x xB

y yB

x 1

y ( 2)

x 1

y 2

2(x 1) 2( y 2) x 1 y 2

1 1

x

x

B

y

y

B

0 ( 2)

2

2

C

C

x y 1 0 общее уравнение прямой ВС.

Так как AH CB , следовательно, скалярное произведение BC,

AH 0.

x 2, y 2 и

1 1; 0 ( 2)

2; 2 .

у

AH

BC

BC

А(2; 2)

BC,

AH 0. , следовательно,

2 x

2 2( y 2) 0 2x 2 y 0 x y 0

С(-1; 0)

х

– общее уравнение АН.

Для нахождения координат точки Н решим систему

Н(х; у)

x

y 1;

2 y 1;

x 1 ; y

1 .

В(1; -2)

y 0.

x

x y.

2

2

Рис.4

1

;

1

Ответ. H

2

.

2

2.3.2. Прямая в пространстве. Различные виды прямой

Уравнение

прямой

l,

проходящей

через

Mo xo , yo , zo , с

направляющим

вектором

||

x xo

y yo

z zo

. Такие уравнения называются каноническими уравнениями

Mo M

s

m

n

p

прямой.

Параметрические уравнения прямой примут

z

l

вид

M(x, y, z)

x xo

y yo

z zo

t

x xo

t;

y yo

t;

Mo(xo ,yo ,zo)

m

n

p

m

n

(m, n, p)

x

xo mt;

s

z z

y

o

t y

yo nt;

0

p

zo pt.

x

Рис.5

z

Уравнение прямой, проходящей через две точки M1 x1 , y1 , z1 и M2 x2 , y2 ,

z2

x x1

y y1

z z1

.

x

x

y

2

y

z

2

z

2

1

1

1

1. В

пространстве

Oxyz составим

уравнение

плоскости p, проходящей через точку

Mo xo ,

yo , zo перпендикулярно нормальному вектору плоскости

A, B,

C

(рис.6).

n

z

A, B, C

n

Mo

M(x, y, z)

p

O

y

х

Рис. 6

Возьмем любую точку M(x, y, z), лежащую

на плоскости р. Векторы

и

Mo M

n

перпендикулярны.

Следовательно, скалярное произведение этих векторов равно

нулю, т.е.

(

,

) 0 или

в

координатной

форме A(x x0 ) B( y yo ) C(z zo ) 0.

Уравнение

Mo M

n

Ax By Cz D 0 , где A, B, C не равны одновременно нулю (A2 + B2 +

C2

0) называется

общим уравнением плоскости.

три точки M1 x1, y1,

z1 ,

x2 , y2 , z2 ,

2. Уравнение плоскости, проходящей через

M2

Пусть M(x, y, z) – произвольная точка плоскости, тогда векторы

x x1; y y1;

z z1 ,

M1M

x2 x1; y2 y1; z2 z1

x3 x1; y3 y1; z3 z1

компланарны,

а,

M1M2

M2 M3

Пример 2.4. Общие уравнения прямой x 2 y 3z 2

0,

привести к каноническому виду.

2x 2 y z 5 0.

Решая систему, находим

x 1,

y

3

. Итак,

на прямой

известна

точка (1;

3

; 0) .

2

2

Направляющий вектор прямой находим по формуле

;

(

;

–

векторы нормалей

s

n

n

n

n

1 2

1 2

i

j

k

i

2

3

1 3

1 2

4i 7

, т.е.

= (-4; -7; -6).

s

1

2

3

j

k

j

6

k

s

2

2

1

2

1

2 1

2 2

3

3

Тогда канонические уравнения прямой имеют вид:

x 1

y _ 2

z 0

или

x 1

y

2

z

–

4

4

7

искомые уравнения прямой.

7

6

6

2.5. Угол между двумя прямыми на плоскости и в пространстве

Пусть

m1,

n1,

p1 и

m2 ,

n2 ,

p2

– направляющие

векторы

двух

прямых

в

s1

s2

cos

s1

s2

m1m2 n1n2

p1 p2

.

s

s

m2 n2

p2

m2 n2 p2

1

2

1

1

1

2

2

2

m1 m2 n1 n2

Тогда на плоскости s1 m1, n1 и s2

m2 ,

n2 :

cos

.

m2

n2

m2

n2

1

1

2

2

Условие параллельности двух прямых:

||

, т.е.

m1

n1

p1

.

s

s

2

1

m2

n2

p2

Условие перпендикулярности двух прямых:

(

,

) 0, т.е. m1m2 n1n2 p1 p2 0.

s1

s2

s1

s2

Угол между двумя плоскостями есть угол между их

нормальными векторами. Пусть

( A1, B1, C1 ) и

( A2 , B2 , C2 )

–

нормальные векторы двух плоскостей в пространстве,

n1

n2

тогда

,

n1

n2

A2

A A B B C C

C2 .

cos n n

B2 C2

2

A2

B2

1

2

1

1

2

1

2

1

1

1

2

2

2

Условие параллельности двух плоскостей.

||

,

т.е.

A1

B1

C1 .

n

n

1

2

A2

B2

C2

Условие

перпендикулярности

двух

плоскостей.

n1

n2

(

n1

,

n2

) 0 ,

т.е.

Пусть прямая l задана каноническими уравнениями

x xo

y yo

z zo

, а плоскость p –

m

n

p

угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Он является дополнительным до

π

к углу

2

m,

p

A, B, C (рис. 7).

между векторами

n,

и

s

n

z

A, B,C

l

n

π/2-φ

m, n,

p

s

p

φ

O

y

х

Рис. 7

,

n

s

A m B n

C p

Тогда sin cos

2

.

n

s

A2 B2 C2

m2 n2

p2

3

m 1 n 2 p 0;

s s1,

s s2

m 5 n 4 p 0.

2

второе), получим

3 n 5n 4 p 0

3 n 5n 4 p 0

17 n.

2

p

8

4

16