10

II. Двойственность в линейном программировании. Экономический смысл двойственных переменных

Каждому i-му ограничению из (2.2) соответствует переменная yi так назы-

ваемой двойственной задачи к задаче (2.1) – (2.3) (показана слева от соответст-

11

двойственных задач имеет оптимальный план, то и другая имеет оптимальный план причем значения целевых функций задач при их оптимальных планах совпадают, т.е. Zmax = Wmin.

Если же целевая функция одной из задач не ограничена (для исходной

(2.1) – (2.3) – сверху, для двойственной (2.4) – (2.6) – снизу), то другая задача

ных задач были их оптимальными решениями, необходимо и достаточно, чтобы они удовлетворяли системам уравнений:

j 1

Замечание. Соотношения (2.7) верны только для ограничений в виде неравенств и для неотрицательных переменных.

12

Экономическую интерпретацию двойственных задач рассмотрим на примере.

Пример. Для производства трех видов изделий А, В и С используются три различных вида сырья. Каждый из видов сырья может быть использован в количестве, соответственно не большем 180, 210 и 244 кг. Нормы затрат каждого из видов сырья на единицу продукции данного вида и цена единицы продукции каждого вида приведены в таблице 2.1. Требуется :

а) составить математическую модель задачи; б) найти план выпуска продукции, обеспечивающий предприятию максимальную прибыль;

в) проанализировать результаты решения задачи; г) построить математическую модель двойственной задачи;

д) используя соответствие между переменными пары взаимодвойственных задач, найти решение двойственной задачи; е) указать наиболее дефицитный и избыточный ресурс, если он есть.

Таблица 2.1

Суммарная прибыль предприятия выразится формулой Z 10x1 14x2 12x3 .

Поскольку имеются ограничения на выделенный предприятию фонд

сырья каждого вида, то математическая модель задачи имеет следующий вид:

x1, x2 , x3 0.

б) Приведем задачу (2.8) к канонической форме путем введения в

ограничения неотрицательных дополнительных переменных x4 , x5 , x6 :

13

В Z – строке есть отрицательные элементы. Так как min(-10; -14; -12)=-14,

достигается в первой строке, то разрешающая строка – первая и разрешающий элемент а12=2. Пересчитывая таблицу относительно этого элемента получим новую таблицу:

Таблица 2.3

14

Теперь разрешающим столбцом будет третий, а разрешающей строкой – третья,

и после пересчета получим Таблица 2.4

В Z – строке нет отрицательных элементов. Оптимальный план имеет вид

X*=(0; 82; 16). При этом Zmax=1340.

в) Результаты решения задачи (2.8) показывают, что предприятие изготавливает 82 изделия В и 16 изделий С. Максимальная прибыль при этом составляет 1340 ден. ед.

Подставим решение X* в основные ограничения задачи (2.8):

из видов сырья, используемых для производства продукции, двойственную оценку, соответственно равную y1 , y2 , y3 . Тогда общая оценка сырья,

используемого на производство продукции, составит

15

каждого вида, была не меньше цены единицы продукции данного вида, т.е. y1 , y2 , y3 должны удовлетворять следующей системе неравенств:

Задачи (2.8) и (2.10) – (2.12) образуют симметричную пару двойственных задач. Решение прямой задачи дает оптимальный план производства изделий А,

В и С, а решение двойственной – оптимальную систему оценок сырья,

используемых для производства этих изделий.

д) Решение двойственной задачи находим по последней симплекс– таблице в Z – строке. Для этого воспользуемся соответствием переменных

прямой и двойственной задач.

Элементы Z – строки, соответствующие переменным, которые входили в

исходный базис, совпадают с переменными y1 , y2 , y3 оптимального плана двойственной задачи. Следовательно, согласно основной теореме двойственности имеем:

е) Двойственные оценки определяют дефицитность используемого предприятием сырья.

Так как y1 и y3 отличны от нуля, то сырье первого и третьего видов является дефицитными. При этом y1 =23/4 > y3 =5/4, что означает – наиболее дефицитным является сырье первого вида. Поскольку y2 =0, то ресурс второго вида является избыточным.

16

Контрольные задания для самостоятельного решения.

Задание 2

Постановка задачи. Для производства трех видов продукции используются три вида сырья. Нормы затрат каждого из видов сырья на единицу продукции данного вида, запасы сырья, а также прибыль с единицы продукции приведены в таблицах вариантов. Определить план выпуска продукции для получения максимальной прибыли при заданном дополнительном ограничении. Оценить каждый из видов сырья, используемых для производства продукции.

Требуется: 1) построить математическую модель задачи;

2)выбрать метод решения и привести задачу к канонической форме;

3)решить задачу(симплекс-методом);

4)проанализировать результаты решения;

5)составить к данной задаче двойственную и, используя соответствие переменных, выписать ответ двойственной задачи;

6)дать экономическую интерпретацию двойственных оценок;

7)указать наиболее дефицитный и избыточный ресурс, если он есть.

17

18

19