Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методические указания и контрольные задания по высшей математике.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

cos	8
	64 16 64

Скорость изменения поля в точке M(x, y, z)

23 ; cos 31 ; cos 23 .

равна: ul ux cos uy cos uy cos .

Тогда в точке M0 (1, 1, 1) имеем:	u		8	2	( 4)	1	8	2	12 .

				3		3		3
	l	M0

Пример 5.8. Найти величину и направление градиента поля

u x3 y3 z3 3xyz в точке

u перпендикулярен оси OZ.

M0 (2, 1, 1) . Определить, в каких точках grad

Решение.

1 grad u

3x2

3yz;

3y2 3xz;

3z2 3yx;

grad u(M0 ) 9i

3 j 3k.

grad u(M0 )

81 9 9 3

11.

если

xy), z2

xy 0,

z2 xy.

3 grad u OZ,

(grad u,

k) 0,

k(0,0,1). (grad u, k) 3(z2

То есть в точках лежащих на поверхности z2

gradu 0Z .

6.НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

6.1.Понятие неопределённого интеграла

Функция F(x), определённая в промежутке a;b называется первообразной данной функции f( х), если для x a;b выполнено равенство:

F ' x f x

Для заданной функции f x её первообразная определяется неоднозначно. Доказано, что если

F x	- первообразная, для f x , то выражение F x c , где с – произвольное число, задаёт все
возможные первообразные для функции		f x .
Любая непрерывная на отрезке a,b		функция f	x	имеет на этом отрезке первообразную
F x .	Неопределённым интегралом от данной функции			f x называется множество всех её
первообразных:			F	x f x
	f x dx F x c

где:	– знак неопределённого интеграла, f x		–	подынтегральная функция, f x dx –

подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования.

Нахождение для функции f(x) всех её первообразных называется её интегрированием. Интегрирование – действие обратное дифференцированию.

Свойства неопределённого интеграла (НИ)

Из определения НИ непосредственно вытекают его свойства:

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

f x dx ' f x ;

2. ДифференциалНИравенподынтегральномувыражению: d f x dx f x dx ;

3.kf x dx k f x dx ;

4.f1 x f2 x dx f1 x dx f2 x dx ;

5.dF x F x c .

Таблица интегралов

dx x c ;

ctgx c ;

n 1

c n 1 ;

sin2 x

xn dx

n 1

a arctg

c , a 0;

a2 x2

dx ln

c ;

x a

c ;

10.

x a

ax dx

c, a 0, a 1 ; e x dx e x c ;

a x

ln a

11.

2a ln

a x

c ;

sin xdx cos x c ;

12.

c ;

tgx c ;

x2 a 2

cos2 x

cos xdx sin x c ;

13.

arcsin

c .

Справедливостьэтихформулпроверяетсядифференцированием.

6.2. Основные методы интегрирования

Задача: данный интеграл свести к табличным.

Непосредственное интегрирование. Знать таблицу интегралов, его основные свойства, уметь преобразовывать алгебраические и тригонометрические выражения.

x x 3

x3 3x2

x 3x2 x23

3 x

a b

a3 3a2b 3ab2 b3

xn k

1 б) 1

= x3						3x 6		3x	3	x6		dx 3 x 3				3				6 x 6		3	3 x	3				6 x 6		c =
					8		13		5		7			11							19		8						13
													11						19				8				13
		3		x3 3 x2				9 x2 3		x2 18 x3 6 x						6		x2 6 x c.
	11			x3 3 x2				9 x2 3		x2 18 x3 6 x					13			x2 6 x c.
	11							8				19			13
cos2 x					2		1 cos 2x						1 cos2 x						1			dx			1	dx				1	tgx x c.
cos2 x					2		1 cos 2x						1 cos2 x						1			dx			1					1
cos 2x dx			cos			x		2			dx		2cos2 x				dx			2					2					2
cos 2x dx			cos			x		2			dx		2cos2 x				dx			2		cos2	x		2					2

Метод подведения функции под знак дифференциала (сознательное понимание таблицы).

Любая формула интегрирования f x dx F x c сохраняет свой вид, если в неё вместо независимой переменнойх, подставитьлюбуюдифференцируемуюфункцию u u x

f u du F u c .

Подведение функции под знак дифференциала состоит в том, что под знак дифференциала записывают функцию, дифференциал которой равен данному выражению. Подведение функции под знак дифференциала применяется для сведения интегралов к табличным, т.е. к виду:

f u du F u c

Применяя метод подведения функции под знак дифференциала, найти интегралы:

1 eu du eu c

1. e

arctgx

2 u

arctgx

d arctgx e

arctgx

1 x2

3 du d arctgx

un du

un 1

n 1

ln x

2 u ln x

ln x

d ln x

c c

x ln3 x

1 dx

2 ln2 x

3 du d ln x

Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен:

A1 x B1

A2 x B2

bx c

Для сведения этих интегралов к табличным надо в числителе дроби выделить дифференциал квадратного трёхчлена ax2 + bx + c, т.е. слагаемое (2ax+b)dx. А затем интеграл разбить на сумму двух интегралов, каждый из которых – табличный (во втором интеграле квадратный трёхчлен представить в виде суммы или разности квадратов).

Найти интегралы:

1.		3x 7								23 2x 6 182								7			3				2x 6 dx							d x 3
					dx														dx											16
	x2 6x 25				dx							x2 6x 25							dx		2				x2 6x 25					16		x 3 2 42
									3 ln			x2 6x 25						16 1 arctg								x 3	c.
																										x 3

									2									4						4
									2									4						4
		4x	5	dx				2			2x 2			4 5									2										d
		4x	5	dx				2			2x 2			4 5														1					d	x 1
2.																	dx 2 x							2x			3	2 2x 2			dx
2.	x2 2x 3										x2 2x 3						dx 2 x							2x			3	2 2x 2			dx		4 (x 1)2
					4					x2		2x 3 arcsin							x 1	c.
					4					x2		2x 3 arcsin								c.
								1						2 6				2
	(2x		6)dx					1	(18x 6)					2 6													1						d 3x 1
3.	(2x		6)dx				9							3		dx 1 (9x2						6x 2) 2 (18x 6)dx 16											d 3x 1
3.	2		6x 2							9x		2	6x	2		dx 1 (9x2						6x 2) 2 (18x 6)dx 16											2
	9x		6x 2							9x			6x	2				9													9		3x 1		1
						2				9x2 6x 2					16								9x2 6x 2						c.
						2				9x2 6x 2					16			ln	3x 1				9x2 6x 2						c.
						9									9
						9									9

Метод подстановки (замена переменной).Этот способ часто полезен в тех случаях, когда интеграл f x dx не может быть непосредственно преобразован к табличным. Полагая

x (t) , где t – новая переменная, а функция (t) имеет непрерывную производную.

Тогда f (x) f ( (t)), dx '(t)dx и

f (x)dx f ( (t)) '(t)dt – формула замены

переменной в неопределенном интеграле.

Замечание. Иногда целесообразно применить обратную подстановку: t (x), dt '(x)dx .

Формула доказывается дифференцированием обеих её частей. Удачная подстановка позволяет упростить исходный интеграл, сведя его к табличным. Однако даже в тех случаях, когда метод подстановки не приводит исходный интеграл к табличному, он часто позволяет упростить подынтегральную функцию и тем самым облегчить вычисление интеграла.

Найти интегралы:

t ex ;

dx dt

arctgt c arctge

ex e x

t t t 1

t2 1

dt e

dx tdx;

	2.	1 ln x
	2.	x ln x
		x ln x

1 ln x t2

1 1

dx 2tdt

ln x t2 1

ln x 1

2 t

1 ln x

2 1 ln x ln

ln x 1

1 ln x ln

ln x

1 ln x 1

2ln

Замечание. Чаще метод подстановки применяется при интегрировании иррациональных выражений.

ex 1

2 x

1 4t

dt 4

4 4 e

4 ex

Интегрирование по частям. Пусть u u(x)

и v v x

– непрерывно дифференцируемые

функции.

Известно,

что

d uv vdu udv, udv d uv vdu .

Интегрируя

последнее

соотношение, получим:

udv uv vdu

–формула интегрирования по частям для неопределённого интеграла.

Применение метода интегрирования по частям целесообразно в том случае, когда интеграл в правой части окажется более простым для вычисления, чем исходный интеграл.

При его применении подынтегральное выражение данного интеграла разбивается на два сомножителя u и dv . При переходе к правой части формулы первый из них дифференцируется

du u dx ; второй интегрируется V dv , (если дифференцирование существенно упростит

один множитель, приусловии, чтоинтегрированиенеслишкомусложнитдругой). Некоторые классы интегралов, которые удобно брать по частям:

1.	xnex dx, xn sin xdx, xn	cos xdx u xn
2.	xn ln xdx, xn arcsin xdx,	xnarctgxdx . (За u в этом случае принимаются логарифмическая
	или обратная тригонометрическая функция.)

3.Круговые или циклические интегралы. ex sin xdx, ax cos xdx, cos ln xdx . (Выбор u и dv равносилен.)

Например:

u arctgx

xdx

1. arctgxdx

xarctgx

x arctgx

2 ln 1

dv dx

1 x2

v x

Иногда полезно повторить интегрирование по частям.

2. x2 cos xdx		u x2	du 2xdx	x2 sin x 2 x sin xdx	u x	du dx


	cos xdx dv		v cos xdx sin x		du sin xdx	v cos x
	cos xdx dv		v cos xdx sin x
x2		sin x 2x cos x 2sin x c.

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется отношение

двух многочленов:	Pm x	. Если	m n , то рациональная дробь правильная; если	m n -
	Qn x

неправильная.

Если дробь неправильная, надо выделить целую часть, разделить числитель на знаменатель, т.е. неправильную дробь представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

Пример:

x4 x3 1			x2 x 2
x4 x3 2x2			x2 2x 4
	2x3 2x2		1
	2x3 2x2	4x

-4x2 4x 1

4x2 4x 8

8x 9, неправильная дробь

x4 x3 1

2x 4

8x 9

;

x 2

Простейшие рациональные дроби.

M2 x N2

; 2.

; 3.

M1x N1

;

k 2 .

x a

x a 2

ax2 bx c

ax2 bx c k

Квадратный трёхчлен ax2 bx c не имеет действительных корней. Разложениеправильнойрациональнойдробинапростейшие:

Pm x

Теорема. Каждая правильная рациональная дробь Qn x , (m < n) может быть представлена

в виде суммы конечного числа простейших дробей.

Это разложение связано с разложением знаменателя дроби на множители:

а) Каждому линейному множителю знаменателя (х - а)к соответствует k простейших дробей вида (1), (2), числитель которых – неопределённые коэффициенты, а знаменатель – целые положительные степени двучлена (х - а), начиная со степени k и кончая первой;

б) Каждому квадратному множителю x2 px q k соответствует k простейших дробей вида (3), (4), числитель которых – многочлен первой степени, с неопределёнными коэффициентами, а

знаменатель – положительные степени трёхчлена x2 px q , начиная со степени k и кончая

первой.

Итак, для интегрирования рациональных дробей надо:

1.Установить, является ли данная рациональная дробь правильной или неправильной. Если она неправильная, выделить целую часть.

2.Проинтегрировать целую часть и правильную дробь. Для интегрирования правильной дроби необходимо: а) Разложить знаменатель дроби на множители. b) Представить дробь в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами. c) Найти коэффициенты. d) Проинтегрировать простейшие дроби.

Интегрирование тригонометрических выражений. Так как любое тригонометрическое выражение можно записать только через sin x и cos x , то получим интеграл рационально

зависящий от sin x и cos x .

R sin x,cos x dx.

Этот интеграл всегда сводится к интегралу от рациональной функции относительно новой переменной с помощью подстановки tg 2x t , тогда

2tg

1 tg

1 t2

2dt

sin x

;

cos x

;

1 tg

2 x

1 tg

2 x

1 t2

Например, найдем интеграл

2 dt

1 t2

sin x

c .

sin x

1 t2

2dt

1 t

1 t2

Универсальная подстановка всегда позволяет вычислить интеграл ( ), однако её используют очень редко, так как она часто приводит к интегрированию громоздких рациональных дробей. Она используется в тех случаях, когда другие подстановки применять нельзя.

Частные случаи:

1) Интеграл вида: sin x m cos x n dx .

а) Если один из показателей m или n – целое положительное нечётное число, второй любой то

подстановка sin x t ,

cos xdx d sin x dt или cos x t;

sin xdx dt быстрее приводит

кцели. Например,

cos

1 sin

d sin x

1 2sin

x sin

xd sin x sin x 2

d sin x

sin x

2 sin x

sin x

sin x 4 sin2 x sin x

2 sin4 x

sin x c

d sin x

sin x 2 d sin x 2

sin

sin x

б) Оба показателя m и n – целые положительные чётные, тогда используют формулы:

sin x cos x sin 2x	; sin2	x	1 cos 2x	;	cos2 x	1 cos 2x .
2			2			2

Например,

sin4 x cos4 xdx 161 sin 2x 4 dx

1 x 1 sin 4x

64 2

1	3x		sin 4x

64		2	2

		1		1	cos 4x 2					1		1						2	4x dx
								dx					2 cos 4x cos
	16					2		dx		64			2 cos 4x cos
	16					2				64
		1	cos8x					1			sin 4x			1		1
							dx		x						x		sin 8x			c
				2			dx		x			2		2	x	16	sin 8x			c
				2				64				2		2		16
	1
			sin 8x			c.
16			sin 8x			c.
16

в) Оба показателя чётные целые, но хотя бы один из них отрицательный, тогда используется подстановка tgx t или с помощью тригонометрических преобразований.

Например,

tgx t

1 t

sin x

dt t

c c ctgx 3 ctg

sin4 x

1 t

t4 1

С помощью тригонометрических преобразований:

x d ctgx

ctg3 x

sin4

cos ec

xdx

ctg

ctgx

г) Иногда удобно ввести тригонометрическую единицу:

sin2 x cos2 x

sin xdx

sin x cos3

dx cos3 x

sin x cos3 x

sin x cos x

cos x

d cos x 2

tgx

sin 2x

2cos2 x

д) Иногда применяется метод интегрирования по частям.

Например,

cos2

udv uv vdu

cos x

sin3

x dx

u cos x

du -sinxdx

2sin2

sin x

cos xdx

v sin x

d sin x

sin

2sin

cos x

1 ln

2sin2 x

Интегралы

вида:

sin mx cos nxdx,

m n; cos mx cos nxdx; sin mx sin nxdx,

преобразуются по формулам:

sin mx cos nx

sin

m n x sin

m n x ,

cos mx cos nx

cos m n x cos m n x ,

sin mx sin nx

cos

m n x cos m n x .

Например,

sin 3xcox5xdx

1 sin 8x sin 2x dx

cos8x 1 cos 2x c.

3) Интегралы вида: tgn xdx,					ctgn xdx,		n N,n 1 приводятся к табличным следующим
образом: выделяется tg2 x sec2 x 1.						Затем	интеграл разбивают на сумму двух интегралов
(первый – степенной, а второй tgx n 2 dx ; с ним поступают так же).
Например,		x 1 dx tg3 xd tgx tg3 xdx tg44 x tgx sec2 x 1 dx
tg5 xdx tg3 x sec2
tg4 x	tg2 x	ln	cos x		c.

4	2

4) secn xdx cosecn xdx ,				если		n –	чётное целое положительное число,	тогда
sec2 xdx d tgx , а	оставшаяся чётная степень sec x заменяют через tgx. sec2 x 1 tg2 x							.

Например,

sec6 xdx 1 tg2 x 2 dtgx 1 2tg2 x tg4 x d tgx tgx 23 tg3 x 15 tg5 x c.

Интегрирование иррациональных выражений. Алгебраическая функция, не являющаяся рациональной называется иррациональной. Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции.

Рассмотрим иррациональные функции интегралы, от которых с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональной функции.

Интегрирование простейших иррациональностей.

Интеграл

вида

сводится

интегралу

от

рациональной

функции

R x, x n ,..., xs

подстановкой x tk , где k – общий знаменатель дробей

,…,

Например,

x t

dt 4 3

dt 4

t dt

t 1

3dt

4 4 x3

4 x3 1

c .

б)

,..., ax b s

сводится к интегралу от рациональной функции подстановкой

R x, ax b n

ax b tk , где k – общий знаменатель дробных показателей.

Например,

t3 3 t3 3

xdx

x 9 t6

5dt

x 9 4 3 3 x 9 5 6

dx 6t5dt

t8 3t5

t3 3

6 t3 3 dt 3 t4

3 6

x 9 4 186 x 9 c.

18t c

t 6 x

ax b n

ax b s

с)

R x,

,...,

сводится

интегралу

от

рациональной

функции

cx d

подстановкой

ax b

tk , k – общий знаменатель дробных показателей.

cx d

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]