Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

Файл:

Методические указания и задания к контрольной работе №2 по высшей математике для студентов заочного отделения ФТУГ экономических специальностей.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

2.4. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

∞
∑cn (x −a)n ,	(2.8)
n=0
где cn – коэффициенты степенного ряда, cn, a R.
Если а = 0, то ряд (2.8) принимает вид
∞
∑cn xn .	(2.9)

n=0

Совокупность тех значений х, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля. 1). Если степенной ряд (2.9) сходится при значении x = x0 ≠ 0, то он сходится, и причем абсолютно, при всех значениях х таких, что |x| < |x0|;

2) Если степенной ряд (2.9) расходится при х = х 1, то он расхо-

дится при всех значениях х таких, что |x| > |x1|.

Областью сходимости степенного ряда (2.9) является некото-

рый интервал с центром в точке х = 0.

Радиусом сходимости ряда (2.9) называется такое число R, что во всех точках х, для которых |x| < R, ряд сходится, а во всех точках |x| > R ряд расходится.

Радиус сходимости степенного ряда находится по формулам

R = lim	cn	; R = lim	1	, если эти пределы существуют.
	cn+1
			c
n→∞		n→∞ n	c
			n

Пример 2.4. Определить область сходимости рядов:

	∞		x	n
1)	∑					.
		n	(n +1)
	n=0 3
Решение.
1)	R = lim				cn

					c
		n→∞
					n+1

∞

x −1

2) ∑

n +1

n=1

cn =

3n+1 (n +2)

3n (n +1)

= lim

= 3,

3n (n +1)

cn+1 =

n→∞

3n+1 (n +2)

следовательно, интервал сходимости (-3, 3).

Исследуем сходимость ряда в граничных точках:

∞

а) при х = 3, получаем ряд ∑

, который расходится (гармони-

n +1

чекий ряд);

n=0

(−1)

∞

n+1

б) при х = -3, получим ряд ∑

который сходится по призна-

ку Лейбница: 1) 1 > 1

> 1

n=0

n +1

> …; 2)

lim

= 0 .

n→∞ n +1

Область сходимости – [−3; 3).

∞

x −

2) ∑

. Определим радиус сходимости ряда:

n=1

n +1

cn =

;

n(n +2)2n+1

R = lim

(n +1)2n

= lim

n→∞

cn+1

n +1

n→∞

(n +1)(n +1)2n

(n +2)2n+1

= 2lim

n(n +2)

= 2.

n→∞ (n +1)2

Следовательно,

R = 2;

x −1

< 2; −2 < x −1 < 2; −1 < x < 3.

Интервал сходимости –

(−1, 3). Исследуем сходимость ряда в

граничных точках.

∞

а) x = 3. Получаем

∑

– ряд знакоположительный,

n=1 n +1

lim un = lim

=1 ≠ 0. Следовательно, ряд расходится.

n→∞

n→∞ n +1

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]