Методические указания к самостоятельным работам по высшей математике для студентов первого курса инженерных специальностей
.pdf
Вариант 6
1
1. Вычислить интеграл: x15 
1 3x8 dx .
0
2.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y 2x , y 2, x 0 .
3.Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость
0
xex2 dx .
|
|
|
z arctg |
y |
|
|
||
4. |
Найти дифференциал: |
|
. |
|
|
|||
1 x2 |
|
|
||||||
5. |
Исследовать на экстремум: z 2x3 xy2 5x2 y2 . |
|||||||
Ответы к варианту 1. |
|
|
|
|
|
|
||
1. |
; |
2. 2 ; |
3. ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
4. |
dz y2 1 xy y 1 dx 1 xy y ln 1 xy |
|
dy ; |
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
xy |
|||
5. |
3, 4 усл.лок.min; zmin 20; 3, 4 усл.лок.m ax; zmax 30 . |
|||||||
Ответы к варианту 2.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1. |
2 ln 2 ; |
2. 5 |
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
ln |
|
|
|
|
|
|
; |
3. 1; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
5 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4. |
dz |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dx |
3y2dy ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
arcsin x y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 x y3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
5. Точек локального экстремума нет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Ответы к варианту 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1. |
2 ; |
2. 11 ; |
|
|
|
3. Расходится; |
|
|
4. dz 2xdx 2yey2 dy ; |
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
2;1 условный локальный max . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
22
Ответы к варианту 4.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
8,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
1. |
12 |
6arctg2 |
|
; 2. |
9,9 |
; 3. 0 ; |
|
|
|
4. dz 2 |
|
x ln 2 |
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
dy |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|||||
5. |
1; 2 локальный min; |
|
|
|
1; 2 локальный max . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы к варианту 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz 3 xy |
|
|
|
y |
dx x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
; |
|
; |
|
|
3. |
; |
4. |
|
|
|
|
|
dy ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
12 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5. |
4;1 усл.лок.min; |
zmin 9; |
4; 1 усл.лок.max; |
zmax |
7 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение вариантa 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3x8 u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
d x8 |
|
|
|
|
1 |
|
u2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1. x15 |
|
1 3x8 |
dx |
x8 |
|
1 3x8 |
x8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
8 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d x8 |
|
2 |
udu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
u2 1 u |
2 |
udu |
1 |
|
u4 |
u2 |
du |
1 |
|
|
58 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
8 |
1 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
36 |
|
1 |
|
|
36 |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
1
|
1 |
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
S 2 2x dx |
2x |
|
|
|
2 |
|
. |
|||
|
ln 2 |
0 |
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
ln 2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0
3. xex2 dx lim xex2 dx lim |
|||||||
|
|
a a |
|
|
a |
||
|
|
1 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||
4. dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
1 x2 2 |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
ex2 |
0 |
lim |
1 |
|
1 |
ea2 |
интеграл расходится . |
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
a |
a 2 |
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2xdx |
dy |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23
|
|
6x |
2 |
y |
2 |
10x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
zx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
. |
|
zy |
2xy 2 y 0 y |
0 или x 1 x |
0; |
x |
; |
y 2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A zxx 12x 10; |
B zxy |
2y; C zyy 2x 2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
AC B |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
24x |
2 |
44x 20 4y |
2 |
. |
|
|
|
|
||||||
|
zxx zyy |
zxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1) |
AC B2 |
|
0;0 20 0, |
|
A 0;0 10 0 0;0 локальный min . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2) |
AC B2 |
|
|
5 |
|
0, A |
|
|
;0 |
10 0 |
|
;0 |
локальный max . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;0 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
AC B2 |
|
1;2 16 0 в точке -1;2 нет экстремума . |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4) |
AC B2 |
|
1; 2 16 0 в точке -1;-2 нет экстремума . |
|||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24
ЛИТЕРАТУРА
1.Сборник задач по математике для втузов / под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М.: Наука,1981. Т.1-2.
2.Демидович, Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому ана-
лизу / Б.П. Демидович. М.: Наука,1990.
3.Сборник задач по математическому анализу / Л.Д. Кудрявцев [и др.].
Спб.,1994.
4.Индивидуальные задания по высшей математике / под ред. А.П. Рябуш-
ко. Минск: Вышэйшая школа, 2008. Ч. 1-2.
5. Сухая, Т.А. Сборник задач по высшей математике/Т.А. Сухая, В.Ф. Бубнов. Минск: Вышэйшая школа,1993. Ч. 1-2.
25
СОДЕРЖАНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Самостоятельная работа № 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Самостоятельная работа № 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Самостоятельная работа № 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
26
Учебное издание
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельным работам по высшей математике
для студентов первого курса инженерных специальностей
С о с т а в и т е л ь РУДЫЙ Александр Никодимович
Подписано в печать 04.03.2010. Формат 60 841/16. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс.
Усл. печ. л. 1,57. Уч.-изд. л. 1,23. Тираж 100. Заказ 67.
Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009.
Проспект Независимости, 65. 220013, Минск.
27