Методические указания и контрольная работа №2 по высшей математике для студентов-заочников инженерно-технических специальностей

Общим

решением уравнения

первого

порядка

называется функция

y (x, С) ,

которая при любом значении постоянной С является решением

данного уравнения.

Теорема Коши. Если функция

f (x, y) определена, непрерывна и имеет не-

прерывную частную производную

f ( x, y)

в области D, содержащей точку

y

М (x0 , y0 ) , то найдется интервал

(x0 δ;

x0 δ) , на

котором существует

единственное решение y (x) дифференциального уравнения y' = f(x, y)

удо-

вида на N1(x) M2 ( y) . Если

f2 ( y) 0 , то умножим обе части уравнения второго

вида на dx и разделим

на f2 ( y) .

В результате получим уравнения с

разделенными переменными вида:

M1(x)

N2 ( y)

dx

dy 0;

N1(x)

M 2 ( y)

41

f1(x)dx

dy

.

f2

( y)

Для нахождения всех решений полученных уравнений нужно

проинтегрировать обе части полученных соотношений.

1 y 2

Пример 4.1. Решить уравнение y

xy(1 x

2 ) .

dy

Решение. Заменим

y

dx . Разделив переменные и интегрируя, получим

ydy

dx

;

ydy

dx

C .

1 y 2

x(1 x2 )

1

y 2

x(1 x2 )

Разложим подынтегральную дробь на простейшие:

1

A

Bx D

, A 1,

B 1,

D 0.

x(1 x2 )

x

1 x2

Отсюда

1

ln(1 y2 ) ln | x |

1

ln(1 x2 ) ln | C |;

2

2

ln | (1 x2 )(1 y2 ) | 2ln | Cx | .

(1 x2 )(1 y2 ) С 2 x2

–

общий интеграл уравнения. Выразив из него y ,

имеем общее решение уравнения

y

C 2 x2

1 .

1 x2

4.2. Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка

Функция f (x, y)

называется однородной функцией n-го измерения

относительно переменных x и y, если при любом t справедливо тождество

f (tx, ty) tn f (x, y) .

Например: f (x, y) x3 3x2 y

– однородная функция третьего измерения

Функция ( x, y)

x y

является однородной

функцией

нулевого

x 2 y

измерения, так как

(tx, ty) t0 (x, y) (x, y) .

Функция

x3 3x2 y x

однородной не является, так как для нее условие

f (tx, ty) tn f (x, y) не

выполняется ни при каком n.

dy

Дифференциальное

уравнение в нормальной

форме y

dx

f (x, y)

y2

y

x2

2 .

Решение. Это – однородное уравнение, так как

f (x, y)

y2

2 – одно-

x2

родная функция нулевого измерения. Положим

y ux,

y

u .

u x

u u

2

2,

2

u 2 .

Тогда u x

u x u

du

x u2

u 2,

du

dx

–

уравнение

с

разделенными

dx

u2 u 2

x

переменными. Интегрируя, получим

du

dx

,

1

ln

u 2

ln | x | ln | C |,

1

9

u 1

(u

)

2

x

3

2

4

u 2

y

2

C

3

x

3

,

x

Cx

3

,

u 1

y

1

x

43

y 2x Cx3 ( y x)

общий интеграл данного уравнения. Разрешив последнее

равенство относительно y, получим общее решение y

x(2 Cx

3 )

.

1

Cx 3

Пример 4.3. Найти частное решение уравнения

( y2 3x2 )dy 2xydx 0 ,

1.

удовлетворяющее начальному условию y

x 0

Решение.

M (x, y) 2xy,

N(x, y) y2

3x2

–

однородные

функции

второго измерения. Подстановка

y ux, y

приводит уравнение к виду

u x u

(u2 3)du

dx

.

u(1 u2 )

x

Интегрируя, получим

(u 2 3)du

dx

;

u 2

3

A

B

D

;

u)(1 u)

1 u

u(1

x

u(1

u)(1 u)

u

1 u

A 3,

B 1;

D 1;

3ln | u | ln |1 u | ln |1 u | ln | x | ln | C |;

1 u 2

1

y2

Cx

;

x2

Cx,

C ln C1.

u3

y3

x3

x2 y 2 Cy 3

– общий

интеграл данного уравнения.

Найдем

частный

интеграл, удовлетворяющий условию

y

x 0 1;

0 1 C;

C 1;

y3 y2 x2 – частное решение уравнения.

1

du

1

sin x sin x ;

dx sin 2 x ;

u

du

dx

u ctg x C.

sin 2 x

y P(x) y Q(x) ym ,

где m 0,

m 1.

Такие уравнения можно проинтегрировать с помощью подстановки y uv

или свести к линейным уравнениям с помощью замены z y1 m .

y

x2

Пример 4.5. Решить уравнение y

x

y .

Полагая y uv , приводим уравнение к виду

du

u

dv

x2

v

u

0 .

(4.3)

dx

x

uv

dx

Уравнение

du

u

0 имеет частное решение u x .

dx

x

Подставляя u в уравнение (4.3), получаем уравнение

dv

x

x2

0,

dv

1

.

dx

xv

dx

v

dx

x

1

.

dy

2 y

2x

Полагая x uv , получим

du

u

dv

1

v

u

0 .

(4.4)

dy

2 y

dy

2uv

Уравнение

du

u

0

имеет

частное

решение u

y . Подставляя

dy

2 y

значение u в уравнение (4.4), перейдем к уравнению

dv

1

0 v

2 ln

C

.

y

dy

y

2v

y

Отсюда x

1/ 2

C

,

x2

y ln

C

.

y ln

y

y

4.5. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Уравнение

P(x, y)dx Q(x, y)dy 0

(4.5)

u

P(x, y);

u Q(x, y) .

(4.6)

x

y

Общий интеграл уравнения (4.5) можно представить в виде

x

y

P( x, y)dx Q(x0 , y)dy C ,

x0

y0

где (x0 , y0 ) D .

Пример 4.7. Решить уравнение

ex (xsin y y cos)dx ex (xcos y ysin y)dy 0.

Имеем P

ex (x cos y cos y y sin y);

Q ex (x cos y y sin y cos y).

y

x

Следовательно, данное уравнение является уравнением в полных

дифференциалах. Найдем функцию u(x, y) . Система (4.6) имеет вид

u

ex (xsin y y cos y);

u

ex (x cos y y sin y) .

x

y

Из первого уравнения этой системы находим

u(x, y) ex (xsin y y cos y)dx ( y) ex xsin y ex sin y ex y cos y ( y),

где ( y) – произвольная дифференцируемая функция.

Подставляя u(x, y) во второе уравнение системы, имеем

e

x

x cos y e

x

cos y e

x

cos y e

x

y sin y ( y)

e

x

x cos y

e

x

y sin y

( y) 0 ( y) C.