7.ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

7.1.Вычисление определённого интеграла

7.2. Приложение определённого интеграла

7.3 Несобственные интегралы

7.4. Интегралы с бесконечными пределами (I рода)

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методические указания и контрольные задания по высшей математике.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Например,

																											t2	1	2	t		8t		dt
1		4		x		4		x				2						4						8tdt						t		8t		dt
			x		dx		x			t			; x						; dx								16
	x 2		x		dx		x			t			; x			t2 1			; dx			t	2		2		16				t	2			2
																						t		1							t		1
							1		t	2	dt			1	t		3	c		t	4		x			1	4 x 3				c c					4 x	4	x	.
							1			2				1			3				4		x			1	4 x 3									4 x	4	x
							2							6									x			6		x								6x		x
							2							6									x			6		x								6x		x

	а) Формула Ньютона-Лейбнца.
	Теорема. Еслиf(x) – непрерывнана a,b							то
						ab	f	x dx F b F a ,										(7.1)
где F x			–	любая первообразная дляфункции f x						на a;b .
		Например, вычислим определённый интеграл
								tg		x				1		2		1 ln 2
4	3		4		2	4	4	tg		x				1		2		1 ln 2
									2				4
0	tg xdx 0			sec		x 1 tgxdx 0 tgxd tgx 0 tgxdx					ln	cos x			ln		0 ln1		.

														2		2		2

								2					0
								2					0

б) Замена переменной в определённом интеграле.

Теорема. Если функция f x

непрерывна

на

a;b , а функция

x t непрерывно

дифференцируемана c; d и c a,

d b,

a t b , то

b f

d f

(7.2)

–формула замены переменной в определённом интеграле. Например, вычислим определенный интеграл.

	dx	2x 1 t2
4	dx	1	2
0		x 2 t		1
0	1 2x 1	x 2 t		1
		dx tdt

x 0, t2	1, t 1	13	tdt	13 t 1 1 dt
x 4, t2	9, t 3		tdt
x 4, t2	9, t 3
		1 t		1 t

3		1				3	3 ln 4 1 ln 2 2 ln 2.

1	1		dt t ln	t 1
		t 1
					1

в) Интегрирование по частям в определённом интеграле.

Теорема. Если функции u u x									и v v x - непрерывно дифференцируемые на a;b то
							ab udv uv						ba ab vdu							(7.3)
																				(7.3)

– формула интегрирования по частям в определённом интеграле.
Например,		u arctgx,					dv xdx
1											x2			1	1	1 x2 1			1
1											x2			1	1	1 x2 1			1
0 xarctgxdx			1					x2				arctgx		0		0	1 x	2		dx
0 xarctgxdx			1					x2			2	arctgx		0	2	0		2		dx
	du				dx, v
	du			1 x2	dx, v			2
	2		arctgx			x				1
	2									1
		x					arctgx					1 1					1 .
							arctgx					1 1					1 .
			2		2		2			0		2 4 2 8 4 2
										0

а) Вычисление площадей плоских фигур.

Площадь криволинейной трапеции, ограничена прямыми

x = a, x = b, (a < b), осью ox и непрерывной кривой y f x , y 0 .

Вычисляется по формуле

S ab f x dx

(7.4)

Пример 7.1. Найти площадь области, ограниченной линиями xy = 4; x+y=5

Решение: Построим область S (рис. 1) и найдём

xy 4

абсциссы точек пересечения А, В: ,

x y 5

y 5 x, x2 5x 4 0 x 1;										x 4,
									1	2
				4			4
тогда S 1 5					x		dx
							x
		x	2			4		1	8ln 2 ед2 .
						4

	5x			4ln x			7


	2					1		2
						1

Пример 7.2. Найти площадь области, ограниченной линиями y2 2x 1; x y 1 .
Решение: Построим область S (рис. 2) и		найдём			ординаты		точек		пересечения А, В:
y2	2x 1		,
			,
x y 1
	x y 1, y2 2 y 1 1, y2 2 y 3 0
	y1	1, y2		3.
		3			y2 1		y2	3		y3	3
		3			y2 1		y2	3		y3	3
	S 1 y 1					dy			y
	S 1 y 1			2		dy		2	y	6
				2			2	2		6	1
	16		1 .				2				1
	16	5	1 .
	3		3

Понятие определённого интеграла дано для конечного отрезка a;b и непрерывной на нём функции f x . Оно теряет смысл, если интервал интегрирования бесконечен или функция в

интервале интегрирования имеет точки разрыва 2го рода.	не ограничена на a;b , или
Интеграл называется несобственным, если функция f x	не ограничена на a;b , или
неограниченна сама область интегрирования.

Если f(x) непрерывна, a x , то по определению

	f x dx lim	b f x dx	(7.5)
a	b	a

Если существует конечный предел в правой части формулы (7.5), то несобственный интеграл называется сходящимся, если же этот предел бесконечен, или не существует, то – расходящимся и значения не имеет.

Аналогично определяются интегралы:

b	f x dx lim	b	f x dx;
	a a
	f x dx lim	c	f x dx lim	b f x dx.
	a	a	b	c

Если оба предела в правой части конечны, то интеграл называется сходящимся, если же хотя бы один из них бесконечный или не существует, то – расходящимся.

Итак, несобственные интегралы с бесконечными пределами – пределы определённых интегралов с переменными верхними или нижними пределами при стремлении этих пределов к бесконечности.

Вычислить несобственные интегралы, или установить их расходимость:

lim b

lim

b d ln x

lim

lim 1

x ln

ln x

ln b

b e

интеграл сходится и его значение равно 1.

3lim 3

a ,

lim

3 dx lim 3 3 x

4 3

a a

интеграл расходится и значений не имеет.

cos xdx lim

b cos xdx limsin x

limsin b .

– предел не существует интеграл расходится.

у2 24х 48 .

Задание 1. Доказать совместность данных систем и решить по формулам Крамера.

	2x			3x		x		4;
		1		2		3
1.1.		3x1		x2		3x3		5;
		x		x		x		3.
		1		2		3
		2x		x		x		1;
		1		2		3
1.3.		x1		x2		2x3		7;
	2x		x		x			3.
		1		2		3
		x		x		2x		2;
		1		2		3
1.5.	2x1			x2		3x3		4;
		3x		x		x		13.
		1		2		3
		3x	2x		4x		8;
		1		2		3
1.7.	2x1			4x2		5x3		11;
		x		2x		x		1.
		1		2		3
	2x			x		2x		0;
		1		2		3
1.9.	4x1			x2		4x3		6;
		x		x		2x		4.
		1		2		3

		2x	x	x	3;
		1	2	3
1.11.	3x1		x2	2x3	7;
		x	2x	x	2.
		1	2	3
		3x	x	x	2;
		1	2	3
1.13.		x1	x2	x3	0;
	2x		2x	3x 7.
		1	2	3
		x	3x	x	0;
		1	2	3
1.15.	2x1		x2	2x3	1;
		3x	2x	3x 5.
		1	2	3
		3x	3x	x	2;
		1	2	3
1.17.		x1	2x2	3x3	3;
	2x		x	x	1.
		1	2	3

			x	x		2x			4;
			1	2		3
1.2.	2x1			3x2		x3			1;
			x	x		x			0.
			1	2		3
			x	2x		x			1;
			1	2		3
1.4.		3x1		x2		2x3			2;
	x			x		2x			0.
			1	2		3
	2x			x	x			1;
			1	2		3
1.6.		3x1		x2	x3			1;
			x	x	x			5.
			1	2		3
	2x			x		x			0;
			1	2		3
1.8.		3x1		4x2		x3		11;
			x	x		x			1.
			1	2		3
			x	2x		x			6;
			1	2		3
1.10.		2x1		x2		x3			7;
			x	3x		x			2.
			1	2		3
			x	2x		2x			1;
			1	2			3
1.12.		2x1		x2		x3			6;
			3x	x		3x			5.
			1	2			3
			x	2x		x			3;
			1	2			3
1.14.		3x1		x2		2x3			7;
			x	3x		3x			10.
			1	2			3
		2x		2x		x			2;
			1	2			3
1.16.			3x1	x2		4x3			4;
			x	2x		2x			5.
			1	2			3
			x	x		3x			2;
			1	2			3
1.18.		x1		2x2		x3			5;
			2x	3x		2x 4.
			1	2			3

		3x		2x			x		5;
		1		2			3
1.19.		x1		2x2			2x3		0;
	2x		x		3x				3.
		1		2			3
	2x		3x			4x		7;
		1		2			3
1.21.		x1		2x2			x3		1;
		4x		x			x		1.
		1		2			3
		3x		x			2x		7;
		1		2			3
1.23.		x1		2x2			x3		1;
	x			5x			x		1.
		1		2			3
	2x			x			x		3;
		1		2			3
1.25.		3x1		x2		3x3		13;
		x		x		2x		2.
		1		2			3

		3x	3x		x			2;
		1		2		3
1.20.		x1		2x2		2x3		0;
	2x		2x		3x		6.
		1		2		3
		x		2x		x		1;
		1		2		3
1.22.		2x1		x2		2x3		4;
	x			2x	3x		7.
		1		2		3
		x	2x		3x			3;
		1		2		3
1.24.	2x1			2x2		x3		3;
		x		x		2x		10.
		1		2		3

Задание 2. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

2.1.

2x1

6x2

4x3

8x4

2.2.

2x1

6x2

4x3

8x4

12x

15;

2.3.

2x1

4x3

3x4

2.4.

2x2

2x3

4x4

18x

11x

13;

11.

		x	5x	3x	2x				0;			x
		1	2	3			4					1
2.5.	2x1			x3	4x4			0;		2.6.		x1
2.5.		x	3x	5x	2x				0;	2.6.		2x
		x	3x	5x	2x		4		0;			2x
		1	2	3			4					1
		5x	x	6x	2x		4		0.			x
		1	2	3			4					1
		x	x	3x	4x				6;			x
		1	2	3		4						1
2.7.		3x1	2x2	x3	2x4				3;	2.8.	3x1
2.7.			3x2		2x4					2.8.
	x1		3x2		2x4				3;		5x1
		x		4x	x				0.		5x
		1		3		4						1

x2	2x3		x4	0;
2x2			4x4		0;
x2	2x3		x4	0;
4x2	x3	10x4		0.
x2	3x3	2x4		4;
x2	4x3		3x4		10;
x2	5x3		8x4		16;
3x2	10x3		x4		18.

		x	2x	2x	4x	2;		x
		1	2	3	4				1
2.9.	5x1		8x2	4x3	12x4	4;	2.10.	x1
2.9.		4x	7x	5x	12x	1;	2.10.		x
		4x	7x	5x	12x	1;			x
		1	2	3	4				1
	2x		3x	x	4x	3.		x
		1	2	3	4				1

x2		x3		x4	7;
x2		x3		x4	1;
x2	x3		x4		1;
x2		x3		x4	5.

2.11.

2x1

3x2

8x3

4x4

2.12.

2x1

3x2

19x

11;

11x

11.

		x		x		x		x		4;
		1		2		3		4
2.13.	2x1		3x2		x3		x4			1;
2.13.		3x		4x		2x		6x		11;
		3x		4x		2x		6x		11;
		1		2		3		4
	5x					4x		2x		11.
		1				3		4
		x		x		x		x		1;
		1		2		3		4
2.15.		3x1	x2		2x3		2x4		2;
2.15.		2x	4x		3x		6x		7;
		2x	4x		3x		6x		7;
		1		2		3		4
	7x		5x		6x		6x		6.
		1		2		3		4
		x		x		x		x		0;
		1		2		3		4
2.17.		x1	2x2		3x3		4x4		0;
2.17.			2x2		x3		5x4
	3x1		2x2		x3		5x4		0;
		x	5x		x		8x		0.
		1		2		3		4
	x		2x		2x		2x		5;
		1		2		3		4
2.19.	x1		2x2		x3		2x4		1;
2.19.		x		2x		4x		5x		13;
		x		2x		4x		5x		13;
		1		2		3		4
	x		2x		3x		4x		9.
		1		2		3		4

2.14.

2.16.

2x1

3x3

4x4

6x3

3x4

2.18.

5x2

7x3

4x4

2.20.

3x3

2x4

2.21.

2x1

3x2

3x3

2x4

2.22.

6x3

3x4

10;

2.23.

2x1

2x3

2.24.

3x1

2x2

4x4

2.25.

14;

Задание 3. Вершины треугольной пирамиды находятся в точках A 1, A 2,	A 3, A 4 . Найти,
используя векторы (a, b) : а) косинус угла между ребрами A1 A 2, A1 A 4 ; б)	длину высоты,
опущенной из вершины A 4 на грань A 1 A 2 A 3 ; в) уравнение ребра A 1 A 4 ; г) уравнение

плоскости

A 1 A 2 A 3 ;

д)

уравнение высоты, опущенной из вершины A 4 на плоскость

A 1 A 2 A 3 ; е) угол между ребром A 1 A 4

и плоскостью A 1 A 2 A 3 .

3.1. A 1 7; 2;

4 ,

A 2

7; 1; 2 ,

A 3 3; 3; 1 ,

A 4 4; 2; 1 .

3.2. A 1 1; 3;

6 ,

A 2

2; 2; 1 ,

A 3 1; 0; 1 , A 4 4; 6; 3 .

3.3. A 1 1; 2;

0 ,

A 2

3; 0; 3 ,

A 3 5; 2; 6 ,

A 4 8; 4; 9 .

3.4. A 1 5; 1; 4 ,

A 2 1; 2; 1 ,

A 3 3; 3; 4 , A 4 2; 2;

2 .

3.5. A 1 1; 1; 1 , A 2 1; 2; 4 ,

A 3 2; 0; 6 ,

A 4 2; 5; 1 .

3.6. A 1 6; 1;

4 ,

A 2

2; 2; 5 ,

A 3 7; 1; 3 ,

A 4 1; 3;

7 .

3.7. A 1 1; 2;

6 ,

A 2

0; 3; 8 ,

A 3 5; 1;

4 ,

A 4 3; 2; 6 .

3.8. A 1 1; 2;

3 ,

A 2

3; 3; 2 ,

A 3 2; 3; 1 ,

A 4

12; 0; 0 .

3.9. A 1 2; 3; 5 ,

A 2 0; 2; 1 ,

A 3 2; 2;

3 ,

A 4 3; 2;

4 .

3.10. A1 1; 1; 1 ,

A 2

2; 0; 2 ,

A 3 2; 2; 2 ,

A 4 3; 4; 3 .

3.11. A 1 3; 1;

4 ,

A 2 1; 6; 1 ,

A 3 1; 1;

6 ,

A 4 0; 4; 1 .

3.12. A 1 1; 4;

2 ,

A 2 3; 1; 2 ,

A 3 5; 2; 4 ,

A 4 2; 3; 4 .

3.13. A1 1; 1;

5 ,

A 2

2; 5; 1 ,

A 3

1; 4; 3 , A 4 5; 3;

2 .

3.14. A 1 1; 1;

3 ,

A 2

3; 5; 4 ,

A 3 3; 2; 4 ,

A 4 0; 4; 1 .

3.15. A1 4; 2; 5 ,

A 2 0; 7; 2 ,

A 3 0; 2; 5 ,

A 4 1; 4; 0 .

3.16. A 1 1; 1; 5 , A 2

4; 4; 1 ,

A 3 1; 2;

0 ,

A 4

5; 1; 5 .

3.17. A1 9; 5;

5 ,

A 2 3; 7; 1 ,

A 3 5; 7; 8 ,

A 4 6; 9; 2 .

3.18. A 1 1; 1; 1 ,

A 2

4; 4; 4 ,

A 3 3; 5; 5 , A 4 2; 4; 7 .

3.19. A1 0; 0; 1 ,

A 2 2; 3; 5 ,

A 3 6; 2; 3 ,

A 4 3; 7; 2 .

3.20. A 1 1; 2;

3 ,

A 2 2; 4; 1 ,

A 3 7; 6; 3 ,

A 4 4; 3; 1 .

3.21. A 1 0; 0;

0 ,

A 2 5; 2; 0 ,

A 3 2; 5; 0 ,

A 4 1; 2; 4 .

3.22. A1 2; 4; 3 ,

A 2 7; 6; 3 ,

A 3 4; 9; 3 ,

A 4 3; 6; 7 .

3.23. A 1 3; 5;

4 ,

A 2 5; 8; 3 ,

A 3 1; 9; 9 ,

A 4 6; 4; 8 .

3.24. A 1 3; 3;

9 ,

A 2 6; 9; 1 ,

A 3 1; 7; 3 ,

A 4 8; 5; 8 .

3.25. A 1 6; 6;

2 ,

A 2 5; 4; 7 ,

A 3 2; 4; 7 , A 4

7; 3; 0 .

Задание 4. Вычислить пределы.

4.1. a)

x2 6x 5

cos x cos3 x

x 4

lim

;

б)

lim

;

в)

lim

11x 5

x 5 2x

x 0

4.2. a)

4x6 x 5

sin x(1 x)

3x 2

lim

;

б)

lim

;

в)

lim 1

x 1

4.3. a)

4x 3 3

1 cos 2x

x 3 x 5

lim

;

б)

lim

;

в)

lim

x sin x

x 3

x 0

4.4. a)

3x2 14x 5

2x 3 5x 3

lim

;

б)

lim

;

в)

lim

7x 10

sin x tg5x

x 5

x 0

2x 41

tg2x sin 7x

4.5. a)

lim

;

б)

lim

;

в)

lim 7 6x 3x 3 .

3x x

x 3

x 0

x 1

4.6. a)

x2 x

2x2 3x

x 5 3x 5

lim

;

б)

lim

sin 5x

;

в)

lim

x 1

x 3

sin x

x 50

4.7. a)

lim

;

б)

lim

;

в) lim ln

2 cos x

1 4x

x 1

x 4

x 3

1 cos3x

5x2

4.8. a)

lim

;

б)

lim

;

в)

lim

2x2

1 cos 4x

4.9. a)

б)

x 0

в)

lim

x 2 2 ;

lim arcsin 5x ;

lim cos3x 5x2 .

x 2

x 0

4.10. a)

lim

x2 3x 10

;

б)

lim

1 cos x

;

в)

lim 2x ln(3 x ln x).

cos3x cos x

x 5

x3 125

x 0

4.11. a)

lim

x2 9

;

б)

lim cos 2x cos

2x ;

в)

lim

5 4x

2 2 x

x 0

3x2

4.12. a)

lim

x 1

;

б)

lim 1 cos 6x

;

в)

lim ln(1 5x) .

2x 3 3

x 3

x 0

3xtg3x

x 0

4.13. a)

lim

;

б)

lim 1

cos x ;

в)

lim

3x 2

5 x

x2 1

x3 27

x 3

x 0

4.14. a)

lim

8x2 (x 2)

;

б)

lim

arctg10x

;

в)

lim

4 x 5

cos5x

x 2

x 0

4.15. a)

lim

9 x 3

;

б)

lim

esin x

;

в)

lim

1 2x.

arctg2x

x 0

4.16. a)

lim

4x 1

;

б)

lim

sin 3x

;

в)

lim 1 tg

2)3

xe7 x

x 0

4.17. a)

lim

16 x 4

;

б)

lim arcsin10x

;

в)

lim 3x ln(5 2x) ln 2x .

sin (x 4)

x 0

2 x

sin

2 x

4.18. a)

lim

x2 x 1

x2 x

;

б)

lim

;

в)

lim

2x 5

x 3

2 cos x

9 x 3

4.19. a)

lim

;

б)

lim

;

в)

lim 1 sin

1 cos 2 x .

1 cos5x

4.20. a)

x 1

б)

x 0

;

в)

x 0

5 x2 .

lim

1 3x

2x 6 ;

lim

2tg6x

lim cos 6x

x 5

x2 5x

x 0

1 cos 4x

x 0

lim cos3x 1

8 x

4.21. a)

lim

;

б)

;

в) lim

1 5x

x .

15x 1

x 0

xtg2x

5x5 3x2

1 sin

4.22. a)

lim

;

б)

lim

;

в)

lim

3x 5

x 5

ln x

x 4x4

3x5

4.23. a)	lim	2x2 7x 4				;
4.23. a)	lim		10x 5			;
	x 1		10x 5
	2
4.24. a)	lim	x	2 x	;
4.24. a)	lim		x 1	;
	x 1		x 1
	x 1
4.25. a)	lim		x 3 1		;
4.25. a)	lim		x 5 3		;
	x		x 5 3

Задание 5 . Найти производные

5.1.	arcsin	x2 1	ln tg		2	x;
	a) y 5
5.2.	a) y 3x4	2x 5			sin2 x		;
				x 2 5

б) lim		cos x cos5 x			;
		x2
	x 0
б)	lim	5x2		;

	x 0 1 cos3x
б)	lim cos 6x 1		;
	x 0	x sin 5x

dydx .

	lim 2 x			2 x
в)						.
в)				1 x		.
	x 1
			4
в)	lim 10		3x					.
в)	lim 10		3x				x 3	.
	x 3
		3x			4 x
в)	lim				.
в)	lim				.
	x	1 3x

б) y sin x cos x y .

б) y2 xe xy .

5.3.

a) y arcsin

x2 1

ln x

;

x2 1

5.4.

y x arccos

x ln arctg 1

;

5.5.

y tg3

x5 4;

5.6.

y ln

cos2

;

sin3

5.7.

y ln

arctg

e x

;

cos

2 x

5.8.

arcsin 4x

ln3

x4 1;

cos x

5.9.

y e2 x sin cos2 tg3 x ;

5.10.

2arccos3 x

;

5.11.a) y 2cossin2xx 12 ln tg 2x ;

5.12.a) y arctg 11 xx ;

y tg

5.13.

2 ln cos

;

5.14.

4 x2 ex2 arcsin

;

5.15.

y 1 ln sin 2x 2

2cos3x ;

5.16.

y ln tg

;

x2 4x 6

5.17.

arcsin x2 1

ln tg

б) x y 2 x 3y 2 0.

б) x ln y y ln x 8.

б) x y arctgy 0.

б) y2 x acrtg xy .

б) x3 y3 3axy 0.

б) sin x y 2xy 0.

б) ln y xy x y.

б) arcsin xy xy x.

б) e2 y e3x xy 0.

б) xy ln 1 y .

б) x2 x sin y 0.

б) ln y xy 1.

б) xy acrtg xy .

б) x sin y y cos x 0. б) ex y sin xy .

5.18.	a)	y ln	a2	x2	a	arccos
			a x		a x

5.19.a) y ctg2 x 1 arccos 1x ;

5.20.a) y 2 sin x arcsin3 2x;

5.21.a) y ln2 arccos 1x ;

x 1 x2 ;5.22. a) y arctg2

5.23.	a) y ln ln ex cos x e x sin x ;
5.24.	a) y 1 sin3	x 2 sin5	x	1 sin7
	3	5		7
5.25.	a) y ex3 cos	1 x2 ;

x;	б) ey x2e y 2x.
	б) exy x2 y3 0.
	б)	sin x y 2x 3y 0.
	б) x4 y4 2 y 0.
	б)	cos2 (x y) xy.
	б)	y x arctgxy 0.
x;	б) 1 x 1 ln x 2 y .
		2
	б)	y x arctgy 0.

Задание 6. Дана функция u u x, y, z , точка M (x0 , y0 ,

z0 )

и вектор

. Найти в точке М:

а) производную по направлению

по направлению вектора

s ; б) градиент grad u .

6.1. u 5xy z

sin

;

M0 1;

0 .

2 y

6.2. u x2

z2 ;

i 2

;

M0 3;

5 .

6.3. u x2 ln

zy;

;

M0 2; 1;

1 .

6.4. u x

sin

;

s 3i 6 j 2k;

;

; 2 .

6.5. u ln 5x2 xy z ;

2i 3

;

M0 1;

4 .

6.6. u x2 yz2

2x 1;

2i 3

;

M0 1;

2 .

6.7. u 3x4

y 4z2 x;

3i 4

;

M0 1; 1;

2 .

6.8. u arctg xyz ln x y z ;

;

M0 1; 0; 1 .

6.9. u sin

s 2i j 2k;

; 1;

6.10. u x ln x2

y z2 y;

8i 4

;

M0 1; 0;

1 .

6.11. u cos

3z;

s i 3 j 4k;

;

1; 2

6.12. u arcsin

x2 ;

5i 12

;

M0 1;

2; 1 .

M0 2; 1;

0 .

6.13. u e

ln x;

;

6.14. u ctgyz

;

s i 2 j k;

M0 1;

; 1 .

6.15. u 2

cos

;

s i 8 j 4k;

; 1 .

6.16. u sin

yz 2x

s 5i j k;

3; 1;

6.17. u

2xy y2 z

;

i 4

;

M0 2; 2;

0 .

6.18. u x3 y2 ln 5xz y2

;

M0 2; 1;

1 .

6.19. u 5

y2 x2 ;

i 2

;

M0 1; 1;

1 .

2 z

6.20. u xxz

x2 z;

i 5

;

M0 2; 2;

1 .

6.21. u xey yex z2 ;

;

3; 0;

2 .

6.22. u exy

2 y

;

4i 2

;

1; 2;

1 .

1; 1;

2 .

6.23. u y ln(x2 z) 2x2 y;

;

6.24. u xyz ln

;

i 2

;

M0 4; 1;

2 .

6.25. u 2 y x 3y2 3 z2 ;

2i 3

;

M0 4; 2;

1 .

Задание 7. Найти интегралы

7.1. а) tg4 xdx;

7.2.а) 3 1 x dx ;

7.3.а) cos4 x sin2 xdx;x 1 x


7.4. а)				7x2 4x 20						dx ;
			x		2	4 x 2

7.5. а)	x 2 e xdx ;
7.6. а)			xdx				;
			cos2 x
7.7. а)		1 4 x						dx ;

		1				x
				x3
7.8. а)						1 dx			;
				x3		x2
7.9. а)	x4 ln xdx;

7.10. а) cos3 x dx; sin2 x

x sin 2xdx;

2x5 6x3 1

б)

в)

dx.

cos3 x

б)

xdx;

в)

sin2 xdx .

б)

x3 3 x

2 x

dx ;

в) x

dx .

б)

;

в)

arctg xdx .

5cos x

б)

;

в)

cos

x sin

xdx .

x3 1

б)

3x2 6x 1

dx ; в) ctg

3xdx .

1 x

4x 5

б) x ln xdx ;

б)			dx			;
б)	sin x cos x					;
	sin x cos x
б)			dx		;
б)	x	4	1 x	3	;
	x		1 x

б) xarctgxdx;

в)	sin4 xdx .
в)	x2 x dx .
		cos5 x
в)	sin2 x dx .
в)			dx		.
в)		5	x	1 x	.
		5	x	1 x

7.11. а) dx ;

1 3 x x

7.12.а) ctg3 xdx;

x 3 dx

7.13.а) x2 4x 9 ;

7.14.а) 1 2sin 3x 2 dx;

7.15. а)

;

7.16. а)

3x2 8

dx;

x3 4x2

7.17. а)

;

7.18. а) x ln xdx;

7.19. а)

2x2 x 7

dx;

1 x

7.20. а) 4 cos 5x 2 dx;

x cos xdx

7.21. а) sin3 x ;

7.22. а) x2 sin xdx;

7.23. а) cos4 xdx;

7.24. а) ex cos xdx;

7.25. а) 2 dx ; x 4x 5


б)	x cos 5xdx;
б)			5x 8				dx;
б)			x3 4x2 4x				dx;
б)	ctg3 xdx;
б)			ln x	dx;
б)			x2	dx;
б)			sin xdx ;
			1 sin x
б		x arctg2x					dx;

			1 4x2
б) arccos xdx;
б)			x5 x4 8			dx;
б)			x3 4x			dx;
б) x2 ln 1 x dx;
б) ln x2 1 dx;
б)			4x2 12x 12					dx;
б)			x2 x 2 2					dx;
б)			dx		;
б)			x2 x 1		;
б)	ln2 xdx;							в)
б)	cos6 xdx;							в)
б) x2 ln xdx;								в)

в) sin2 x cos4 xdx .

в) arcsin xdx.

в) x sec2 xdx.

в) x3 3x 1 dx.

x 1 x 2

в) x 3x dx .

в) sin3 x cos3 xdx.

в) cos5 xdx.

в) cos3 x dx. sin4 x

в) tg4 xdx.

x2 5x dx в) x2 x 1 x 2 .

в) 4 xx3 dx1.

в) cos4 x sin2 xdx.

x 1 x 2 2 .

5dx .

x2 4 x 1

cos7 xdx.

Задание 8. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

8.1. хsin xdx .

8.5.x2 2x 5 .

x cos 3xdx .8.9.

			dx												dx
8.2.			dx			.			8.3.						dx		.			8.4. ln x dx .
8.2.				3		.			8.3.				2				.			8.4. ln x dx .
		х(ln x)										х		(1 x)									х
e		х(ln x)		2							1	х		(1 x)							2		х
					2 x						0				2x 3								earctg3x
8.6.	(x 3)e						dx .		8.7.									dx .		8.8.					dx .
8.6.	(x 3)e						dx .		8.7.						2			dx .		8.8.		1 9x		2	dx .
0											2x					4x 6					0	1 9x
	xdx									3x										xdx						dx
8.10.					. 8.11.			xe			dx .						8.12.					. 8.13.					.
8.10.			1 x2		. 8.11.			xe			dx .						8.12.		x4	4x2	8	. 8.13.				хln3 x	.
								0																2

		xdx								dx				1	dx					2
8.14.		xdx								dx				8.16.	dx		8.17. x cos			2	xdx .
					. 8.15.							.				4 .
		2			. 8.15.				2			.				4 .
0	х			4			6 x			6x 5				x
				dx
8.19.				dx			.	8.20. arctgx2					dx .		8.21.		xe x2 dx .				8.22.
8.19.			2				.	8.20. arctgx2					dx .		8.21.		xe x2 dx .				8.22.
1	5x		4x 3							1	1 x						0
				dx										dx					xdx
8.23.				dx			.				8.24.			dx	.		8.25.		xdx			.
8.23.				2			.				8.24.				.		8.25.				2	.
2	x ln x ln					ln x					0			4 x			1	(1	x)

		2		2x	2	7x 1
	8.18.			2x		7x 1	dx .
	8.18.					2	dx .
		(x 1)(x 1)
		dx
2		dx	.
2	x	ln x	.

Задание 9. Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями с помощью определенного интеграла. Сделать чертеж.

9.3.у х2 3; у х42 ; x 1.

9.4.у х2 1; х 2; у 0 .

9.5.ху 4; х у 5 .

9.6.у2 2х 1; х у 1 0 .

9.7.х2 4 у; у х2 8 4 .

9.8. у 1 cos x; x 0; y 0 .

9.9.y x2 6x 5; x 0; y 0 .

9.10.y 2 x2 ; y 2 x; y 0 .

9.11. y ex ; y e x ;

y 2 .

9.12.y (x 1)2 ; x y 1; y 0 .

9.13.y x2 4x 3; y x 3 .

9.14.y ln x; y 0; x e.

9.15.y sin x; y 0; x 4 ; x 34 .

9.16.x 2 y2 ; x 1 3y2 .

9.17.y x 1; y cos x; y 0 .

9.18.x2 y2 25; 2 y 5 0 .

9.19.y x2 4x 3; y x 3 .

9.20.у 8 х2 ; у х2 .

9.21.y 4x x2 ; y 0 .

9.22.y 1x ; y x2 ; y 4 .

9.23.y ln x; y ln x; x 3 .

9.24.y 4 x2 ; y x2 2x .

9.25.y 2x; x2 y2 25; y 0, y 0 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]