Методические указания к контрольным (расчетно-графическим) работам по теории упругости и пластичности для студентов специальностей 1-70 03 01 Автомобильные дороги и 1-70 03 02 Мосты, транспортные тоннели и метрополитены

Мху = (0,10 +0,00 +0,00 −0,10)×1000550 = 0 кНм.

Вточке (x = 6,25 м, y = 4,75 м)

W= (−0,59 −0,24 +3,90 −0,59)×1000550 =1,36 мм;

Мх = (0,62 −0,30 +3,00 +0,62)×1000550 = 2,17 кНм;

Му = (−0,25 −9,19 +24,86 −0,25)×1000550 =8,34 кНм;

Мху = (−0,99 +2,45 +0,00 +0,99)×1000550 =1,35 кНм.

Вточке (x = 7,75 м, y = 4,75 м)

W= (−0,21−0,61+1,50 −0,21)×1000550 = 0,26 мм;

Мх = (0,92 +0,94 −6,36 +0,92)×1000550 = −1,97 кНм;

Му = (0,27 −4,74 +6,17 +0,27)×1000550 =1,08 кНм;

Мху = (−0,88 +3,40 +0,00 +0,88)×1000550 =1,87 кНм.

Вточке (x = 9,25 м, y = 4,75 м)

W= (0,08 −1,22 −0,10 +0,08)×1000550 = −0,64 мм;

Мх = (0,10 +0,63 −1,02 +0,10)×1000550 = −0,10 кНм;

Му = (0,24 −1,24 +1,92 +0,24)×1000550 = 0,64 кНм;

Мху = (−0,64 +4,23 +0,00 +0,64)×1000550 = 2,33 кНм.

31

По эпюрам (рис. П3) видно, что в сечении I-I наибольший прогиб W появляется в средней части пластинки и достигает 2,09 мм. Вблизи левого и правого краев наблюдается прогиб пластинки вверх, что указывает на возможный отрыв пластинки от основания. Большие изгибающие моменты Mx и My появляются в средней части пластинки, которые вызывают растяжение ее нижних слоев. Наибольшие крутящие моменты наблюдаются вблизи левого и правого краев пластинки, а в ее средней части они равны нулю.

4. К пластинке приложены четыре силы F = 550 кН в расчетных точках:

1 – xF = 0,25 м, yF = 0,25 м; 2 – xF = 4,75 м, yF = 0,25 м;

5 – xF = 4,25 м, yF = 4,25 м; 7 – xF = 0,25 м, yF = 9,25 м.

Вычислим изгибающие и крутящие моменты в этих точках от совместного действия всех четырех сил. Для этого используем результаты расчета пластинки по программе CROSS, приведенные в табл. П3.

В точке 1

Mx = (9,17 − 4,04 + 0,66 − 0,17) 550/1000 = 3,09 кНм/м; My = (9,17 − 3,78 + 0,66 − 0,07) 550/1000 = 3,29 кНм/м; Mxy = (70,58 − 4,89 + 1,01 − 0,16) 550/1000 = 36,60 кНм/м.

В точке 2

Mx = (−32,26 + 140,00 + 1,92 + 0,24) 550/1000 = 60,44 кНм/м; My = (−3,31 + 6,67 − 1,02 + 0,10) 550/1000 = 1,34 кНм/м;

Mxy = (11,66 + 0 + 0 + 0,63) 550/1000 = 6,76 кНм/м.

В точке 3

Mx = (−2,71 − 0,44 + 78,03 − 2,71) 550/1000 = 39,70 кНм/м; My = (−2,71 − 11,43 + 78,03 − 2,71) 550/1000 = 33,65 кНм/м; Mxy = (0,10 + 0 + 0 − 0,10) 550/1000 = 0 кНм/м.

В точке 4

Mx = (−0,17 + 0,11 + 0,66 + 9,16) 550/1000 = 5,37 кНм/м;

32

My = (−0,07 + 0,16 + 0,66 + 9,16) 550/1000 = 5,45 кНм/м; Mxy = (0,16 − 0,13 − 1,01 − 70,38) 550/1000 = −39,25 кНм/м.

Выберем точку 2 и проведем исследование в ней напряженнодеформированного состояния. Определим давление местной нагрузки на поверхность пластинки, принимая площадку приложения нагрузки квадратной со стороной равной 0,25 см.

Определим поперечные силы от местной нагрузки F:

Найдем момент инерции сечения шириной в один метр:

J = t3 = 323 = 2731 см3. 12 12

Вычислим максимальные нормальные напряжения от изгибающих моментов, которые появляются в точке 2 Mx = 60,44 кНм и

My = 1,34 кНм.

Вычислим касательные напряжения от крутящего момента в точке 2 Mxy = 6,67 кНм:

33

Определим максимальное нормальное напряжение от местной нагрузки

Вычислим максимальное касательное напряжение, вызванное поперечными силами Qzx и Qzy:

Построим эпюры нормальных и касательных напряжений, вызванных внутренними силами в рассматриваемой расчетной точке 2.

Рис. П4. Нормальные и касательные напряжения в поперечных сечениях пластинки от изгибающих и скручивающего моментов

34

Рис. П5. Касательные напряжения τzx и τzy в поперечных сечениях пластинки в окрестности точки 2

Рис. П6. Вертикальные нормальные напряжения от местной нагрузки

5. В окрестности выбранной точки 2 на верхней поверхности пластинки вырежем элементарный объем в форме кубика, покажем все напряжения, действующие на его площадках, и запишем тензор напряжений

35

На всех площадках элементарного объема действуют напряжения (рис. П7). Поэтому материал в окрестности исследуемой точки испытывает объемное напряженное состояние.

σx = -3,541 МПа

X

τxy = 0,396 МПа τxy = 0,396 МПа

σy = 0,078 МПа

Y

Рис. П7. Элементарный объем и напряжения на его площадках

Вычислим инварианты тензора напряжений:

σI = σx +σy +σz = −3,541−0,078 −8,800 = −12,420 ;

=−3,541 (−0,078) (−8,800)+2 0,396 0 0 +3,541 02 +

+0,078 02 +8,800 0,3962 = −1,066.

36

Решим кубическое уравнение (7)

σ3 +12,420σ2 +31,977σ−1,066 = 0 .

со знаком q:

r = +2 6,481 = 2,5457 .

Вычислим вспомогательный угол ϕ

37

Расставим индексы главных напряжений в соответствии с условием

σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 ; σ1 = −0,034 МПа; σ2 = −3,586 МПа; σ3 = −8,800 МПа.

Проверим полученные значения главных напряжений

σI = σ1 +σ2 +σ3 = −0,034 −3,586 −8,800 = −12,420 ;

1σ1 + σ2 σ2 + σ3 σ3 =

=−0,034 (−3,586)−3,586 (−8,800)−8,800 (−0,034)= 31,978;

σIII = σ1 σ2 σ3 = −0,034 (−3,586) (−8,800)= −1,072 −1,066 .

Определим положение главных площадок. Так как на верхней (нижней) площадке касательные напряжения отсутствуют, то эта площадка и нормальное напряжение σ3 = σz = −8,800 МПа, действующее на ней, являются главными. Следовательно, l3 = 0, m3 = 0, n3 = 1.

Найдем положение главной площадки, на которой действует σ1 = −0,034 МПа. Для этого воспользуемся первым уравнением системы (5), разделив его на m1, и учтем, что n1 = 0 получим:

38

Аналогично определим направляющие косинусы для площадки, где действует главное напряжение σ2 = −3,586 МПа:

l2 = −0,994; m2 =0,112; n2 = 0.

Проверим ортогональность (взаимноперпендикулярность) главных площадок.

l1 l2 + m1 m2 + n1 n2 = 0,112 (−0,994)+0,994 0,112 +0 0 = 0 ;

l2 l3 +m2 m3 +n2 n3 = −0,994 0,000 +0,112 0,000 +0 1 = 0 ;

l3 l1 +m3 m1 +n3 n1 = 0,000 (−0,112)+0,000 0,994 +1 0 = 0 .

Ортогональность соблюдается.

Покажем положение главных площадок в окрестности точки 2 (рис. П8).

39

Z

υ3

m2

υ2

Y m1 υ1

Рис. П8. Ориентация главных площадок в пространстве в окрестности точки 2

6. Используя теорию прочности Губера-Мизеса-Генки, определим допускаемую нагрузку Fadm из условия наступления предельного состояния в окрестности расчетной точки 2.

σeqw = σi = σdan ,

где σdan – опасное напряжение, соответствующее предельному состоянию материала, полученное при испытании на осевое растяже-

ние σdan = σy = 20 МПа;

σi – интенсивность напряжения:

σi = 2 12 [(σ1 −σ2 )2 +(σ2 −σ3 )2 +(σ3 −σ1 )2 ]=

= 2 12 [(−0,034 +3,586)2 +(−3,586 +8,800)2 +(−8,800 +0,034)2 ]=

= 7,637 МПа.

Вычислим допускаемую нагрузку:

40