Методические указания по выполнению контрольной работы № 2 по математике для студентов инженерно-технических специальностей заочной формы обучения

ɉɪɢɦɟɪ 1.20.

2

4

§1

cos 2x ·§1 cos 2x ·

2

³cos

x sin

xdx

³¨

¸¨

¸

dx

2

2

©

¹©

¹

1

³(1 cos 2x cos2 2x cos3 2x)dx

8

1

x

1

sin 2x

1

³

(1 cos 4x)dx

1

³(1 sin2 2x)d sin 2x

8

16

16

16

1

1

1 x

1

sin 2x

1

x

1

sin 4x

sin 2x

sin3 2x C

16

16

16

8

64

48

1

x

1

sin 4x

1

sin3 2x C .

16

64

48

sin mx cos nx,

sin mx sin nx,

cos mx cos nx ,

ɝɞɟ m z n, ɬɨ ɢɯ ɩɪɟɨɛɪɚɡɭɸɬ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɚɦ:

sin mx cos nx

1

[sin(m n)x sin(m n)x ],

2

sin mx sin nx

1

[cos(m n)x cos(m n)x ],

2

cos mx cos nx

1

[cos(m n)x cos(m n)x ].

2

ɝ) ɂɧɬɟɝɪɚɥɵ ɨɬ ɮɭɧɤɰɢɣ,

ɫɨɞɟɪɠɚɳɢɯ tgn x ɢ ctgm x, ɝɞɟ m ɢ n – ɰɟɥɵɟ,

ɩɪɢɜɨɞɹɬɫɹ ɤ ɬɚɛɥɢɱɧɵɦ ɫ ɭɱɟɬɨɦ ɮɨɪɦɭɥ

(tg x)c

1

, (ctgx)c

1

, 1 tg2

x

1

, 1 ctg2 x

1

.

cos2 x

sin 2

cos2

x

x

sin 2 x

ɉɪɢɦɟɪ 1.21.

³tg5 x sec4 xdx

³tg5 x(1 tg2 x)d (tg x)

³tg5 xd (tg x) ³tg7 xd (tg x)

1 tg6 x

1 tg8 x C. Ɂɞɟɫɶ sec x

1

.

cos x

6

8

ɚɪɝɭɦɟɧɬɚ t ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɤɢ:

tg

x

t

; ɬɨɝɞɚ

2

2tg

x

2t

1 tg

2 x

1 t 2

2dt

sin x

2

, cos x

2

dx

1 t2 ,

.

1 tg

2 x

1 t 2

1 tg

2 x

1 t 2

2

2

ɉɪɢɦɟɪ 1.22.

ª

tg

x

t;

dx

2dt

º

2

dt

dx

«

;»

1

(1 t

2

)

2

2

1

t

2

1 t

2

dt

«

2t

»

³sin3 x

«

»

³§

2t

·3

4 ³

t3

«sin x

1 t

2

»

¨

¸

¬

¼

©1

t 2 ¹

1

³

dt

1

³

dt

1

³tdt

1

1

ln | t

|

1

t

2

C

1

1

ln

tg

x

1

tg

2 x

C.

4

t

3

2

t

4

8t2

2

8

8 tg

2 x

2

2

8

2

2

ɟ) ȿɫɥɢ ɩɨɞɵɧɬɟɝɪɚɥɶɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɫɨɞɟɪɠɢɬ

ɬɨɥɶɤɨ

ɮɭɧɤɰɢɸ

tg x ɢɥɢ

R(sin x,cos x)

R( sin x, cos x)

(R –

ɱɟɬɧɚɹ), ɬɨ ɭɞɨɛɧɨ ɩɪɢɦɟɧɹɬɶ ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɤɭ

tg x=t; ɩɪɢ ɷɬɨɦ

dx

dt

,

x

arctgt, cos2 x

1

,

sin 2 x

t 2

.

1 t 2

1 t 2

1 t 2

ɉɪɢɦɟɪ 1.23.

dx

dx

ªt

tgx;

º

dt

cos2 x

³

³

«

dx

»

³

3sin

2

x 5cos xsin x cos

2

x

3tg

2

x 5tgx 1

«

»

3t

2

5t 1

2

«dt

cos

»

¬

x¼

1

dt

1

t

5

13

1

6 tg x 5 13

³

ln

6

6

C

ln

C.

3

§

5 ·

2

§

13

·2

3 2

13

t

5

13

13

6 tg x 5 13

¨t

¸

¨

¸

6

6

6

©

6 ¹

¨

6

¸

©

¹

ɠ)

ȿɫɥɢ

ɮɭɧɤɰɢɹ

R( sin x, cos x)

R(sin x, cos x ) ,

ɬɨ

ɩɪɢɦɟɧɹɟɬɫɹ

ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɤɚ

cos x=t.

ȿɫɥɢ

R(sin x, cos x) R(sin x,cos x) ,

ɬɨ

ɩɪɢɦɟɧɹɟɬɫɹ

ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɤɚ sin x=t.

ɉɪɢɦɟɪ 1.24. ³

sin 3 x

dx . Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ cos x=t, sin xdx= dt; ɬɨɝɞɚ

cos4 x

³

sin 3 x

dx

³

1 cos2 x

sin xdx

³

1 t2

( dt)

³

1

dt

³

dt

cos4 x

cos4 x

t4

t4

t2

1

t

3

1

C

1

1

C.

3

t

cos x

3cos3 x

1.2.8. ɂɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ ɢɪɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ

m

r

ɚ)

ɂɧɬɟɝɪɚɥɵ

ɜɢɞɚ

³R(x, x n ,..., x s )dx

ɫɜɨɞɹɬɫɹ

ɤ

ɢɧɬɟɝɪɚɥɚɦ ɨɬ

ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ z ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɤɨɣ x

zk ,

ɝɞɟ

k – ɨɛɳɢɣ

ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɶ ɞɪɨɛɟɣ

m

,...,

r

.

n

s