Методические указания и контрольная работа №2 по высшей математике для студентов-заочников инженерно-технических специальностей

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

y a(1 cost);

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

2.1.4. Площадь плоской фигуры

1. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = a, x = b, (a < b), осью Ox и непрерывной кривой y = f(x) (f(x) 0) вычисляется по формуле

S f (x )dx . a

Пример 2.4. Найти площадь области, ограниченной линиями y = x2+1 и y = 9 x2.

Решение. Построим область (рис 2.1). Найдем абсциссы точек пересечения

	2	1,		x2 1 9 x2 , x2 4, x 2.
A, B: y x		1,		x2 1 9 x2 , x2 4, x 2.
	x		2
y 9	x
Так как фигура симметрична относительно оси Oy, то
		2		2	2		2	64
		2		2
S 2			[(9 x2 ) (x2 1)]dx 2 (8 2x2 )dx 2(8x			x3 )
S 2			[(9 x2 ) (x2 1)]dx 2 (8 2x2 )dx 2(8x		3	x3 )	0	3
		0		0	3			3
		0		0

y x2 1

y 9 x2

1
-2 О	2	x

Рис. 2.1.

Пример 2.5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2, y = 4x,

2x + y 3 = 0, x 0 (рис. 2.2).
y	y 4x

y 3 2x

2	А
2		y x2
	В	y x2
	В
0	0,5 1	x
		x

Рис. 2.2.

Решение. Находим абсциссы точек пересечения A и B.

0,5	1		11
S	(4x x 2 )dx (3 2x x 2 )dx			.
		12
0	0,5

2. Если фигура ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), t , прямыми x = a, x = b и осью Ox, то

S y(t)x (t)dt ,

где a = x( ), b = x( ), y(t) 0.

Пример 2.6. Найти площадь фигуры, ограниченной циклоидой

x a(t sin t), 0 t 2π		и прямой y = a, (а 0).
	cost)
y=a(1

Решение. Для нахождения пределов интегрирования по t решаем систему

Площадь фигуры A1ACBB1 (рис. 2.3) выражается интегралом

2	3 / 2		2		2	3 / 2	3		cos	2t		2		3
S a		(1 cost)		dt a				2cost			dt a		4		.
S a		(1 cost)		dt a				2cost			dt a		4		.
1	/ 2					/ 2	2		2					2
							2		2					2

Площадь		прямоугольника							AA1B1B		равна		S2 S A A B B a2 (2 ) ,
														1	1
				3
так как A a		1	; a	, B a			1		; a .
так как A a		1	; a	, B a			1		; a .
	2				2
	2				2
									2		3	2	2
Искомая площадь S S						S		2	a	4		a	(2 ) a		2		.
Искомая площадь S S						S			a	4		a	(2 ) a		2		.
					1						2					2
											2					2

2a	C			у а
2a				у а
A	S	B
A		B
0 A1		B1		x
			2 а

Рис. 2.3.

3. Площадь сектора, ограниченного непрерывной кривой в полярных координатах = ( ) и лучами = , = , ( > ), выражается интегралом

																								1
																	S							1	2 ( )d .
																	S								2 ( )d .
																						2
							Пример 2.7. Найти площадь фигуры, ограниченной частью лемнискаты
Бернулли (x 2 y2 )2											a2 (x 2 y2 ), лежащей внутри окружности x 2																														y2		a2	.
Бернулли (x 2 y2 )2											a2 (x 2 y2 ), лежащей внутри окружности x 2																														y2		2	.
																																											2
							Решение. Уравнение лемнискаты Бернулли в																												полярных					координатах:
2					a2 cos2 ; а окружности:																	a			(рис. 2.4).
2					a2 cos2 ; а окружности:																	2			(рис. 2.4).
																						2
											ρ2				a2 cos2 ;
																									Отсюда
							Решаем систему:								ρ	a			.						Отсюда
																a

																	2
		2												, .																			/ 6		2				/ 4
	a					a2 cos2 , cos2							1								1		S S				S					1			a	d		1		a2 cos2 d
						a2 cos2 , cos2																	S S				S	2								d				a2 cos2 d
2												2				6 4										1		2			2 0				2			2 / 6
2												2				6 4															2 0				2			2 / 6
			a			2		a	2	sin 2	/ 4			2				a		2						3			a	2						3							3
			a					a		sin 2					a			a								3			a							3				2			3
																						1									1						; S a			1					.
										2	/ 6			24			4					1				2		4			1			6		2	; S a			1		6	2		.
				4 6 2						2	/ 6			24			4									2		4						6		2						6	2
																																											23

y

			4
	S
	2

		6
0	а /	2	а	x
	S1

Рис. 2.4.

2.2. Вычисление длин дуг кривых. Вычисление объемов

Если плоская кривая задана уравнением y = f(x), где f(x) – непрерывно дифференцируемая функция, a x b, то длина l дуги этой кривой выражается интегралом

l 1 (y )2 dx . a

Если же кривая задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t)

( t ), то l (x t )2 (yt )2 dt .

Аналогично выражается длина дуги пространственной кривой, описанной параметрическими уравнениями: x = x(t), y = y(t), z = z(t), t :

l (xt )2 ( yt )2 (zt )2 dt .

Если задано полярное уравнение кривой = ( ), , то

l 2 ( )2 d .

Если площадь S(x) сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox, является непрерывной функцией на отрезке [a, b], то объем тела вычисляется по формуле

V S(x)dx .

Объем V тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), (f(x) 0), осью абсцисс и прямыми x = a

x = b (a < b), выражается интегралом

V f 2 (x)dx .

	Пример 2.8. Вычислить длину дуги кривой			y2 x 3 , отсеченной прямой
x	4	(рис. 2.5).
x	3	(рис. 2.5).
	3
		y			4
			x		4
			x		3
		А			3
		y 2 x3

0	4	х

	3

Рис. 2.5

Решение. Длина дуги АОВ равна удвоенной длине дуги ОА.

		3							3			1
											x			.
y x				2	, y								2		Тогда
y x				2	, y			2					2		Тогда
								2
							4											4							4					1
																	2

1							3								3			3		9			4		3			9					9
1							3								3			3		9			4		3			9			2		9
	l lOA 1															x	dx 1					xdx				1			x			d 1		x
	l lOA 1															x	dx 1					xdx				1			x			d 1		x
2							0								2			0		4			9		0			4					4
								3
						9
						9				2
			1				x					4 / 3					43 / 2	1
			1				x
	4					4										8			56		; l 2			56			112			.
						3															; l 2									.
	9					3						0				27			27				27					27
						2

2)sin t 2t cost;

2.9. Вычислить

длину дуги

кривой

Пример

)cost 2t sin t,

y (2

если t изменяется от t1 = 0 до t2 = .

Решение. Дифференцируя по t, получаем

xt 2t sin t (t 2

2)cost 2cost 2t sin t t 2 cost,

yt 2t cost (2 t 2 )sin t 2sin t 2t cost t 2 sin t,

откуда (x )2

(y )2

t4 cos2 t t4 sin 2 t

t4 (cos2 t sin 2 t) t2 .

Следовательно, l t2dt

Пример 2.10. Найти длину дуги кардиоиды = a(1 + cos ), (a > 0, 0 2 )

(рис. 2.6).

Решение. Здесь									2 2	2
Решение. Здесь					asin ,			( )		2a (1		cos		)
	4a2 cos2	2a											d 8a.

			cos			. В силу симметрии l 2 2a cos
	2			2							0		2
											0


							2
							2	4
								4

						O				2		0
												0

3 2

Рис. 2.6.

Замечание. Построение линии ведется в полярной системе координат по точкам, которые в достаточном количестве записываются в виде таблицы их координат.

Пример 2.11. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями 2y x 2 и 2x 2y 3 0 (рис. 2.7).

Решение. Найдем абсциссы точек пересечения кривых:

	x 2							3 2x					3						x 2		3
y			и y												x ;								x; x 2 2x 3 0; x 3, x														2	1 .
y			и y												x ;								x; x 2 2x 3 0; x 3, x															1 .
	2								2				2				2				2													1
	2								2				2				2				2
																			y

																						2 y x2


																А
																														2x 2y 3 0

																						В




															-3				O				1								x
															–3								1								x
																						Рис. 2.7.
																						Рис. 2.7.
	Искомый объем есть разность двух объемов: объема V1 тела, полученного
вращением криволинейной трапеции, ограниченной прямой y																																			3	x		( 3 x 1),
вращением криволинейной трапеции, ограниченной прямой y																																			2	x		( 3 x 1),
																																			2
и объема						V2			тела, полученного вращением криволинейной трапеции,
ограниченной									параболой											y			x 2			( 3 x 1) .							Используя					формулу
ограниченной									параболой											y						( 3 x 1) .							Используя					формулу
																							2
	b
V f 2 ( x)dx , получаем
	a
										1		3					2						1	x2			2		1			3		2		3
	V	x	V V												x				dx										dx					x	d			x
	V		V V												x				dx										dx					x	d			x
				1					2			2																			3	2				2
									3			2										3 2									3	2				2
												3				3
			1		4									x				1					5		1
														x
				x							2											x						272
				x			dx				2											x						272			.
							dx																								.
			3	4										3				3			20				3		15

2.3.Несобственные интегралы

2.3.1.Интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы первого рода)

Если функция f (x) непрерывна при a x , то несобственным интегралом первого рода называется следующий предел:

		b
f (x)dx	lim	f (x)dx .
a	b a

Если существует конечный предел в правой части этой формулы, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же этот предел не существует или равен , то расходящимся.

Аналогично определяются несобственные интегралы

b		b
f (x)dx lim f (x)dx ,
		a a
	c		b
f (x)dx	lim	f (x)dx lim	f (x)dx ,
	a a	b c

где c R – число.

Пример 2.12. Вычислить e 3x dx .

	0
Решение. Имеем:
	b		1
e 3x dx	lim e 3x dx	lim		e 3x

	b 0		3
0		b

1	lim	(1 e3b )	1	.

3 b			3

																	dx
	Пример 2.13. Вычислить																dx				.

														x 2		2x 5
	Решение.						f (x)				1							1							–		непрерывная								функция на

										x 2 2x 5							(x 1)2 4
										x 2 2x 5							(x 1)2 4
( ; ) ;
											dx				0			dx												dx
											dx							dx												dx			.

																										x2 2x 5
							x2 2x					5		x2 2x 5											0	x2 2x 5
0			dx					0			dx									1					1		1				a 1				1			1			π
							lim										lim					arctg							arctg							arctg						.
							lim										lim					arctg							arctg							arctg						.
x2		2x 5					a a 4 (x 1)2									a				2					2			2				2			2			2		4
			dx					b			dx							1					b 1					1				1				1			1
			dx								dx							1					b 1					1				1				1			1
						lim								lim					arctg											arctg							arctg			.
		2	2x			lim					(x		2	lim					arctg											arctg							arctg			.
0	x		2x	5			b	0	4		(x	1)			b			2						2				2				2		4		2			2
0								0
							dx
	Тогда						dx
											2 . Интеграл сходится.
					x2		2x 5				2 . Интеграл сходится.

2.3.2. Интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода)

Если f (x) непрерывна при a < x < b и в точке x = b неограничена, то несобственным интегралом второго рода называется

b		b
f (x)dx	lim	f (x)dx .
a	0	a

Если существует конечный предел в правой части этой формулы, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же этот предел не

существует или равен , то–расходящимся.

f (a) .

Аналогично определяется интеграл и в случае

f (x)dx lim

f (x)dx .

0 a

В случае, когда f(c) = , c (a, b), то

f (x)dx

lim

f (x)dx lim

f (x)dx .

0 c

Пример 2.14. Вычислить или установить расходимость

0 x 2

Решение.

f (x)

–

непрерывна

на (0,

1], lim

f (x) lim

x 2

x 0

x 0 x 2

Следовательно,

–

несобственный

интеграл

второго

рода.

0 x 2

1 dx

lim

следовательно,

интеграл

0 x

расходится.

3.ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

3.1.Понятие функции нескольких переменных

Пусть D – произвольное множество точек n-мерного арифметического пространства. Если каждой точке P(x1, x2,..., xn) D поставлено в соответствие некоторое действительное число f(P) = f(x1, x2,.., xn), то говорят, что на множестве D задана числовая функция f от n переменных x1, x2,.., xn. Множество

D называется областью определения, а множество E = {u R|u = f(P), P D} – областью значений функции u = f(P).

В частном случае, когда n = 2, функцию двух переменных z = f(x, y) можно изобразить графически. Для этого в каждой точке (x, y) D вычисляется значение функции z = f(x, y). Тогда тройка чисел (x, y, z) = (x, y, f(x, y))

определяет в системе координат Oxyz некоторую точку P. Совокупность точек P(x, y, f(x, y)) образует график функции z = f(x, y), представляющий собой некоторую поверхность в пространстве R3.

3.2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных

Число А называется пределом функции u = f(P) при стремлении точки P(x1, x2,..., xn) к точке P0(a1, a2,..., an), если для любого > 0 существует такое

	> 0, что	из условия		0 (P , P )	(x a )2 ... (x		a	)2	следует
				1 0	1 1	n	n
\|	f (x1, x2 ,...,xn ) A \| ε . При этом пишут:
	A lim	f ( p) lim		f (x1 , x2 ,...,xn ) .
	P P0	x1	a1
		x2	a2
		...
		xn an
	Функция u = f(P) называется непрерывной в точке P0 , если:
	1) функция f(P) определена в точке P0 ;
	2) существует lim f (P) ;
		P P0
	3) lim f (P) f (P0 ) .
	P P0
	Функция	называется		непрерывной	в области,	если	она непрерывна в

каждой точке этой области. Если f(P) определена в некоторой окрестности точки P0 и хотя бы одно из условий 1–3 нарушено, то точка P0 называется

точкой разрыва функции f(P). Точки разрыва могут быть изолированными, образовывать линии разрыва, поверхности разрыва и т.д.

3.3. Дифференцирование функций нескольких переменных

3.3.1. Частное и полное приращения функции

Пусть z = f(x, y) – функция двух независимых переменных и D(f) – область ее определения. Выберем произвольную точку P0 x0 , y0 D( f ) и дадим x0

приращение x , оставляя значение y0 неизменным. При этом функция f(x, y) получит приращение:

x z x f (x0 , y0 ) f (x0 x, y0 ) f (x0 , y0 ),

которое называется частным приращением функции f(x, y) по x.

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]