Методические указания к самостоятельным работам по высшей математике для студентов первого курса инженерных специальностей

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1. Вычислить интеграл:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

AD AB BD 5;8; 2

D A AD D 10;10;10

B A AB B 8;6;9 C B BC B AD 13;14;11

AB, AD		0;1; 1 ; S
AB, AD		0;1; 1 ; S							17
							пар.
4.
	B

A					C
CB 7; 2;8			AC 11; 8; 7
cos		117				1		; 135

	117		234	2
	117		234	2

A C

AC 2; 2; 2 AB 1;1;1

Найдем вектор нормали n к плоскости ABC

n ABC AB, AC 4; 4;0 ; n1 1;1;0

Найдем направляющий вектор высоты:

l n1, AC 2; 2; 4

l	1; 1; 2	x 1	y 3	z 2	каноническое уравнение высоты из верши-
l	1; 1; 2		1	2	каноническое уравнение высоты из верши-
1	1
	1
ны B .

Самостоятельная работа № 2

Неопределенный интеграл

Вариант 1

Вычислить интегралы:

tg (3x) 1

cos

3sin x cos x

4. x2

ln x dx

(x 1)dx

x2 4x 2

7. x

1 xdx

8. ecos2 x sin 2xdx

9*.

(x2 4x 13)3

Вариант 2

Вычислить интегралы:

1.					1		dx	2.		xdx	3.		x 2 dx
1.	x(x			2			dx	2.		3 x 1	3.	3		x	6
	x(x				3x 2)					3 x 1		3		x
4.					x	dx		5.	ln(2x 1)dx		6.			dx

	2x		2	3x 1										3x 4
	2x			3x 1										3x 4
7. e x		6	x5 dx					8.	sin3 3xdx		9*.		xarctgxdx

														(1 x		2	)	2
														(1 x			)

Вариант 3

Вычислить интегралы:

1.			x 3		dx		2.	4		ln xdx			3.	x 4 dx
1.	x	2	5x	4	dx		2.				x		3.	3		x	5
	x		5x	4							x			3		x
4.			x 2			dx	5. x sin 5xdx						6.			dx
	x(x 3)(x 4)													3		x 2
7.			1	dx			8.		e	x		dx	9*.		ln(x			1 x 2 )dx
	5	2 cos x								x							(x2 1)3

Вариант 4

Вычислить интегралы:

xdx

2 x2

(x 1)(x

5x x2 4

4. xe3x dx

3 x

6. tg 3 xdx

x 4

x 2

8. 3

cos x sin xdx

9*.

x ln xdx

4 x6

(x 2 1)3

Вариант 5

Вычислить интегралы:

1.		2x 3		dx	2.

	x	2	x 2

4. cos3 2xdx					5.

x 1dx						3.	x2 5 3x3 2dx

	x
	x
	1				dx	6.	arcsin 2xdx

sin	2 x		ctg	x
	2 x			x
		3		3
		3		3

7.	x3			8.		x			9*.	(x2	1)dx
			dx					dx
	1				(x 1)(x	2	2x 3)			x x4	3x2 1
		x8

Вариант 6

Вычислить интегралы:

1.			4 2x						dx		2.
1.	x	2	3x 4						dx		2.
	x		3x 4
4.		1				dx					5.

	sin			4
	sin				x
7.							x			dx	8.

	x	3		x			2
	x			x				x 1

x ln(x 1)dx				3.	2x3 x2 dx
x			dx	6.		xdx
						x 2
2 x4
	3					x	1)
x			dx	9*.		ln(e		dx
x 4						x
		2				e

Ответы к варианту 1.

																																					x	3
		2		3																								1					tg				x			10
				3																													tg							10
1.				tg3x 1					c .												2.										ln					2						c .
						2																														2
	9																																				x

																									10													3
																									10								tg							10
																																	tg			2				10
3.	Указание.									1				1	1	1		. Ответ:					1	ln					x	ln					x 1				c
3.	Указание.									1				1	1	1		. Ответ:					1	ln					x	ln					x 1				c
									x3	x2				x2	x	x 1							x														2
		1			1				x3	x2				x2	x	x 1							x			1								x				c .
4.		1		x3 ln x	1			x3		c .												5.				1	arcsin							x
4.				x3 ln x				x3		c .												5.					arcsin
	3			9																					2											3

							ln				x 2 x 2 2 2								c .
6.				x2 4x 2			ln				x 2 x 2 2 2								c .
			2 x 1 2 2																					8. 1 ecos 2 x c .
7.			2 x 1 2 2						x 1			2	c .											8. 1 ecos 2 x c .
				5								3

	5			3																					2
9. Указание.													dx					d x 2														d x 2										.

																				3																				3
										x2		9x 13 3					x 2 2 9			3																				3

																				2					x 2							3						9			2
																																	1
																																	1
																																						x 2		2
																																						x 2

Ответ: 1 2 1 .

9 1 9 x 2 2 c

Ответы к варианту 2.

												1												1				1	2		1		3		1		1
																																			1
1.	Указание.															t	. Ответ:													3		1				x			c

																									ln		2							ln
																									ln		2							ln
													x											2				x			x		4		1			1
																																			x			2
				7	5											1	1								1
2.		1					1						1				x				arctg x						c .
		1		x6			1	x	6				1		x2					6						6
				x6				x	6						x2					6						6
	7				5							3
3.				1		arctg				x	3			c .


	3			3	3
																					x	1
																						1
		1																3
4.		1	ln			2x2 3x 1												3	ln		2		c .
4.	4		ln			2x2 3x 1											4		ln		x 1		c .
	4																4				x 1

5. x ln 2x 1 x 12 ln 2x 1 c .

6. 23 3x 4 c .

7.		1	ex6				c .
7.	6		ex6				c .
	6
8.			1		cos 3x							1		cos3 3x c .
8.					cos 3x							9		cos3 3x c .
			3									9
	Указания. arctgx t . Ответ:																																1											1
9.																																				t cos 2t										sin 2t						c .
9.																																				t cos 2t										sin 2t						c .
																																	4											2
Ответы к варианту 3.																																					2. 4 ln x																			3. 1 ln x5 3 c .
1. 1 ln x2 5x 4 11 ln x 1 c .																																					2. 4 ln x										4		c							3. 1 ln x5 3 c .
																																															5

	2																	6						x 4					1						5					5		1													5
	2																	6						x 4																5															5
																			x 2
																															6
4. Указание.																																				21					14				.
																																				21					14
													x x			3 x 4																		x 3
													x x			3 x 4														x				x 3							x		4
Ответ:							1		ln		x				5	ln						x 3				1	ln				x 4					c .
							1								5											1

							6					21													14																												2				1
							6					21													14
						1												1																																3
																																																												1
																																																			x3 6x3 12 ln										2	c .
	5.							x cos 5x														sin 5x				c .																					6.												x3
	5.							x cos 5x														sin 5x				c .																					6.												x3
						5												5																																2
																							7
																	3tg						7

				2					3
																							3
	7.									arctg													3	c .																								8. 2e						x		c .
			3				7

																					7

																																																	dx																	1
																			ln x 1 x										2						ln x							1 x					2																			1

																																																															1		2
	9. Указания.																																																		ln x							1 x2			d 1						.
																																																3																2
																							x2 1 3																									3																2
																																												1																			x
																																							3					1				2															x
																																						x		1
																																						x		1			x2
																																											x2
																																1
																													1			2					1
																													1			2					1
	Ответ: ln x																			1 x2 1																		ln 1				x2 c .
	Ответ: ln x																			1 x2 1																		ln 1				x2 c .
																												x2									2

Ответы к варианту 4.

1.	2 x2 c .
			1		1 x 1
		1
		1	5
2. Указание.							.
2. Указание.		x 1 x2 4		x 1	5	x2 4	.

Ответ: 15 ln x 1 101 ln x2 4 101 arctg 2x c .

		5			5		5	2	9

3.	x2 5x 4		ln	x		x				c .
		2			2		2		4

5.x 2x3 16x3 64 ln 3 x 4 c .

7. 13 ln x3 4 x6 c .

4. 13 xe3x 91 e3x c .

6. 12 tg2 x 12 ln 1 tg 2 x c .

8. 3 cos x 4 c .

								x ln x												1							1							1	dx
9. Указание.								x ln x						dx ln xd					x2 1	2	ln x x2 1						2	x2					1	2	dx	.
9. Указание.												3		dx ln xd					x2 1	2	ln x x2 1						2	x2					1	2		.
																																			x
								x2 1 2																											x
								x2 1 2
Ответ: ln x x2 1											1					1
																1
											2 arcsin						c .
											2 arcsin						c .
																x
Ответы к варианту 5.
																	1
1. ln x2 x 2 2																x		2
																x		2
										2		arctg					2		c

										7							7
										7							7
																												6
								x 1	1																			6
				ln								c											5		3x3			2				c
2. 2			x 1																		3.
																															5

								x 1 1														54
								x 1 1														54
	1	sin 2x			1	sin3 2x c																							x
4.	1				1																5. 3ln					ctg			x	c
4.	2				6																5. 3ln					ctg				c
	2				6																							3
												1												ln x4									c
							1	1 4x2														1
6.	x arcsin 2x														c						7.							1 x8
													2
													2
					2																	4

																	1										x 3
												x												1
												x					2							1
	8. Указание.																2															.
	8. Указание.						x 1 x2						2x 3				x 1								2		x2	2x 3				.
	Ответ:		1	ln	x 1					1		ln x2 2x 3						1					arctg x 1 c .
			1							1								1

			2					4											2									2
			2					4											2									2
	9.Указание.										x2 1			dx								xdx												dx
	9.Указание.													dx
							x x4 3x2 1											x4 3x2 1													x x4			3x2 1
1		d x2										dx			1						d x2								1					d x 2
																																						.
						x3										2													2
2		x4 3x2 1				x3		x 4 3x 2 1								2			x4 3x2 1										2				x 4 3x 2 1

			1						3						3 2		5					1								3						3	2		5
	Ответ:			ln	x2								x2											ln		x		2						x	2					c .
	Ответ:		2	ln	x2								x2				4							ln		x		2						x		2			4	c .
			2						2						2		4			2										2						2			4

Решение вариантa 6.

			1.				4			2x				dx							4			2x 2x 3 1																	1 2x 3											dx						dx
																																									1 2x 3

					2																																						2														2
				x			3x 4																																			x		3x 4												x		3x 4
				x			3x 4																																			x		3x 4												x		3x 4
																								3						d x2 3x 4																									3			5
																								3																															3			5
			2x 3											d x																																					x
														d x																																					x
						dx																		2																						1		ln							2			2	ln			x2 3x 4	c .
																								2																						1									2			2
		2																				2										2
	x		3x 4														3								25						x		3x					4							2		5								3			5
	x		3x 4														3								25						x		3x					4									5								3			5
											x																																								x


																	2									4																					2								2			2
																	2									4												1
																		u ln x 1 du																						dx


			2. x ln x 1 dx																																		x 1									x2		ln x 1									1				dx
			2. x ln x 1 dx																dv xdx v														1													2		ln x 1									2		x	2	x 1
																																	1		x2											2											2		x		x 1
																																	2		x2
			1						1			1					1									x2		ln x 1								1			1					x					1				x 1 c .
			1						1			1					1									x2										1			1			ln							1	ln
x2			x 1						x2							x 1																										ln								ln
x2			x 1						x2			x				x 1								2												2x 2												2
			3.	2x3 x2dx									1		2x3 d									x3					1		2x3			c .
			3.	2x3 x2dx											2x3 d									x3										c .
											3																3				ln 2
			4.			dx									d ctgx											1 ctg2 x d ctgx																		ctgx									1	ctg3 x c .

				sin				4	x						sin					2			x																														3
				sin					x						sin								x																														3

xdx

d x2

c .

2 x4

x 2

t2 2 2tdt

2 t2 2 dt

xdx

x t2

4t c

x 2

dx 2tdt

2 x 2 2

4 x 2 2 c .

x2 x 1

x2 x 1 x 1

x 1 x2 1

x 1

x2 1

x 1

xdx

ln x2

x 1

x2 1

arctgx c.

x4 2

2 c .

x4 2

ln e

e x ln ex 1 e x dx e x x ln 1 e x dx

xd e x ln 1 e x d e x 1 xe x e xdx ln 1 e x d 1 e x

xe x e x ln tdt

t 1 e x

xe x

e x t ln t dt

u ln t du

dv dt v t

= xe x e x 1 e x ln 1 e x 1 e x c .

Самостоятельная работа №3

Интегралы и функции нескольких переменных

			Вариант 1
	2
1.	Вычислить интеграл: x2	4 x2 dx .
	0
2.	Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси Oy фигуры
y e x ; x 0; y 0; 0 x .
		1			dx
3.	Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость				dx	.
3.						.
			1	1 x2

4.Найти дифференциал: z (1 xy)y .

5.Исследовать на условный экстремум: z 5 3x 4y при условии x2 y 2 25 .

Вариант 2

2. Найти длину дуги кривой y ex ; 0 x ln 2 .

3. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость ln xdx .

4.Найти дифференциал: z ln(arcsin( x y3 )) .

5.Исследовать на экстремум: z 3x 6y x2 xy y2

Вариант 3

1. Вычислить интеграл: ln 2 ex 1dx .

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярных ко-

ординатах уравнением r 3 2cos .

3. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

1	dx
	dx
		.
	(2 x)(1 x)	.
0

4.Найти дифференциал: z x2 ey2 .

5.Исследовать на условный экстремум: z x2 y2 при условии 2x y 3 0 .

Вариант 4

			64		dx
1.			Вычислить интеграл:		dx		.


				x (1 3
			1	x (1 3		x )
			1
2.			Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
y	lg x	;	y 0; x 0,1; x 10 .
y	lg x	;	y 0; x 0,1; x 10 .
3.			Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

xe x2 dx .

4.Найти дифференциал: z 2 x .

5.Исследовать на экстремум: z 3x2 y y3 12x 15y 3 .

Вариант 5

0.75

1.Вычислить интеграл:

0.25x(1 x)

2.Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ox фигурыx dx .arcsin

y e x ; x 0; y 0; 0 x .

3. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

1	dx
			.

	(2 x)
		1 x
0

4.Найти дифференциал: z (xy xy )3 .

5.Исследовать на условный экстремум: z 1 4x 8y при условии x2 8y2 8.

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]