Методические указания и контрольные задания по физике для студентов-заочников энергетических специальностей и факультета информационных технологий и робототехники
.pdfДано:
Л = 6,37 10' м;
Решение
Со стороны Земли на ракету действует сила тяжести. При неработающем двигателе под действием силы тяжести механическая энергия ракеты изменяться не будет.
Следовательно,
Г 1 + Я 5 = Г 2 + Я 2 , |
(1.13) |
где Ti, III и Т2, П2 - кинетическая и потенциальная энергия ракеты после выключения двигателя в начальном (у поверхности Земли) и конечном (на расстоянии, равном радиусу Земли) состояниях.
Согласно определению кинетической энергии,
(1.14)
Потенциальная энергия ракеты в начальном состоянии
(1.15)
По мере удаления ракеты от поверхности Земли ее потенциальная энергия возрастает, а кинетическая - убывает. В конечном состоянии кинетическая энергия Т2 станет равной нулю, а потенциальная достигает максимального значения:
Щ = |
(1.16) |
2R
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тел, бесконечно удаленных друг от друга, принимается равной нулю. Подставляя выражения Гь и Гг, ЯгВ (1.13), получаем
mi^/2-GmM/{2R) |
= |
-GmM/i2R), |
откуда |
|
|
Oi = ylGM/R |
- |
, |
где g = GMIE} - ускорение свободного падения у поверхности Земли. Подставим числовые значения величин и произведем вычисления:
Ui = 79.8-6,37 -10^ м/с = 7,9 • 10^ м/с.
З а д а ч а 1.7
Частица массой 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом 2 с. Полная энергия колеблющейся частицы - 0,1 мДж. Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы Ртах, действующей на частицу.
Дано:
Г=2с; ^=0,1 мДж= 1 • 10"'Дж; w = 0,01 кг.
J = 7
^тах ~ ?
Решение
Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением полной энергии частицы
2я Подставив сюда выражение со = — и выразив амплитуду, полу-
чим
(1.17)
2п\ т
Подставим числовые значения величин и произведем вычисления:
^ = — ? |
М = 0,045 м. |
2-3,14 |
V 10 |
Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением
|F| - kx,
где к - коэффициент квазиупругой силы; X - смещение колеблющейся точки.
Максимальное значение сила приобретает при максимальном смещении Хтах, равном амплитуде, т.е.
(1.18)
Коэффициент к выразим через период колебаний:
k = |
(1.19) |
Подставив в уравнение (1.18) выражения для к из формулы (1.19) и ^ из формулы (1.17), после сокращений и упрощений получим
^тах = Y ' ^ ^ ^ •
Произведем вычисления:
З а д а ч а 1.8
Складываются два колебания одинакового направления, выраженные уравнениями
27С
XI = ^ i C 0 S y ( ? + Ti);
27Г
X2=A2COS~(t+T2),
где = 3 см; Aj =2 см; Т] = 1/6 с; Т2 = 1/3 с; Г = 2 с.
Построить векторную диаграмму сложения этих колебаний и написать уравнение результирующего колебания.
|
Дано: |
|
= 4 c o s y ( / |
+ Ti); |
|
^ |
271 . |
V |
Х2 = A2COS~(t |
+ T2); |
|
у4) = 3 см; = 2 см ;
1
А|С05ф1+ЛаС08ф2
1 |
|
= зС; |
Рис, 1.3 |
|
Г = 2 с .
Для построения векторной диаграммы сложения двух колебаний одного направления надо фиксировать какой-либо момент времени. Обычно векторную диаграмму строят для момента времени t - 0. Преобразовав оба уравнения к канонической форме
х = А cos((ot + ф),
получим
. |
.Ik ^ In |
. |
Отсюда видно, что оба складываемых гармонических колебания имеют одинаковую циклическую частоту со = 2тх/Г. Начальные фазы 1-го и 2-го колебаний соответственно равны
|
|
|
|
|
|
2я |
|
|
|
Произведем вычисления: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2я |
271 |
с |
_] - , . |
|
_1 |
; |
|
|
|
й) = — |
= — |
|
=3,14с |
|
|||
Ф1 = |
^тс |
1 |
-„о |
' |
27Т |
1 |
|
||
Z |
• 7 Р^Д = ^^ |
|
Ф2 = ^ |
• г рад = 60° |
|||||
|
о |
|
|
|
Z |
|
i |
|
|
Изобразим векторы А\ |
и |
Для этого отложим отрезки длиной |
|||||||
= 3 см и = 2 см под углами |
|
= 30° и ф2 = 60° к оси ОХ. Ре- |
|||||||
зультирующие колебания будут происходить с той же частотой и амплитудой А , равной геометрической сумме амплитуд1
Согласно теореме косинусов,
А = y j j ] + А\+2А lA 2С08(Ф2 - Ф 1).
Начальную фазу результирующего колебания можно определить непосредственно из векторной диаграммы (рис. 1.3):
ф |
Д зтф, + Aysinwy |
|
arctg —^—— |
^ — ^ . |
|
|
Дс08ф1 + y^2COSф2 |
|
Произведем вычисления: |
|
|
A = ^JЗ^ +2^ |
+3-3-2cos(60° |
- 3 0 ° ) см = 4,84 см; |
^ arctg 3sm30° + 2sin60° ^ ^ ^ |
^ 393 ^ 42° или 0,735 рад. |
|
Так как результирующее колебание является гармоническим, имеет ту же частоту, что и слагаемые колебания, его можно записать в виде
|
X = Acos(a>t |
+ ф), |
где ^ = 4,84 см; со = 3,14 |
; ф = 0,73 5 рад. |
|
|
З а д а ч а |
1.9 |
Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых:
JC = yljcos (О,/, |
(1.20) |
y = A2COSO)2f, |
(1-21) |
где Л1 == 1 см; = 2 см; со 1 = тг с~'; со 9 = — с"' . 2
Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.
Дано: |
в |
|
Г, |
|
А |
|
|
|
|
2 |
|
||
X = Aicoscoit; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
у = А2С08С£>2^', |
[ |
/ \ |
|
|
||
Ai = 1 см; |
|
|
|
|||
|
|
|
X |
|||
А2 =2 |
см; |
|
|
1 |
||
|
|
|
||||
fflj = 7t с"'; |
-1 |
\ |
^ |
' 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
к |
-I |
. |
|
|
|
|
СОо = — с |
|
|
|
|
||
^ 2 |
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D
Рис. 1.4
Решение
Чтобы определить траекторию точки, исключим время из уравнений (1.20) и (1.21). Заметив, что
У = А2 cos(a)j /2)t,
применим формулу косинуса половинного угла:
cos(a/2) = ±7(1 +cos а ) / 2 .
Используя это соотношение, можно написать
|
|
(1.22) |
X = |
COS(Oit, |
(1.23) |
откуда |
|
|
У = ±2^(1+ х)/2 |
или = ±л/2х + 2) . |
(1.24) |
37
Полученное уравнение представляет собой уравнение параболы, ось которой лежит на оси ОХ. Как показывают уравнения (1.20) и (1.21), амплитуда колебаний точки по оси ОХ равна 1, а по оси OY - 2. Следовательно, абсциссы всех точек траектории заключены в пределах от -1 до +1, а ординаты - от -2 до +2.
Для построения траектории найдем по уравнению (1.22) значения у, соответствующие ряду значений х, удовлетворяющих усло-
вию <1:
X |
У = у12Х + 2 |
д: |
y = yj2x + 2 |
-1 |
0 |
0 |
±1,41 |
-0,75 |
±0,71 |
0,5 |
±1,73 |
-0,5 |
±1 |
1 |
±2 |
Начертив координатные оси и выбрав единицу длины - сантиметр, построим точки. Соединив их плавной кривой, получим траекторию результирующего колебания точки. Она представляет собой часть параболы, заключенной внутри прямоугольника амплитуд ABCD (рис. 1.4). Из уравнений (1.20) и (1.21) находим, что период колебаний точки по горизонтальной оси Г^с = 2 с, а по вертикальной оси Ту = 4 с. Следовательно, когда точка совершит одно полное колебание по оси ОХ, она совершит только половину полного колебания по оси 0Y.
В начальный момент (при t = 0) имеем: х = 1; >> = 2. Точка находится в положении А. При / = 1 с получим: х = -1;;; = 0. Материальная точка находится в вершине параболы. При t = 2 с получим: л: = 1; = -2. Материальная точка находится в положении D. После этого она будет двигаться в обратном направлении.
З а д а ч а |
1.10 |
Плоская волна распространяется |
вдоль прямой со скоростью |
20 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях 12 и 15 м от источника волн, колеблются с разностью фаз 0,75 л. Найти длину волны, написать уравнение волны и найти смещение указан-' ных точек в момент времени 1,2 с, если амплитуда колебаний - 0,1 м.
Дано:
u=20 м/с; xi = 12 м; Х2 = 15 м; Аф = 0,75 п;
А = 0,1 м; 1,2 с.
Х = 7
Решение
Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны X, колеблются с разностью фаз, равной 2п; точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии Ал;, колеблются с разностью фаз, равной
Аф = Ах • 27г / А. = (Х2 ~ х^ )2п / X.
Решая это равенство относительно X, получаем
X = 2п(Х2 - х^) / A(f>. |
(1.25) |
Подставив числовое значение величин, входящих в выражение (1.25), и выполнив арифметические действия, получим
. 271(15-12) |
- |
Х = —^^ |
м = 8 м. |
0,7571 |
|
Чтобы написать уравнение плоской волны, надо еще найти цик-
лическую частоту |
Так как |
ш = 271/7,
где Т = Х/х> - период колебаний, то
а)-2ло/Х.
Произведем вычисления:
со |
2л-20 |
с_1 = 5тс с- 1 |
|
8 |
|
Зная амплитуду А колебаний, циклическую частоту со и скорость и распространения волны, можно написать уравнение плоской волны для данного случая:
у = А cos (o(t - x/v), |
(1.26) |
где^ = 0,1 м; ю = 5л с"'; и = 20 м/с.
Чтобы найти смещение указанных точек, достаточно в уравнение (1.26) подставить значения tux:
_ =0,lcos57t(l,2-12/20) =0,lcos37r = - 0,1 м;
>^2-0,1cos57i(1,2-15/20) m = 0,lcos2,257t м = 0,071 м.
З а д а ч а 1.11
Определить число молекул, содержащихся в объеме 1 мм^ воды, и массу модекулы воды. Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, соприкасающихся друг с другом, найти диаметр молекул.
Дано:
F = 1 мм^ |
м. |
ОТ0 = ?
Решение
Число N молекул, содержащихся в некоторой системе массой т, равно произведению постоянной Авогадро Na на количество вещества V:
N = vN,.