Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методические указания и контрольная работа №2 по высшей математике для студентов-заочников инженерно-технических специальностей

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

(получено как сумма общего решения x C1e 4t C2e 7t соответствующего однородного уравнения и частного решения x 15 e 2t 407 et неоднородного

уравнения).

Подставляя x и x в выражение для y, получим

y 12 (x 5x et ) 12 C1e 4t C2e 7t 103 e 2t 401 et .

Общее решение исходной системы имеет вид

x C1e 4t C2e 7t 15 e 2t 407 et ;

y12 C1e 4t C2e 7t 103 e 2t 401 et .

7.2.Линейная однородная система n-го порядка

спостоянными коэффициентами

Линейная однородная система n-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

dx1

a x

... a

;

11 1

dx2

... a

;

21 1

...

dxn

... a

n1 1

где aij const; aij

xi – неизвестные функции от t.

Данную систему можно записать в матричной форме

AX ,

где

dx2

;

an1

ann

an2

dxn

При решении линейной системы дифференциальных уравнений методом

Эйлера частные решения системы ищутся в виде X Vekt , где V 0 – матрицастолбец, k j – число.

Если корни k1, k2 ,...,kn	характеристического уравнения det( A kE) 0
действительны и различны, общее решение системы имеет вид
X C V ek1t C V ek2t ... C V eknt ,
1 1	2 2	n n
C1,C2 ,...,Cn – произвольные постоянные, V j		– собственный вектор-столбец
матрицы A, соответствующий числу k, то		есть ( A k j E)V j 0 , где E –
единичная матрица.

Замечание. Если km , km – пара простых комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения, то им соответствуют два действительных

частных решения Re(V ekmt ); Im(V ekmt ) , где Re z,																					Im z – действительные и
					m								m
мнимые части z.
Пример 7.3. Найти общее решение системы
										dx		x 2 y 2z;


										dt
										dy		x 4 y 2z;


										dt
											dz	x 5 y 3z,
												x 5 y 3z,
										dt
и частное решение, удовлетворяющее условиям x(0) 1, y(0) 2 ,																											z(0) 0 .
Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение
	1 k	2	2
	1 k	2	2
	1	4 k	2		0,					(k 2 k 2)(1 k ) 0,								k		1,				k	2	1,	k	3	2.
																			1						2			3
	1	5	3k
Находим собственный вектор V1 , соответствующий корню k1 1:
				v		1				( 1)			2				2	v			0
		V			1								( 1)				2		1
		V		v		;			1	4			( 1)				2	v				0
		1			2					5			3				( 1)		2			0
				v3 1						5			3				( 1)	v3				0
		2v 2v							2v 0;				v			v ;					1
			1					2		3					2		1
		v 5v							2v 0; v							2v ; V							1	.
			1				2			3				3			1		1				2
		v1 5v2 2v3 0;													v1 0;								2
																													62

Аналогично находим собственные векторы

			1								0
								V3
		V2	1 ,					V3				1	,
												1
			1									1
соответствующие k2 1, k3		2 .
Общее решение системы таково:
										1							1		0
X C V ek1t C V ek2t C V ek3t C										1
X C V ek1t C V ek2t C V ek3t C										1	e t C						1 et C		1	e2t ;
1 1	2 2	3 3						1		2						2		3	1
										2							1		1
или
	x C e t			C		2		et ;
		1				2
	y C e t C								et C				e2t ;
		1						2				3
	z 2C e t C									et C				e2t .
		1							2				3
Для нахождения частного решения										подставим в общее решение t 0 ,
x 1, y 2, z 0 и определим C1, C2 , C3									из полученной системы:
	1 C C			;								C 2;
		1	2									1			3;
	2	C C					C ; С								3;
		1			2					3		2
	C 2C1 C2 C3											C3 1.
Искомое частное решение
	x 2e t 3et ; y 2e t 3et								e2t ; z 4e t								3et e2t .

dx 2x 3y;

Пример 7.4. Найти общее решение системы dt

dy 3x 2 y.

Решение. Характеристическое уравнение

2 k	3	0;	k 2 4k 13 0

3	2 k

имеет корни k 2 3i, k		2 3i . Находим собственный вектор		v
имеет корни k 2 3i, k	2	2 3i . Находим собственный вектор	V 1		,
1	2		1
				v2

соответствующий корню

k1 2 3i

из системы:

3iv1 3v2 0,

Считая v1

3iv2 0.

3v1

получим v2 i V1

. Составим выражение

k1t

(2 3i)t

(cos3t

V1e

(cos3t i sin 3t)

i sin 3t)

(sin 3t i cos3t)

Здесь использована

формула

e( i )t e t (cos t i sin t) . Согласно

замечанию, два частных решения исходной системы имеют вид

Re(V ek1t ) e

cos3t ,

Im(V ek1t )

cos3t .

sin 3t

Общим решением системы будет

k1t

cos3t

X C1 Re(V1e

) C2

Im(V1e

cos3t

) C1

sin 3t

или

cos3t C2e

sin 3t;

x C1e

sin 3t C2e

cos3t.

y C1e

7.3. Задачи динамики, приводящие к решению дифференциальных уравнений

К задаче динамики точки, приводящей к решению дифференциальных уравнений, относятся те задачи, в которых определяется движение точки по заданным силам. Силы, действующие на точку, могут быть как постоянными, так и заданными функциями времени, координат, скорости, то есть

Fx Fx (t, x, y, z, x, y, z); Fy Fy (t, x, y, z, x, y, z);

Fz Fz (t, x, y, z, x, y, z).

Решение таких задач сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений движения точки в координатной форме

mx Fx ;

my Fy ;				(7.1)

mz Fz ,
или в естественной форме
m	dv	F ;
m		F ;
	dt		t
	dt
	v2
	v2
m		Fh ;		(7.2)
m		Fh ;		(7.2)
	ρ
O F .
		b

В этих уравнениях под F понимается равнодействующая всех сил, в том числе и реакций связей, если точка не свободна. При интегрировании системы уравнений (7.1) в общем случае появляется шесть произвольных постоянных, которые определяются по начальным условиям. Под начальными условиями движения точки понимаются значения координат и проекций скорости точки в начальный момент движения, то есть при t 0

x x0 ;	vx x0 ;
y y0 ;	vy y0 ;
z z0 ;	vz z0.

Если движение точки происходит на плоскости, то число уравнений (7.1) сокращается до двух, а число начальных условий – до четырех. При движении точки по прямой будем иметь одно дифференциальное уравнение и два

начальных условия.
При	решении	задач	полезно	придерживаться	следующей

последовательности.

1. Составить дифференциальное уравнение движения:

а) выбрать координатные оси, поместив их начало в начальное положение точки; если движение точки является прямолинейным, то одну из координатных осей следует проводить вдоль линии движения точки; б) изобразить движущуюся точку в произвольный текущий момент t и показать на рисунке все действующие на нее силы, в том числе и реакции связей, при наличии сил, зависящих от скорости, вектор скорости направить

предположительно так, чтобы все его проекции на выбранные оси были положительными; в) найти сумму проекций всех сил на выбранные оси и подставить эту сумму в правые части уравнений (7.1).

2.Проинтегрировать полученные дифференциальные уравнения. Интегрирование производится соответствующими методами, зависящими от вида полученных уравнений.

3.Установить начальные условия движения материальной точки и по ним определить произвольные постоянные интегрирования.

4.Из полученных в результате интегрирования уравнений определить искомые величины.

Замечание 1. При интегрировании дифференциальных уравнений иногда целесообразно определить значения произвольных постоянных по мере их появления.

Пример 7.5. Автомобиль массы m движется прямолинейно из состояния покоя и имеет двигатель, который развивает постоянную тягу F, направленную

всторону движения, до полного сгорания горючего в момент времени Т, после чего автомобиль движется по инерции до остановки. Найти пройденный путь. Силу сопротивления считать постоянной и равной R. Изменением массы автомобиля пренебречь.

Решение. Весь путь S складывается из S1 = AC , на котором действует сила F до полного сгорания горючего и S2 = CB , который автомобиль идет по

инерции. На пути АС:

mx F R ;

(7.3)

на пути СВ:

mx R .

(7.4)

Решим дифференциальное уравнение (7.3): mdx

R)dt ;

mx (F R)t C1 ; при t 0 будет x 0 , откуда

C1 0 mx (F R)t .

(7.5)

Интегрируя, получим mx

(F R)t2

C ; при

t 0 будет x 0 ,

откуда

C 0 ;

(F R)t2

. Определим путь S ,

который пройдет автомобиль до

полного

сгорания

горючего в

момент

t T : S

(F R)t2

Решим

уравнение (7.4): mx R mdx Rdt; mx Rt C3 .

При

t 0 скорость x

будет равна скорости, которую имеет автомобиль в момент Т сгорания

горючего и которая

из формулы (7.5) равна mx (F R)T ;

(F R)T

Используя эти начальные условия, найдем C3 :

(F R)T

R 0 C , C (F R)T .

Подставляя C3 , имеем

mx Rt0 (F R)T ;

(7.6)

Rt2

(F R)Tt C

при t 0, x 0.

Поэтому C

(F R)Tt .

Чтобы найти путь S2 , надо знать время t движения автомобиля по инерции

до остановки ( x 0 ). Из (7.6) получим

(P(P RR) )

00 RtRt (F(F RR),),t t

(F R)

S2 x

R (F R)

(F R)

–

путь,

2R2

2Rm

пройденный по инерции;

S S S		(F R)T 2	(F R)2 T 2	T 2 (F R)2 F	– искомый путь.
	2
1		2m	2Rm	2Rm

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1. Какая функция F x называется первообразной для функции	f x на
интервале a; b ? Привести несколько примеров.

2.Что называется неопределенным интегралом от функции f x ?

3.Каковы основные свойства неопределенного интеграла? Знать их и уметь доказывать.

4.Таблица основных интегралов. Как с помощью производной проверить справедливость табличных формул?

5.Привести примеры «неберущихся интегралов», т.е. интегралов, не выражающихся через элементарные функции.

6.В чем состоит метод поднесения под знак дифференциала для поиска неопределенного интеграла? Привести примеры.

7.Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Привести примеры.

8.Формула интегрирования по частям. Привести примеры использования формулы для вычисления неопределенных интегралов.

9.Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен:

;

mx n

;

dx;

ax2 bx C

;

ax2 bx C dx.

mx n

ax2 bx C

10.Интегрирование выражений, содержащих радикалы (иррациональности) от линейных или дробно-линейных функций.

11.Интегрирование тригонометрических функций.

12.Применение тригонометрических подстановок при интегрировании некоторых иррациональных функций. Привести примеры.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1. Что называется разбиением отрезка a; b в интегральном исчислении?

2.	Дать определение	b		как предела
2.	Дать определение	определенного интеграла f	x dx	как предела
		a
	интегральных сумм.
3.	Сформулировать и	уметь обосновывать геометрический и		механический

смысл определенного интеграла f x dx . a

4.Сформулировать условия интегрируемости функции f x на отрезке a; b . Перечислить классы интегрируемых функций.

5.Основные свойства определенного интеграла.

6.Теорема о среднем для определенного интеграла.

7.Что называется определенным интегралом с переменным верхним пределом? Теорема о производной от этого интеграла по верхнему пределу.

8.Формула Ньютона–Лейбница. Привести примеры.

9.Замена переменной в определенном интеграле; в чем отличие этой замены от замены переменной в неопределенном интеграле?

10.Интегрирование по частям в определенном интеграле.

11. Особенность вычисления определенного		интеграла		b		по
11. Особенность вычисления определенного		интеграла		f	x dx	по
				a
симметричному относительно точки O отрезку			для случая:
симметричному относительно точки O отрезку		a; b	для случая:
а) нечетной функции f(x), x [a; b];
	на отрезке [a; b].
б) четной функции f x	на отрезке [a; b].

12.Применение определенного интеграла для вычисления:

а) площади плоской фигуры при различных способах задания линии

границы фигуры;

б) объема тела с известной площадью S x его поперечного сечения и тел вращения; в) длины дуги плоской кривой при различных способах описания дуги

(явное ее задание; параметрическое описание и задание в полярной системе координат).

13.Что называется несобственным интегралом функции f x : а) по промежутку a; ;

б) по промежутку ; a ; в) по промежутку ; ?

14.Дать определение несобственного интеграла от неограниченной на отрезкеa; b функции f x .

15.Дать определение сходящихся и расходящихся несобственных интегралов. Привести примеры.

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1.Дать определение функции нескольких переменных. Привести примеры для случая двух, трех и более переменных.

2.Что называется областью определения и областью значений функции нескольких переменных?

3.Что называется графиком функции нескольких переменных?

4.Дать определение предела функции z = f(x, y) в точке M0(x0; y0).

5.Сформулировать арифметические свойства пределов функций двух переменных.

6.Дать определение непрерывности функции z M 0 x0 y0 .;f x, y в точке

7.	Дать определение частных производных первого порядка по х и по y для
	функции	z f x, y ; знать различные	виды обозначений частных
	производных.		z f x, y в точке	M 0 x0 ; y0 ?
8.	Что такое	полное приращение функции

Привести примеры.

9.Дать определение и сформулировать достаточное условие дифференцируемости функции z f x, y в точке M0 x0; y0 .

10.	Дать определение полного дифференциала функции	z f x, y	в точке
	M 0 x0 ; y0 . Привести инвариантную форму полного дифференциала.
11.	Формула приближенного вычисления значения функции	z f x, y	в точке

M0 x0 ; y0 с помощью полного дифференциала.

12.Дать определение частных производных второго, третьего и более высоких порядков функции z f x, y . Сформулировать теорему о равенстве вторых смешанных производных.

13.Дать определение минимума и максимума z f x, y в точке M 0 x0 ; y0 .

14.Необходимые условия экстремума функции нескольких переменных.

15.Достаточные условия экстремума функции z f x, y .

16.Дифференцирование сложных и неявных функций нескольких переменных: привести соответствующие формулы.

17.Записать уравнения: а) касательной плоскости и б) нормали к поверхности при явном и при неявном задании поверхности.

18.Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области D с границей G: сформулировать алгоритм поиска.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ИСИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1.Какое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка?

2.Записать общий вид обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка, разрешенного относительно старшей производной.

3. Дать определение задачи	Коши для дифференциального уравнения
y f x, y . Сформулировать	достаточные условия существования и

единственности решения задачи Коши.

4.Дать определения общего и частного решений, общего и частного интегралов обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка. Особое решение и особый интеграл.

5.ДУ с разделяющимися переменными: дать определение и описать алгоритм решения.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]