Методические указания и контрольные задания по физике для студентов-заочников энергетических специальностей и факультета информационных технологий и робототехники
.pdfЭлектрическое поле создано длинным цилиндром, равномерно заряженным с линейной плотностью 20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстоянии 0,5 см и 2 см от поверхности цилиндра, в средней его части. Радиус цилиндра - 1 см.
Дано: i? = 1 см = 0,01м;
х = 20 нКл/м = 2-10"^ Кл/м; Oi = 0,5 см = 0,005 м;
«2 = 2 см = 0,02 м. Аф = ?
Решение
Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью поля и изменением потенциала: Е = —градф . Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде
dr
Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих на расстояние Г\ и Гг от оси цилиндра:
Ф2 -Ф1 = - Edr.
Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, для выражения напряженности поля можно воспользоваться формулой напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром:
Е = х1{2т1г^г).
Подставив выражение Е в предыдущую формулу, получим
Ф2-Ф1 = 2%г |
2пе |
о |
о п |
|
или
Ф1-Ф2 = ZTTSg
Произведем вычисления, учитывая, что Г; = R + ai; Г2 ~ R + az:
Ф, -Ф2 = 2 • |
• 1,8• 10'°1п(3/1,5) = 250 В. |
|
З а д а ч а 2.6 |
Определить ускоряющз^о разность потенциалов, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью iO^ м/с, чтобы скорость его возросла в 2 раза.
Дано:
Vi =10^ м/с;
и = V2 /vj =2. Аф = ?
Решение
Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу А сил электрического поля. .Эта работа определяется произведением элементарного заряда е на разность потенциалов Аф:
А = еАф.
Работа сил электростатического поля в данном случае равна изменению кинетической энергии электрона:
где m - масса электрона;
Vb V2 - его начальная и конечная скорости. Приравняв правые части равенств, получим
еЛф |
_ mv2 |
mvf |
_ mvfn^' |
mvf |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
Отсюда - искомая разность потенциалов
. 2 |
/ 2 |
^ |
2е |
Произведем вычисления: |
|
-.6ч2 |
(2^ - 1) В = 8,53 В. |
Аф = |
З а д а ч а 2.7
Конденсатор емкостью 3 мкФ был заряжен до разности потенциалов 40 В. После отключения от источника тока конденсатор соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью 5 мкФ. Какая энергия израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?
Дано:
С, = 3 мкФ = 3 •10"
С2 = 5 мкФ = 5 •10' = 40 В.
:?
Энергия, израсходованная на образование искры:
= |
(2.1) |
где Ж] - энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора;
ff2 - энергия, которую имеет батарея, составленная из двух конденсаторов.
Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле
г.. |
= |
си^ |
(2.2) |
Г |
|
||
где С - емкость конденсатора или батареи конденсаторов. |
|||
Выразив в формуле (2.1) энергии JVi и |
JV2 по формуле (2.2) и |
||
приняв во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим
г ' Л2 |
(2.3) |
где U2 - разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов. Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора
остался прежним, выразим разность потенциалов [/2 следующим образом:
С1+С2 = С,+С2 |
(2.4) |
Подставив выражение С/2 в (2.3), найдем
2 |
l - i C ^ + C ^ f |
2 - ( Q + C2)" |
Произведем вычисления: |
|
•1600 Дж = 1,5 10-^ |
Дж. |
З а д а ч а 2.8 |
|
Потенциометр сопротивлением 100 Ом подключен |
к батарее с |
ЭДС 150 В и внутренним сопротивлением 50 Ом. Определить: 1) показание вольтметра, соединенного с одной из клемм потенциометра и подвижным контактом, установленным посередине потенциометра (сопротивление вольтметра 500 Ом); 2) разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключении вольтметра.
|
Дано: |
|
|
R =:100 Ом; |
|
||
|
150 В; |
В |
|
|
50 Ом; |
|
|
h |
=^ 500 Ом. |
|
|
Ux = |
? |
|
|
щ |
= |
? |
Рис. 2.5 |
|
|
|
|
Решение
Показание вольтметра, подключенного к точкам AviB (рис. 2.5), определим по формуле
где R\ - сопротивление параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра;
1\ ~ суммарный ток в ветвях этого соединения, или ток в неразветвленной части цепи.
Ток I\ найдем по закону Ома для полной цепи:
/] |
(2.5) |
где Re - сопротивление внешней цепи. Это сопротивление есть сумма двух сопротивлений:
R e = ~ + R\- |
(2.6) |
Сопротивление R^ найдем по формуле параллельного соединения проводников:
1
R, Г
откуда
К + 2г2
Подставив в (2.5) выражение Re, по (2.6) найдем
8
R/2 + Ri +Г|
В данном случае решение в общем виде было бы громоздким. Поэтому удобно вычисление величин провести раздельно:
100-500
R,' = 100 + 2-500 = 45,5 Ом;
А |
= |
- - ^ - = 1,03 А; |
' |
|
50 + 45,5 + 50 |
Ui = 1,03 • 45 • 5 = 46,9 В.
Разность потенциалов между точками А и В при отключенном вольтметре равна произведению величины тока на половину сопротивления потенциометра:
U 2 = l 2 ~ , |
(2.7) |
где h - величина тока в цепи при отключенном вольтметре, определяемая по формуле
= i? + rj
Подставив /2 в (2.7), найдем
S-R
Щ =
2(К + пУ
Произведем вычисления: |
|
|
150 |
100 |
= 50 В. |
(100 + 50) |
2 |
|
З а д а ч а |
2.9 |
|
Величина тока в проводнике сопротивлением 20 Ом нарастает в течение времени 2 с по линейному закону от О до 6 А (рис. 2.6). Определить теплоту, выделившуюся в этом проводнике за первую и вторую секунды.
Дано:
R = 20 Ом; |
А_ |
|
у |
|
|
t = 2c- |
|
|
/, = 0 А ; |
|
|
12= 6 А. |
|
|
0 1 = ? |
t, с |
^ 2 = ?
Закон Джоуля - Ленца в виде Q = гт справедлив для постоянного тока (/ = const). Если сила тока в проводнике изменяется, указанный закон справедлив для бесконечно малого интервала времени и записывается в виде
dQ = I^Rdt, |
(2.8) |
где сила тока / является некоторой функцией времени. В данном случае
I ^ k t , |
(2.9) |
где к - коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость изменения величины тока:
^ - — = - А/с - 3 А/с. ^t 2
С учетом (2.9) формула (2.8) примет вид
dQ^k^Rt^dt. (2.10)
Для определения теплоты, выделившейся за конечный интервал времени At, выражение (2.10) надо проинтегрировать в пределах от ti до h'.
h 1 .
h
Произведем вычисления:
а = ^ - 3 2 . 2 0 - ( 1 - 0 ) = 60 Дж;
0 2 = ^ - 3 ^ - 2 О - ( 8 - 1 ) = 42О ДЖ.
Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов, трех - сопротивлением 120, 52, 26 Ом, и гальванометра (рис. 2.7). В этой цепи гальванометр регистрирует ток 55 мА, идущий в направлении, указанном стрелкой. Определить ЭДС второго элемента, если ЭДС первого элемента равна 2 В. Сопротивлением гальванометра и внутренним сопротивлением элементов пренебречь.
Дано: |
В |
Ci |
=120 Ом; |
|
|
|
l2 |
|
i?2 = 152 Ом; |
|
|
А'- |
|
|
i?3 =26 Ом; |
1 \ |
|
8] = 2 В; |
"1 |
® |
|
||
|
|
|
/з = 55 мА. |
и |
ih |
8 2 = ? |
|
|
|
Рис. 2.7 |
|
|
|
Решение
Для расчета разветвленных цепей применяются законы Кирхгофа, на основании которых можно составить уравнения, необходимые для определения искомых величин (токов, сопротивлений и ЭДС). Применяя законы Кирхгофа, необходимо соблюдать следующие правила:
1. Перед составлением уравнений произвольно выбрать:
1) направления токов, если они не заданы в условии задачи (указать их стрелками на чертеже);
2)направления обхода контуров.
2.При составлении уравнений по 1-му закону Кирхгофа считать токи, подходящие к узлу, положительными, а токи, отходящие от узла, - отрицательными (число уравнений, составляемых по этому закону, должно быть на единицу меньше числа узлов, содержащихся в цепи).
3.При составлении уравнений по 2-му закону Кирхгофа надо считать, что:
1) падение напряжения на участке цепи (т.е. произведение входит в уравнение со знаком плюс, если направление тока на данном участке совпадает с выбранным направлением обхода контура,
исо знаком минус - в противном случае;
2)ЭДС входит в уравнение со знаком плюс, если она повышает потенциал в направлении обхода контура (т.е. при обходе приходится идти от минуса к плюсу внутри источника тока), и со знаком минус - в противном случае (число уравнений, которые могут быть составлены по 2-му закону Кирхгофа, должно быть меньше числа замкнутых контуров, имеющихся в цепи).
Дня составления уравнений первый контур можно выбирать произвольно. Все последующие контуры следует выбирать таким образом, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна ветвь цепи, не участвовавшая ни в одном из ранее использованных контуров. Если при решении уравнений указанным выше способом получены отрицательные значения силы тока или сопротивления, это означает, что ток через данное сопротивление в действительности течет в направлении, противоположном произвольно выбранному.
Выберем направления токов, как показано на рис. 2.7, и условимся обходить контуры в направлении, совпадающем с направлением движения часовой стрелки.
Согласно 1-му закону Кирхгофа, для узла Е |
|
/ , - / 2 - / 3 = 0 , |
|
По 2-му закону Кирхгофа для контура ABCDEA |
|
- /,7?, - /2i?2= - Si> |
(2-11) |
или после умножения обеих частей равенства на -1 |
|
/ , i ? l + / 2 i ? 2 = £ , . |
(2.12) |
Соответственно для контура AEFHA: |
|
= |
(2.13) |