Методические указания и контрольная работа №2 по высшей математике для студентов-заочников инженерно-технических специальностей

y C ek1x C

2

ek2 x ... C

n

ekn x .

(5.3)

1

2. Характеристическое уравнение имеет пару однократных комплексно-

сопряженных

корней

k1,2

i .

В формуле (5.3) соответствующая пара

членов C ek1x C ek2 x

заменяется слагаемым

1

2

e x (C cos x C

2

sin x) .

1

3. Действительный

корень

k1 уравнения

(5.2)

имеет

кратность

r(k

k

2

... k

r

) .

Тогда

соответствующие

r

членов

C ek1x ... C ekr x

в

1

1

r

4. Пара комплексно-сопряженных

корней k1,2

i

уравнения (5.2)

имеет кратность

r. В

этом случае

соответствующие

r пар членов

C ek1x ... C

ek2 r x

в формуле (5.3) заменяются слагаемым

1

2r

e x [(C C

2

x ... C

r

xr 1 ) cos x (C

r

1

C

r 2

x ... C

2n

xr 1 )sin x] .

1

Пример 5.1.

Решить

уравнение y IV

5y 4 y 0.

Характеристическое

уравнение

k 4 5k 2 4 0

имеет корни

k

1,

k

3,4

2 .

Общее решение

1,2

дифференциального уравнения

y C ex

C

2

e x C

e2x C

4

e 2x .

1

3

Пример

5.2.

Решить

уравнение

y 2 y 5y 0 .

Характеристическое

уравнение k 2 2k 5 0 имеет корни k

1 2i . Общее решение имеет вид

1,2

y ex (C cos2x C

2

sin 2x) .

1

Пример

5.3.

Решить

уравнение

y 2 y y 0.

Характеристическое

уравнение

k 2 2k 1 0 имеет двукратный корень

k

1, поэтому общее

1,2

решение имеет вид

y e x (C C

2

x) .

1

51

Пример 5.4. Решить уравнение y IV

8y 16 y 0. Характеристическое

уравнение k 5 8k 3 16k 0 имеет корни

k 0 ,

k

2,3

2i, k

4,5

2i . Общее

1

y(n) a1 y(n 1) ... an 1 y an y f (x) ,

(5.4)

где ai R, f (x) – непрерывная функция.

Пусть уравнение

y C1 y1 C2 y2 ... Cn yn

(5.5)

(x) y2

C1

(x) y1 C2

Cn (x) yn 0;

C1

(x) y1 C2

(x) y2

Cn (x) yn 0;

(n 1)

(n 1)

(n 1)

f (x),

C1

(x) y1

C2 (x) y2

... Cn

(x) yn

где Ci

dCi (x)

– производные функций Ci (x) . Для уравнения второго порядка

dx

y p x y q x y f (x) данная система имеет вид

C

(x) y C

(x) y

2

0;

1

1

2

f (x).

C1

(x) y1

C2

(x) y2

52

y

1

Пример 5.5. Решить уравнение

y

1

e x .

Решение. Характеристическое

уравнение имеет корни k1 0,

k2 1.

Поэтому общее решение однородного уравнения будет таким:

y C

C

2

e x .

C1 C1(x) и C2

C2 (x) .

1

Положим

Запишем систему для

определения

C1

C1 (x) и C2

C2 (x) :

x

0;

C1(x) 1 C2 (x)e

x

1

x .

C2 (x)e

e

1

1

1

(x)

,

C2

e x (1

, C1 (x)

e x

e x )

1

откуда

C1(x)

dx

e x

d (e x 1)

x

~

dx

ln | e

1 | C1

,

1

ex

e

x

e x 1

1

C2

(x)

dx

e 2x

dx

(e x )2

dx

dx

e x (1 ex )

e

x 1

e x 1

e x 1

(e

x

1)dx

dx

x

x

ex dx

e

e

x

1 e

x

1

e x x ln | ex 1|

2

~

~

где C1,

C2

– произвольные постоянные.

Общее решение запишется так:

y ln(e

x

~

x

( e

x

x ln(1 e

x

~

1) C1 e

) C2 ) .

L( y) y(n) a y(n 1) ... a

n

y f (x) ,

(6.1)

1

где ai R, f (x) – непрерывная функция.

Соответствующим

однородным

уравнением будет

y(n) a y(n 1)

... a

n

y 0 .

(6.2)

1

Пусть

k n a k n 1

... a

n

0

(6.3)

1

y xr e xQ(x) ,

где Q(x) A xn A xn 1

... A

– некоторый многочлен степени n с

0

1

n

Пример 6.1. Найти общее решение уравнения y y xe2x .

Решение. Составляем характеристическое уравнение k 2 1 0

для

соответствующего однородного уравнения. Его корни

k1 1, k2 1. Так как

число 2 корнем характеристического уравнения

не является, то

r 0 .

Находим y (2ax 2b a)e2x ,

y (4ax 4b 4a)e2x и, подставляя

y ,

и y в уравнение, получим (после сокращения на e

2 x

)

y

4a 4ax 4b ax b x .

Откуда находим

x

3a 1,

a 1/ 3;

x0

4a 3b 0,

b 4 / 9.

f (x) e x (P (x) cos x Q

m

(x)sin x) ,

(6.4)

n

y eαx (u

s

(x)cosβx v

s

(x)sin βx), ,

(6.5)

где us

и vs – многочлены степени s

с неопределенными коэффициентами и

s max{n, m};

б)

если числа i являются корнями кратности r характеристического

уравнения (6.3), то частное решение уравнения (6.1) ищется в виде

y xr eαx (u

s

(x)cosβx ν

s

(x)sin βx),

(6.6)

где us

и vs – многочлены степени s

с неопределенными коэффициентами и

s max{n, m}.

Замечания.

1.

Если в (6.4) P (x) 0 или Q (x) 0, то частное решение y*

также

n

m

y такого

уравнения

можно

искать

в

виде y y* y*

, где

y*

– частное

1

2

1

решение

уравнения

L( y) f

1

(x) ,

а

y*

– частное

решение

уравнения

L( y) f2 (x) .

2

Пример 6.2. Найти общее решение уравнения

y y ex e2x x .

Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет вид

y y 0 ,

характеристическое уравнение

k 2 k 0 имеет корни

k

0,

k

2

1. Общее

1

решение однородного уравнения:

y C C

2

e x .

1

Определяя, как

и выше,

постоянную

A,

получим y*

1

e2 x .

Частное

2

2

решение третьего уравнения будем искать в виде

y* x( Ax B) , так как в

0

3

правой

части

третьего

уравнения

является

однократным

корнем

характеристического

уравнения

и

Pn (x) x

– многочлен первой степени.

Поскольку

y

*

2 Ax B,

y

*

2A,

то,

подставляя эти выражения в третье

3

3

уравнение,

имеем

2A 2Ax B B x .

Приравнивая коэффициенты при x и

свободные члены в левой и правой частях

равенства, получаем систему –

2A 1,

BA B 0 , откуда находим A

1

,

B 1.

2

1

Следовательно,

y* x

x

1 .

3

2

Суммируя

частные решения, получаем

частное

решение y* исходного

1

1

уравнения

y

y*

y*

xe x

e2x x

x

1 . Тогда общее решение данного

1

3

2

2

неоднородного уравнения будет следующим:

1

1

y y y

C C

2

ex xe x

e

2x x

x 1

1

2

2

C (C

x)e x

1

e2x

1

x2 x.

2

1

2

2

Пример

6.3.

Найти

частное

решение

уравнения

y y 4x cosx ,

удовлетворяющее начальным условиям y(0)

0,

y (0) 1.

Решение. Характеристическое

уравнение

k 2 1 0

имеет

корни

k1 i,

k2

i . Поэтому

общим

решением

соответствующего однородного

уравнения

y y 0 будет

y C1 cosx C2 sin x . Для первой части данного

уравнения

0,

1,

Pn (x) 4x

–

многочлен

первой

степени;

(n 1),

Qm (x) 0

–

многочлен

нулевой

степени

(m 0) ;

s max{1,0} 1,

i i

y (2A 2Cx D)cos x (2Ax B Cx 2 Dx)sin x

(2C 2Ax B)sin x (2Cx D Ax2

Bx) cos x

(2A 4Cx 2D Ax2 Bx)cos x (2C 4Ax 2B Cx 2

Dx)sin x.

Подставляя в данное уравнение, имеем

(2 A 2 ACx 2D Ax2 Bx) cos x (2C 4 Ax 2B Cx 2

Dx)

sin x ( Ax2

Bx) cos x (Cx 2 Dx) sin x 4x cos x.

Приравнивая коэффициенты при cos x, sin x, x cos x, x sin x

в обеих частях

равенства, получаем систему

cos x

2 A 2D 0;

sin 0 x

2C 2B 0;

x cos x

4C B B 4;

x sin x

4 A D D 0.

Решая эту систему, находим A 0, B 1, C 1, D 0 . Тогда

y x cosx x2 sin x .

Общее

решение

будет

y y y C cosx C

2

sin x xcosx x2 sin x .

1

Находим y C1 sin x C2 cosx cosx x sin x 2x sin x x2 cosx .

Так

как

то

0 C1, C C2

1.

Таким образом,

C1 0, C2

0 .

y(0) 0, y (0) 1,

Подставляя

значения

C1 0, C2 0

в общее решение,

получим

частное

p C (x 1)2

;

dx

C (x 1)2

;

1

C t C

;

x

C1t C2 1

.

1

dt

1

x 1

1

2

C1t C2

Дифференцируя эту функцию и подставляя в выражение

, получим

y x t

y

C1t

.