x 1

y 2

z 3

x 1

y 2

z 3

.

3

17

n

6

16

17

8 n

16 n

x 3

y 6

z 7

Пример 2.6.

Найти величину

угла

между

прямой

и плоскостью

1

2

4x 2 y 2z 3 0.

1

Решение. sin

4 1 2 1 2 2

6

1

π

.

1 1 4 16 4

4

6 24

2

6

всех y Y называется множество значений функции f и обозначается E(f).

Число А называется пределом функции y f (x) в точке x0 (или при

x x0 ), если для

любого 0 , можно указать такое число ( ) 0 , что для всех х, удовлетворяющих неравенству

| x x0 | , выполняется неравенство

f (x) A

. Тот факт, что А является пределом функции

y f (x) в точке x0

записывается в виде lim f (x) A .

x x0

Если функция

f (x) определена в точке x0 X и в некоторой ее окрестности существует

предел функции при x x0 , равный значению функции в этой точке, т.е. lim f (x) f (x0 ) , то

x x0

функция f (x) называется непрерывной в точке x0 X . Функция непрерывна на множестве Х,

точке. Под

знаком

непрерывной функции можно переходить к пределу:

lim f (x) f

lim (x)

.

x x0

x x0

Пример 3.1. Найти

lim

x2 3x 2

.

x 1 2x2 2x 4

Решение.

lim

x2 3x 2

1 2 3 1 2

0

0.

2x2 2x 4

2 1 2 2 1 4

x 1

4

3.2. Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной

lim C C.

x x0

Теорема 2. Пусть lim f (x) A и lim g(x) B , тогда

x x0

x x0

1)

lim f (x) g(x) lim

f (x) lim g(x) A B.

x x0

x x0

x x0

2)

lim f (x) g(x) lim

f (x) lim g(x) A B.

x x0

x x0

x x0

3)

lim c f (x) c lim

f (x) c A.

x x0

x x0

f (x)

lim f (x)

A

B 0

.

4)

lim

x x0

g(x)

lim g(x)

B

x x0

x x0

Из 2) теоремы 2 следует, что если lim f (x) A , то

x x0

lim f (x) n An , n N;

lim n f (x) n A A 0,

n четное

x x0

x x0

Пример 3.2. Найти предел lim

x2

3x 2

.

x 1 x2

2x 5

lim

x2

3x 2

lim x2

3x 2

lim x2

3lim x lim 2

1

3 2

6

3

.

x 1

x 1

x 1

x 1

x2

2x 5

lim x2

2x 5

lim x2

2lim x lim5

1

2

5

4

2

x 1

x 1

x 1

x 1

x 1

вычисление пределов приводит к неопределенным выражениям вида

0

,

, , 0 ,

0

Пример 3.3. Найти пределы: а) lim

3x2 x 2

; б)

lim

1 3x 1

; в)

lim

5x2 6x 1

;

4x2 5x 1

5x

x 1

x 0

x 6x2 4x 2

г)

lim

3x4 2

; д) lim

x

x2 5x

; е) lim

1

3

.

8

3

x 1

x

3x

4

x

x 1

1 x 1

x

неопределенность

вида

0 . Преобразуем дробь,

разложив числитель и знаменатель на

0

множители и сократив на множительx 1 0 , получим

3(x 1)

2

3

2

3

2

3x

2

x 2

x

3

x

1

3

5 .

lim

lim

lim

3

1

1

1

x 1

4x2 5x 1

x 1

4(x 1)

x 1

4

4

3

x

4

x

1

4

4

б) Имеем неопределенность вида

0

. Избавимся от иррациональности в числителе, умножив

0

числитель и знаменатель дроби на сопряженное к числителю выражение 1 3x 1:

lim

1 3x 1

lim

1 3x 1

1 3x 1

lim

1 3x 1

5x

5x

1

3x

5x

1

x 0

x 0

1

x 0

3x 1

lim

3x

lim

3

3

.

x 0

x 0

10

5x 1 3x

1

5

1 3x 1

вида

. Разделим числитель и знаменатель дроби на высшую степень х, т.е. на х2:

6

1

5x2 6x 1

5

x

5 0 0

5 .

lim

lim

x2

6x2 4x 2

4

2

6 0 0

x

x

6

6

x

x2

3x4 2

3

2

3

lim

lim

x4

3.

x8 3x 4

1

x 1

x 1

3

4

1

x7

x8

д) Имеем неопределенность вида

.

Умножим и разделим выражение в скобках на

сопряженное:

x x2 5x x

x2 5x

lim

x

x

2

5x

lim

lim

x2

x2

5x

x

x2 5x

x

x

x x

x2

5x

lim

5x

lim

5

5 .

x2 5x

5

x x

x

2

1

1 x

е) Неопределенность

вида

преобразуется

к неопределенности

0

привидением

функции к общему знаменателю.

0

1

3

1

3

1 x x2

3

lim

lim

lim

1 x

1

x

3

1 x

(1 x) 1 x x

2

(1

x) 1 x

x

2

x 1

x 1

x 1

lim

x2 x 2

lim

(x 1)(x 2)

lim

(x 2)

3

1.

(1 x) 1 x x2

x) 1 x x

2

1 x x2

3

x 1

x

1 (1

x 1

предел

lim sin x

1,

который

называют

первым замечательным пределом. Этот предел

x

0

x

0 .

применяется

для раскрытия

некоторых

неопределенностей

вида

Из данного равенства

вытекает:

0

x

tgx

0

sin x

1

sin x

1

lim

1;

lim

lim

lim

lim

1 1

1;

sin x

x

x

x

cos x

x 0

x 0

0

x 0

cos x

x

0

x 0

arcsin x

0

arcsin x y

x sin y

y

arctgx

lim

y 0

lim

1; lim

1.

x

sin y

x

x 0

0

x 0

y 0

x 0

Пример 3.4. Найти пределы: а) lim 1 cos x

;б) lim

2x arctgx

2x arcsin x

x

0

3x2

x 0

2

x

x 2

1 cos x

0

2sin

2

sin

1

1

1

Решение. а)

2

2

lim

2

lim

lim

1

.

3x

3x

2

x

x 0

0

x 0

3 x 0

4

6

6

2 arctgx

2

2x arctgx

0

2 1

1

x

б) lim

lim

.

2x

arcsin x

arcsin x

2 1

3

x 0

0

x 0

2

x