Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методические указания и контрольная работа №2 по высшей математике для студентов-заочников инженерно-технических специальностей

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Аналогично, считая x0 постоянной и давая y0 приращение y ,

получим частное приращение функции z = f(x, y) по y:

y z y f (x0 , y0 ) f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 ).

Полным приращением функции z f (x, y) в точке P0 (x0 , y0 ) называют

приращение z , вызываемое одновременным приращением обеих независимых переменных x и y:

z f (x0 , y0 ) f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 ) .

Геометрически

частные приращения

полное

приращение функции

z( x z, y z, z)

можно изобразить соответственно отрезками A1B1, A2B2 и A3B3

(рис. 3.1).

В1

x z

В3

А1

В2

А3

А0

y z

А2

Р1(x0 x, y0 )

Р3 (x0 x, y0 y)

Р0 (x0 , y0 )

Р (x

, y

2 0

Рис. 3.1.

Пример 3.1. Найти частные и полное приращения функции z xy 2 в точке

P0 (1; 2) , если x 0,1; y 0,2 .

Решение. Вычислим значения

z f (1,1;

2,0) f (1; 2) (x

x) y

0,1 4 0,4;

z f (1,0; 2,2) f (1; 2) x

( y

y)2 x

2 2x

2 1 2 0,22 0,84;

z f (1,1; 2,2) f (1;2) (x

x)(y

y)2 x

1,1 2,22 1 22

1,324.

Если	u f (x, y, z) , то для	нее рассматриваются частные приращения
xu, yu, zu и полное приращение u .
	3.3.2. Частные производные
Определение. Частной производной функции z = f(x, y) по переменной x
называется	предел отношения	частного приращения функции x z к

приращению аргумента x , когда последнее стремится к нулю:

lim

f (x0 x, y0 ) f (x0 , y0 )

x 0

Частную производную функции

z f (x, y) по переменной x обозначают

символами

f (x, y)

; zx ;

; f x (x, y).

Таким образом,

lim

x z

lim

f (x0

x, y0 ) f (x0, y0 )

x 0

Определение. Частной производной функции z = f(x, y) по переменной y

называется предел

отношения частного приращения функции y z к

приращению аргумента y , когда последнее стремится к нулю:

y z

lim

f (x , y

y) f (x , y

)

lim

y 0

f (x, y)

Применяются также обозначения z y ,

f y (x, y) .

Частные приращения и частные производные функции n переменных при n > 2 определяются и обозначаются аналогично. Так, например, пусть точка (x1, x2 ,..., xk ,..., xn ) – произвольная фиксированная точка из области

определения функции u f (x1, x2 ,..., xn ) . Придавая значению переменной xk (k 1, 2,...,n) приращение xk , рассмотрим предел

lim	f (x1, ...,xk	xk ,..., xn ) f (x1,..., xk ,...,xn )	.

xk 0		xk

Этот предел называется частной производной (1-го порядка) данной

функции по переменной xk

в точке (x1, x2 ,..., xn ) и обозначается

или

(x1, x2 ,..., xn ) .

f xk

Пример 3.2. Найти

где u x2 yz3

x y2 .

Решение. Для нахождения

считаем y,

z константами, а функцию

u x2 yz3 x y2 – функцией одной переменной x. Тогда

u (x 2 yz 3

x y 2 ) x (x 2 yz 3 ) x (x) x ( y 2 ) x

2xyz 3 1 0 2xyz 3

Аналогично

x2 z3

2 y,

3z 2 x2 y .

Частными

производными

2-го

порядка

функции u f (x1, x2 ,..., xn )

называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Производные второго порядка обозначаются следующим образом:

(x1, x2 ,..., xn );

f xk xk

f x x (x1, x2 ,..., xn ) и т.д.

xi xk

Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка выше второго.

Пример 3.3. Найти частные производные второго порядка для функции

z x . y 2

Решение.

;

0; y x

;

x y

3.3.3. Полный дифференциал функции

Полным приращением функции

f (x1, x2 ,..., xn )

в точке P(x1, x2 ,..., xn ),

соответствующим приращениям аргументов x1, x2 ,..., xn , называется

разность u f (x1 x1, x2 x2 ,..., xn xn ) f (x1, x2 ,..., xn ) . Функция u = f(P) называется дифференцируемой в точке (x1, x2 ,..., xn ) , если в некоторой

окрестности этой точки полное приращение функции может быть представлено в виде

		u A1 x1		A2 x2	... An		xn o( ) ,
где	ρ x2	x2	... x2 ;	A , A ,...,A		–	числа, не зависящие	от
	1	2	n	1 2	n
x1, x2 ,..., xn .
	Полным дифференциалом du 1-го порядка функции u f (x1, x2 ,...,xn )							в

точке (x1, x2 ,..., xn ) называется главная часть полного приращения этой функции в рассматриваемой точке, линейная относительно x1, x2 ,..., xn , то есть

du A1 x1 A2 x2 ... An xn .

Дифференциалы независимых переменных по определению принимаются равными их приращениям:

dx1 x1, dx2

x2 ,...,dxn xn .

Для полного дифференциала

функции

u f (x1, x2 ,..., xn )

справедлива

формула

...

Пример 3.4. Найти полный дифференциал функции z ln( y

x2 y2 ) .

Решение.

2 x

z		1										y							1
z		1										y							1
							1															,
	y		2	y		2	1				2	y	2					2		y	2	,
y	y	x		y						x		y					x			y
dz					xdx										dy					.

		y		2		x		2	y2					x	2	y		2
	x2	y		2	y	x		2	y2					x		y

Полный дифференциал используется для приближенных вычислений значений функции. Так, например, для функции двух переменных z f (x, y) ,

заменив z dz , получим

f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 ) df (x0 , y0 ) .

Пример 3.5. Вычислить приближенно с помощью полного дифференциала

1,97 arctg 1 .

1,02

Решение. Рассмотрим функцию f (x, y)

вышеуказанную формулу к этой функции, получим


arctg	x	1	. Применив


y

arctg

x x

arctg

x arctg

y y

или, после соответствующих преобразований,

x x					x						y			x
arctg			1 arctg					1					x			y .
arctg			1 arctg					1					x			y .
y y					y					y 2 (x y)2				y 2 (x y)2
Положим теперь x = 2, y = 1, x = –0,03, y = 0,02. Тогда
2 0,03					2						1( 0,03)			2
arctg				1	arctg				1						0,02
arctg				1	arctg				1		12 (2 1)2			(2 1)2	0,02
1 0,02					1						12 (2 1)2	12		(2 1)2
arctg1	1	0,03 0,02					π		0,015 0,02 0,75.
arctg1	2	0,03 0,02				4			0,015 0,02 0,75.
	2					4

3.3.4. Дифференцирование сложных и неявных функций

Функция z = f(u,v), где u = (x), v = (x), называется сложной функцией переменных x и y. Для нахождения частных производных сложных функций испо-

льзуются следующие формулы:

;

v .

В случае, когда u = (x),

v = (x),

будет:

z f ( (x),

(x)) – функция

одной переменной и, соответственно,

z du

Пример 3.6. Найти частные производные функции z arctg uν , где u = x + y, v = x – y.

Решение. По формуле

имеем:

u v

Аналогично

u v

( 1)

Если уравнение F(x, y) = 0 задает некоторую функцию y(x) в неявном виде

(x, y) 0, то

Fx (x, y) .

(x, y)

Если уравнение F(x, y, z) задает функцию двух переменных z(x, y) в неявном виде и Fz (x, y, z) 0 , то справедливы формулы:

z	F (x, y, z)		z		(x, y, z)
				Fy
	x	;				.
	Fz (x, y, z)
x			y	Fz (x, y, z)

Пример 3.7. Найти частные производные функции z, заданной неявно уравнением xyz x3 y3 z3 5 0 .

Решение.

yz 3x2

3x2

;

3z 2

xz 3y2

3z 2

3.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), то уравнение касательной

плоскости в точке M 0 (x0 , y0 , z0 )

к данной поверхности:

z z0 f x (x0 , y0 )(x x0 ) f y (x0 , y0 )( y y0 ) ,

а каноническое уравнение нормали,

проведенной через точку M 0 (x0 , y0 , z0 )

поверхности, таково:

x x0

y y0

z z0

, y0 )

f x (x0 , y0 ) f y (x0

В случае, когда уравнение поверхности задано в неявном виде: F(x, y, z) = 0,

уравнение касательной плоскости в точке M 0 (x0 , y0 , z0 )

имеет вид

(x0

, y0 , z0 )(z z0 ) 0 ,

Fx (x0

, y0 , z0 )(x x0 ) Fy

, y0 , z0 )( y y0 ) Fz (x0

а уравнение нормали

x x0

y y0

z z0

Fx (x0 , y0 , z0 )

Fy (x0 , y0 , z0 )

Fz (x0 , y0 , z0 )

Пример 3.8. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к

однополостному гиперболоиду x2 2 y 2	z2 5 0 в точке P0(2; –1; 1).
Решение.

Fx (x0 , y0 , z0 ) 2x		P0 4;
	4 y	P0 4;

Fy (x0 , y0 , z0 )

Fz (x0 , y0 , z0 ) 2z P0 2.

Поэтому уравнение касательной плоскости к данной поверхности

запишется в виде		4(x 2) 4( y 1) 2(z 1) 0					или	2x 2 y z 5 0,					а
уравнение нормали в виде
	x 2		y 1	z 1	или	x 2	y 1		z 1	.
			4	2	или		2			.
4			4	2		2	2		1
3.5. Экстремум функции нескольких переменных
Функция u f ( p) имеет максимум (минимум) в точке P (x0											, x0	,...,x	0 ) ,
								0 1			2	n

если существует такая окрестность точки P0, для всех точек P(x1, x2 ,...,xn ) которой, отличных от точки P0, выполняется неравенство f (P0 ) f (P)

(соответственно f (P0 ) f (P) ).

Необходимое условие экстремума. Если дифференцируемая функция f (P)

достигает экстремума в точке P0, то в этой точке все частные производные 1-го

порядка f (P ) 0, k 1, 2,...,n .

xk 0

Точки, в которых все частные производные равны нулю, называются стационарными точками функции u f (P) .

Достаточные условия экстремума. В случае функции двух переменных достаточные условия экстремума можно сформулировать следующим образом.

Пусть P0 (x0 , y0 )	– стационарная	точка функции z f (x, y) ,	причем эта
функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки P0 и все ее
вторые частные производные непрерывны в точке P0. Обозначим
				2	.
A f xx (x0 , y0 ), B f xy (x0 , y0 ), C f yy (x0 , y0 ), D AC B					.

Тогда:

1) если D > 0, то в точке P0 (x0 , y0 ) функция z f (x, y) имеет экстремум, а именно: максимум при A < 0 (C < 0) и минимум при A > 0 (C > 0);

2)если D < 0, то экстремум в точке P0 (x0 , y0 ) отсутствует;

3)если D = 0, то требуется дополнительное исследование.

Пример 3.9. Исследовать на экстремум функцию z x3 y3 3xy . Решение. Найдем частные производные 1-го порядка и приравняем их нулю.

z	3(x2 y) 0;	z	3( y2 x) 0.
x		y

Получаем систему:

x2 y 0;y2 x 0.

Решая систему, найдем две стационарные точки P (0, 0)									и P (1,1) . Найдем
								1	2
частные производные 2-го порядка:
	2 z	6x;	2 z	3;		2 z		6 y .
	2	6x;	x y	3;			2	6 y .
	2		x y				2
x					y

Затем составим дискриминант D AC B2 для каждой стационарной точки.

Для точки P1 :

2 z

0 ;

2 z

P 3 ;

2 z

0 ;

D 9 0 .

x y

Следовательно, экстремума в точке P1 нет.

Для точки

P2 :

2 z

6 ;

2 z

P2 6 ;

x y

D 36 9 0;

A 0 . Следовательно,

в точке

функция

имеет

минимум,

равный zmin z

1 1 3 1.

x 1

y 1

3.6. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области

Функция z f (x, y) , определенная и непрерывная в замкнутой области D с границей G и дифференцируемая в открытой области D, достигает своего наибольшего и наименьшего значений (глобальных экстремумов).

Точки глобального экстремума следует искать среди стационарных точек функции f в открытой области D и среди точек границы G.

Пример	3.10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z e x3 3x2 6 y2	в области x2 y 2 1.
Решение.	Граница области D x2 y 2	1 – окружность радиуса 1.

Сделаем чертеж (рис. 3.2).

Окружность разбивает плоскость на две части. Координаты точек круга удовлетворяют неравенству x2 y 2 1. Найдем стационарные точки функции z в круге.

(3x

6x)e

x3 3x 2 6 y 2

6x 0;

3x 2

6 y 2

y 0.

12 ye

z y

М2(-	-1	O	1	x
M2(–22;0) –1
		-1

Рис. 3.2.

Решая эту систему, находим для функции z две стационарные

точки

(0; 0) и

( 2; 0) . Кругу принадлежит точка

(0; 0) ;

z(M

) e0 1.

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции z на окружности

x2 y 2 1. На

ней

y2 1 x2; x [ 1;1];

z z(x) ex3 3x2 6 .

Имеем

z( 1) e

;

z(1) e

. Далее, решая уравнение

6x)e

x3 3x2

0 ,

z (x) (3x

находим стационарную точку: x 0 ( 1;1);

z(x ) z(0) e6 .

Итак,

получим

следующие

значения

функции

z(M

) 1;

z( 1; 0) e2;

z(1; 0) e4; z(0;1) e6 .

Отсюда

видно,

что

наиб

z(0;1) e6 ,

наим

z(0; 0) 1.

Если граница G состоит из нескольких частей, то наименьшее и наибольшее значение функции z на границе G следует искать среди наибольших и наименьших значений функции на каждой из частей границы.

4.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Вобщем случае дифференциальное уравнение первого порядка может быть записано в виде

F(x, y, y ) 0

или, если разрешить его относительно y , в нормальной форме

y f (x, y).

Решением дифференциального уравнения называется такая функция y (x), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]