Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методические указания по выполнению контрольной работы № 2 по математике для студентов инженерно-технических специальностей заочной формы обучения

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

1.2.Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɦɟɬɨɞɵ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ

1.2.1.ɇɟɩɨɫɪɟɞɫɬɜɟɧɧɨɟ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɣ ɢ ɦɟɬɨɞ ɩɨɞɧɟɫɟɧɢɹ ɩɨɞ

ɡɧɚɤ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɚ

Ɂɚɞɚɱɚ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɯ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ ɨɬ ɦɧɨɝɢɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɪɟɲɚɟɬɫɹ ɦɟɬɨɞɨɦ ɫɜɟɞɟɧɢɹ ɢɯ ɤ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɬɚɛɥɢɱɧɵɯ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ. ɗɬɨɝɨ ɦɨɠɧɨ ɞɨɫɬɢɱɶ ɩɭɬɟɦ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɬɨɠɞɟɫɬɜɟɧɧɵɯ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɣ (ɫɦ. ɉɪɢɦɟɪ 1.4.) ɩɨɞɵɧɬɟɝɪɚɥɶɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɢɥɢ ɩɨɞɧɟɫɟɧɢɟɦ ɱɚɫɬɢ ɟɟ ɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ ɩɨɞ ɡɧɚɤ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɚ.

ɉɨɞɧɟɫɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɨɞ ɡɧɚɤ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɚ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɬɨɦ, ɱɬɨ ɩɨɞ ɡɧɚɤ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɚ ɡɚɩɢɫɵɜɚɸɬ ɮɭɧɤɰɢɸ, ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥ ɤɨɬɨɪɨɣ ɪɚɜɟɧ ɡɚɞɚɧɧɨɦɭ

ɜɵɪɚɠɟɧɢɸ, ɬɨ ɟɫɬɶ
³ f (M(x ))Mc(x )dx		³ f (t)dt , ɝɞɟ t=M(x).
	dx		c
ɉɪɢɦɟɪ 1.1. x			c
ɉɪɢɦɟɪ 1.1. x		(ln x) dx d (ln x) .
ɉɪɢɦɟɪ 1.2. cos3xdx			1 3cos3xdx	1 d(sin 3x).
			3	3

ɉɪɢɦɟɪ 1.3. ³sin(5x 2)dx

³sin(5x 2)d (5x 2)

cos(5x 2) C .

ɉɪɢɦɟɪ 1.4. (ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɟ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɣ)

(3x

7 x 5 2sin x 3)dx

xdx

x 5/7dx 2

sin xdx 3 dx

x12 / 7

12 / 7

2cos x 3x C

2 x

2cos x 3x C.

12 / 7

ɉɪɢɦɟɪ 1.5.

ªɞɟɥɚɟɦɩɨɞɧɟɫɟɧɢɟ

100x

10x 1

ɩɨɞ ɡɧɚɤ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɚ: dx

d 10x

ªɬɚɛɥɢɰɚ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ;º

¬«u 10x; D 1

¼»

10x

10x 1

10x 2 1

100x2 1

ɋ.

10x

ɉɪɢɦɟɪ 1.6.

ªɡɚɦɟɬɢɦ,ɱɬɨ

d ln x

1 d 5ln x

«dx

« x

3 4

5ln x

d 4 5ln x

«ɩɨɞɧɟɫɟɧɢɟɩɨɞɡɧɚɤ

«ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɚ

³ 4 5ln x 3 d 4 5ln x

>ɬɚɛɥɢɰɚ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ@

1 4 5ln x

5	1	1
	3	1

3 1

	3	4
ɋ		4 5ln x	3	ɋ.
	20

1.2.2. ɂɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ ɡɚɦɟɧɨɣ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ (ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɤɨɣ)

ɉɭɫɬɶ M(t) – ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɟɦɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɧɚ ɧɟɤɨɬɨɪɨɦ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɟ, ɩɪɢɱɟɦ Mc(t)z0; ɬɨɝɞɚ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɚ ɮɨɪɦɭɥɚ

³ f (x)dx ³ f (M(t))Mc(t)dt .

ɉɪɢɦɟɪ 1.7.	³2x x2 3dx = ³ x2 3d(x2 3) , ɬɚɤ ɤɚɤ 2xdx d (x2 3) .
Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ x 2 3	u, ɬɨɝɞɚ ɩɨɥɭɱɢɦ

1				3
³ x 2 3 2xdx ³u		du			2	u		C
	2						2

				3
ɉɪɢɦɟɪ 1.8. ³				cos xdx
			3 3 5sin x

	2	(x2 3)	3
	2		2	C .
	3		2	C .
	3
ª	3 5sin x				º
«	3 5sin x			t;»			dt				1		2
«dt 5cos xdx;»						³			1	³t		1	3	t
									1		3 dt	1	3		3	C
							53 t	5			3 dt	5	2		3	C
«			dt		»		53 t	5				5	2
«	cos xdx		dt		»
¬	cos xdx			5	¼

3 3 (3 5sin x)2 C . 10

1.2.3. ɂɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ ɩɪɢ ɩɨɦɨɳɢ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɨɤ

ɂɧɬɟɝɪɚɥɵ ɜɢɞɚ

³R(x, x 2 a2 )dx; ³R(x, a2 x 2 )dx; ³R(x, a2 x 2 )dx , ɝɞɟ R(u,v) –

ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɨɬ u ɢ v, ɜɵɱɢɫɥɹɸɬɫɹ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɩɪɢ ɩɨɦɨɳɢ

ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɨɤ x	a	, x	a	, x a sin t, x a cos t, x a tg t .
	cos t		sin t

ɉɪɢɦɟɪ 1.9. ³ x2 1 dx x

;

cost

tgt

sin t

«dx

dt;»

cos2 t

sect

cos2 t

1 tgt

sin 2 t

³cos2 t dt

cos2 t

dt tgt t C

tg(arccos

)

arccos

C .

cos2 t

2sin t;

ɉɪɢɦɟɪ 1.10. ³

4 x

dx 2costdt;

³4cos

tdt 2³(1

cos 2t)dt

4 x

2cost¼

2t sin 2t C

2arcsin

2sin t cost C

2arcsin

x 2

2arcsin

4 x 2

C .

1.2.4. ɂɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ ɩɨ ɱɚɫɬɹɦ

Ɏɨɪɦɭɥɚ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ ɩɨ ɱɚɫɬɹɦ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ:

³udv

uv ³vdu, ɝɞɟ u(x),

v(x) – ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɟɦɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ.

Ʉɥɚɫɫɵ ɮɭɧɤɰɢɣ, ɢɧɬɟɝɪɢɪɭɟɦɵɯ ɩɨ ɱɚɫɬɹɦ:

1) ³x nex dx, ³x n sin xdx, ³x n cos xdx . Ɂɚ u ɩɪɢɧɢɦɚɟɬɫɹ xn (u=xn).

2) ³x n ln xdx, ³x n arcsin xdx, ³x narctgxdx . Ɂɚ u ɜ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɩɪɢɧɢɦɚɸɬɫɹ

ɥɨɝɚɪɢɮɦɢɱɟɫɤɚɹ ɢɥɢ ɨɛɪɚɬɧɚɹ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ.

3) ³ex sin xdx, ³ax cos xdx ɢ ɞɪɭɝɢɟ. ȼɵɛɨɪ u ɢ dv ɪɚɜɧɨɫɢɥɟɧ. ȼ ɷɬɨɦ

ɫɥɭɱɚɟ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ ɫɜɨɞɢɬɫɹ ɤ ɞɜɭɤɪɚɬɧɨɦɭ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɸ ɮɨɪɦɭɥɵ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ ɩɨ ɱɚɫɬɹɦ (ɫɦ. ɩɪɢɦɟɪ 1.14.).

ɉɪɢɦɟɪ 1.11. ³ln xdx

«ln x u;

dx;»

xln x

³x

dv;

¬dx

x ln x ³dx x ln x x C .

ɉɪɢɦɟɪ 1.12.

arcsin xdx

«arcsin x

;»

arcsin x

1 x2

dv;

1 x2

arcsin x

«x

,dx

dt»

t 2 1

t 2

dx 8³

arcsin x	ln \| t t 2	1 C	arcsin x	ln	1	1 x2	C.
x			x			x

ɉɪɢɦɟɪ 1.13. ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ³

x2 4 dx .

Ɋɟɲɟɧɢɟ. Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ ɢɧɬɟɝɪɚɥ

ªɩɨɥɚɝɚɟɦ: x2 4

dv;º

K ³

x2 4 dx

«du

2x dx; v x

4 2³

x2 4 4

dx x x

2³

x2 4

x2 4 C1.

x2 4 2K 8ln

ɂɡ ɩɨɫɥɟɞɧɟɝɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɜɵɪɚɡɢɦ ɢɫɤɨɦɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ Ʉ :

x2	4 2³x	x		dx
		x2	4

x2 4

··

C; ɡɞɟɫɶ

C1 ɢ

– ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɟ

¨x

4 8ln¨x

4 ¸¸

¹¹

ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɟ.

ɉɪɢɦɟɪ 1.14. ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ³ex cos x dx.

Ɋɟɲɟɧɢɟ.

Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ

ɢɧɬɟɝɪɚɥ

ex cos x dx

; dv

cos x dx;

ex sin x

ex sin x dx

«u

«du

exdx;

sin x»

ªɜɬɨɪɨɣɪɚɡɢɧɬɟɝɪɢɪɭɟɦɩɨɱɚɫɬɹɦ:º

ex sin x ex cos x

cos x ex dx

«u

ex ;

sin x dx;

dx;

cos x

¬du

ex sin x ex cos x ³ex cos x dx;

Ɂɧɚɱɢɬ, ɩɨɥɭɱɟɧɨ	ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ K ex sin x ex cos x K , ɨɬɤɭɞɚ ɜɵɪɚɠɚɟɦ
ɢɫɤɨɦɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ K : K	1 ex sin x cos x C C ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɚɹɩɨɫɬɨɹɧɧɚɹ .
	2

1.2.5. ɂɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɣ, ɫɨɞɟɪɠɚɳɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɧɵɣ ɬɪɟɯɱɥɟɧ ɜ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɟ

ɂɧɬɟɝɪɚɥɵ ɜɢɞɚ:
	A dx	ɢ		Adx
³ ax 2 bx c		ɢ	³	ax 2 bx c
³ ax 2 bx c			³	ax 2 bx c

ɩɪɢɜɨɞɹɬɫɹ ɤ ɬɚɛɥɢɱɧɵɦ ɩɭɬɟɦ ɜɵɞɟɥɟɧɢɹ ɩɨɥɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɚ ɜ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɟ ɞɪɨɛɢ.

ɉɪɢɦɟɪ 1.15. ³

d(x 3)

arctg(x 3) C .

x 2 6x 10

(x 3)2

1 (x 3)2

Ⱦɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ ɜɢɞɚ:

(A x B)dx

³ ax 2 bx c

ax 2 bx c

ɧɚɞɨ ɫɧɚɱɚɥɚ ɜ ɱɢɫɥɢɬɟɥɟ ɞɪɨɛɢ ɜɵɞɟɥɢɬɶ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥ ɬɪɟɯɱɥɟɧɚ ax 2 bx c, ɬɨ ɟɫɬɶ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ (2ax b)dx .

ɉɪɢɦɟɪ 1.16.

3x 7

(2x)

2xdx

7³

ln| x2

arctg

C .

x2 9

1.2.6. ɂɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɯ ɞɪɨɛɟɣ

Ɋɚɰɢɨɧɚɥɶɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ R(x) ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɹ, ɪɚɜɧɚɹ ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ ɞɜɭɯ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ:

	Q	m	(x )		b x m b x m 1		... b
R(x )					0	1	m	,
	Pn(x )				a x n a x n 1
							... a
				0		1	n

ɝɞɟ m ɢ n – ɰɟɥɵɟ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ; bi, aj R, i 0, m, j 0, n .

ȿɫɥɢ m<n, ɬɨ R(x)ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɣ ɞɪɨɛɶɸ, ɟɫɥɢ mtn, – ɧɟɩɪɚɜɢɥɶɧɨɣ ɞɪɨɛɶɸ.

ȼɫɹɤɭɸ ɧɟɩɪɚɜɢɥɶɧɭɸ ɞɪɨɛɶ ɩɭɬɟɦ ɞɟɥɟɧɢɹ ɱɢɫɥɢɬɟɥɹ ɧɚ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɶ ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɜ ɜɢɞɟ ɫɭɦɦɵ ɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɢ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɣ ɞɪɨɛɢ:

Qm (x)

Mm n

(x)

Ql (x)

Pn (x)

ɝɞɟ M

m n

( x) , Q

(x ) ,

P (x ) – ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɵ,

Ql (x )

– ɩɪɚɜɢɥɶɧɚɹ ɞɪɨɛɶ, l<n.

Pn (x )

Ɍɚɤ

ɤɚɤ

ɜɫɹɤɢɣ

ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɥɟɝɤɨ ɢɧɬɟɝɪɢɪɭɟɬɫɹ, ɬɨ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ

ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɫɜɨɞɢɬɫɹ ɤ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɸ ɩɪɚɜɢɥɶɧɵɯ ɞɪɨɛɟɣ. ɉɪɨɫɬɟɣɲɟɣ ɞɪɨɛɶɸ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɞɪɨɛɶ ɨɞɧɨɝɨ ɢɡ ɫɥɟɞɭɸɳɢɯ ɱɟɬɵɪɟɯ ɬɢɩɨɜ:

1)	A	;	2)	A	;	3)	M x N	;	4)	M x N	;
	x a			(x a)k						(x 2 px q)k
							x 2 px q

ɝɞɟ A, a, M, N, p, q – ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɟ ɱɢɫɥɚ; kt2; k – ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɨɟ, p2–4q<0.

Ⱦɥɹ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɣ ɞɪɨɛɢ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ:

1)ɪɚɡɥɨɠɢɬɶ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɶ ɞɪɨɛɢ ɧɚ ɩɪɨɫɬɵɟ ɥɢɧɟɣɧɵɟ ɢ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɵɟ ɦɧɨɠɢɬɟɥɢ;

2)ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɞɪɨɛɶ ɜ ɜɢɞɟ ɫɭɦɦɵ ɩɪɨɫɬɟɣɲɢɯ ɞɪɨɛɟɣ ɫ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɦɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ;

3)ɧɚɣɬɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ;

4)ɩɪɨɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɬɶ ɩɪɨɫɬɟɣɲɢɟ ɞɪɨɛɢ.

ɉɪɢɦɟɪ 1.17. ³ x5 x4 8 dx . x3 4x

Ⱦɪɨɛɶ – ɧɟɩɪɚɜɢɥɶɧɚɹ, ɩɨɷɬɨɦɭ ɫɧɚɱɚɥɚ ɪɚɡɞɟɥɢɦ ɱɢɫɥɢɬɟɥɶ ɩɨɞɵɧɬɟɝɪɚɥɶɧɨɣ ɞɪɨɛɢ ɧɚ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɶ:

x5 x4 8

x3 4x

x5 4x3

x2 x 4

4x3

4x2

4x3

4x2 8

4x3

16x

4x2 16x 8 4(x2 4x 2) – ɨɫɬɚɬɨɤ.

ɉɨɞɵɧɬɟɝɪɚɥɶɧɚɹ ɞɪɨɛɶ ɡɚɩɢɲɟɬɫɹ ɜ ɜɢɞɟ:

x 5 x 4 8	x 2 x 4	4(x 2 4x 2)	.
x 3 4x
		x 3 4x

Ɋɚɡɥɨɠɢɦ ɩɪɚɜɢɥɶɧɭɸ ɞɪɨɛɶ ɧɚ ɬɪɢ ɩɪɨɫɬɟɣɲɢɟ ɞɪɨɛɢ:

x2 4x 2

x3 4x

x(x 2)(x 2)

ɉɪɢɪɚɜɧɢɜɚɹ ɱɢɫɥɢɬɟɥɢ, ɩɨɥɭɱɢɦ ɬɨɠɞɟɫɬɜɨ:

x 2 4x 2

A(x 2)(x 2) Bx(x 2) Cx(x 2).

ɉɪɢ x

0 : 2

4A, A

1 .

ɉɪɢ x

2: 10

8B, B

ɉɪɢ x

2: 6

8C,C

3 .

Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ,

x5 x4 8

4x2

16x 8 ·

x 4

³¨x

¸dx

4x 4³

¸dx

x 2

	x3	x2	4x 2ln \| x \| 5ln \| x 2 \| 3ln \| x 2 \| C
3		2
							.
	x3	x2				x2 \| x 2 \|5
			4x ln				C .
3		2				\| x 2 \|3

ɉɪɢɦɟɪ 1.18. ³				x 4		3x 2 5	dx .
				x 3	2x 2 5x

ȼ ɞɚɧɧɨɦ ɩɪɢɦɟɪɟ ɩɨɞɵɧɬɟɝɪɚɥɶɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɧɟɩɪɚɜɢɥɶɧɨɣ ɞɪɨɛɶɸ. ɉɭɬɟɦ ɞɟɥɟɧɢɹ ɱɢɫɥɢɬɟɥɹ ɧɚ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɶ ɜɵɞɟɥɢɦ ɰɟɥɭɸ ɱɚɫɬɶ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɨɣ ɞɪɨɛɢ ɢ ɩɪɚɜɢɥɶɧɭɸ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɭɸ ɞɪɨɛɶ:

x 4 3x 2 5

2x 2

10x 5

x 3 2x 2 5x

ɉɪɚɜɢɥɶɧɭɸ

ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɭɸ

ɞɪɨɛɶ

2x 2

10x 5

2x 2 10x 5

x 3 2x 2 5x

x (x 2 2x 5)

ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɦ ɜ

ɜɢɞɟ

ɫɭɦɦɵ

ɩɪɨɫɬɟɣɲɢɯ ɞɪɨɛɟɣ ɫ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɦɢ

ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ:

2x 2

10x 5 A

Bx C

x (x 2

2x 5)

x 2

2x 5

ɉɪɢɜɟɞɹ ɞɪɨɛɢ ɤ ɨɛɳɟɦɭ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɸ ɢ ɩɪɢɪɚɜɧɹɜ ɱɢɫɥɢɬɟɥɢ ɞɪɨɛɟɣ ɜ ɥɟɜɨɣ ɢ ɩɪɚɜɨɣ ɱɚɫɬɹɯ ɡɚɩɢɫɚɧɧɨɝɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ, ɩɨɥɭɱɢɦ

2x 2 10x 5 A(x 2 2x 5) (Bx C )x (A B)x 2 (2A C)x 5A .

ɉɪɢɪɚɜɧɢɜɚɹ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ ɩɪɢ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɯ ɫɬɟɩɟɧɹɯ x, ɢɦɟɟɦ:

x2	A B	2
x	2A C	10
x0	5A	5

ɨɬɤɭɞɚ A 1, B=3, C=12. Ɉɤɨɧɱɚɬɟɥɶɧɨ ɩɨɥɭɱɚɟɦ

x4 3x2

³(x

2)dx ³

¸dx

x3 2x2

2x 5 ¹

(x 2)2

ln | x |

2x 2 6

2x 5

(x 2)2

ln | x |

(2x 2)dx

9³

(x 1)2 4

2x 5

(x 2)2

ln | x |

ln | x2 2x 5 |

arctg

x 1

1.2.7. ɂɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ ɮɭɧɤɰɢɣ

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɜɢɞɚ: ³sinm x cosn xdx , m, n – ɰɟɥɵɟ.

ɚ) ȿɫɥɢ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɨ ɢɡ ɱɢɫɟɥ m ɢɥɢ n–ɧɟɱɟɬɧɨɟ ɢ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɨɟ, ɬɨ

ɢɧɬɟɝɪɚɥ

ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ

ɩɨɦɨɳɶɸ

ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɨɤ:

sin x t, cos xdx dt ɢɥɢ

cos x

sin xdx

dt .

ɛ) ȿɫɥɢ m ɢ n – ɱɟɬɧɵɟ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ, ɬɨ ɩɪɢɦɟɧɹɸɬɫɹ ɮɨɪɦɭɥɵ

ɩɨɧɢɠɟɧɢɹ ɫɬɟɩɟɧɢ:

sin x cos x

sin 2x;

cos2 x

1 cos2x

;

sin2

1 cos2x

ɉɪɢɦɟɪ 1.19.

sin

cos

x)sin x dx

ªcos x

³(1 t

)dt

cos x

¬ sin xdx

dt¼

cos5 x C .

³t

cos x

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]