Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методические указания и задания к контрольной работе №1 по высшей математике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

При у'= 0	получаем	х2 — 2.x: — 1 = 0	или	Xj=l - л/2,	х2 = 1 + л/2 .
Точки х, и х2 являются критическими (стационарными) точками.
Определим	интервалы	монотонности	из	неравенств	у > 0 и

/ < 0 Vxe£>(j):

J C ( " 2 ^ 1 < 0 п р И

1 + л/2).

Следовательно, функция возрастает при х е ^-со;1 - л/2 ju^l + л/2;+оо j

и убывает при х е ^ 1 - л/2; 1 + sjl j .

В	точке	х = 1-л/2	функция	имеет	максимум	jmax = у { \ - 4 2 j =
=-2л/2 + 2 » -0,83.
В	точке	х = 1 + л[2	функция	имеет	минимум	= _у + л/2 j =

=2л/2 + 2«4,83.

5.Находим

„Гх2 - 2 x - l Y (2х-2)(х-1)2 - 2 ( х - 1)(х2 - 2 х - 1 )

JV	(х-1) 2	У	(х-1)4
			(х - 1)(2х2 - 4х + 2 - 2х2 + 4х + 2)			4
			(х-1)4			(х-1)3 '
	Определяем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции из
неравенств у" > 0, у" < 0, Vx е D(y). Имеем у" > 0						при хе(1;+со), / ' < 0
при	х е ( - о о ;	1). Следовательно, кривая		выпукла	на	(-оо; 1) и вогнута на
(1; + оо). Так		как	х = 1 не принадлежит	области	определения функции и
у" ^0, Vx е D{y),			то точек перегиба нет.

Результаты исследования функции у = /(х) заносим в таблицу.

X	( - o o ; l - V 2 )	1 - V 2	(1 —s/2; 1)	1	(1;1 + V 2 )	1 + V2	(l + V2;+oo)
у'	+	0	—	не	—	0	+
				сущ.	+	+	+
	—	—	—	не	+	+	+
		-0,83		сущ.		4,83	/
у		-0,83	\	не	\	4,83	/
		max		сущ.		min

6. Исходя из результатов таблицы строим график данной функции.

у = х +

Задание 4. Вычислить пределы функций, не пользуясь

правилом

Лопиталя-Бернулл

и.

Зх(х -1)

б) lim

l-cos5x

(

7V0*

4.1. a) lim 4(*2-1)

; — ,

в) lim

1 + -

х^О

$xz

х^соV

х )

(х + 1)2

б) lim

Co°S210x

в) lim(10 -

3 x f .

4.2. a) lim Ъх

+10х - 8

^о

8х

c\2x+4

4.3. a) lim(Vх2 +4х

-^jx2

-4х),

б) lim t g 2 *

в )

4x + 5 Л

н т

\4x-Sj

cos

v ^ /

6) lim

- \ f x

в) lim(l + 2x)4x .

4.4. a) lim

1-Vx

4 - 4x

x->0

Qc-3)3

Vx + 1 6 - 4

^2x + 3Vx+5

4.5. a) lim

8x3

+ x - 8

6) lim

sin 3x

в) limЛ 2 х - 4 у

		8х2	(х- 2)		arctglOx					4_
	ч г	8х2	(х- 2)	б) lim	arctglOx	в)	lim(l-5x)7х
4.6. a) lim		Зх£ - 1 2 -		б) lim
Лп	м-	-*3	"8	_	smx	в) lim 2х • (ln(3 + х) - In х).
4.7. a) lim-г				б) lim	•?•>	в) lim 2х • (ln(3 + х) - In х).
					1 _ х
л о	. г	5х3 -Зх2 + 7х		б) l i	m - ^ 2	— в )	н т
4.8. a) lim				б) l i	m - ^ 2	— в )	н т
	х-^0		х	х->2 х — 4			>со
	х-^0		х	х->2 х — 4			v 6х - 1
		2х2 + Зх - 9		_ ..	Зх2 - 4 х		/	2х	т	\6х
		2х2 + Зх - 9		_ ..	Зх2 - 4 х			2х		+4^
4.9. a) limз			х + 3	б) lim	sin7x	в) lim v 2x				-1 j

4.10. a) Hm	2х
*->о	2х
4.11. a) lim 'У	; 5JC^—
	(х + 2)

4.12. a) lim Vx + 1 2 - 4

2 х - 8

4.13. a) l i m * , " 3 * " 1 0 ,

4.14. a) lim	9} ,
-3x	(x + 3)

б) lim		sin5x
	х		+ 2/гх
1			sin Зх
, б) l i m - ^ —				— ,
JE->0		5x(l-cos8x)
б) lim		^j-q sin 10 х
		,	—	,

б) l i m - ^ L 5 ^ ,

6) limC °s 3 x c ° s x	;	в )
l - cos2x

в) lim v x

2 j

—2 в) lim(cos2x)4x .

х->0

в) lim(l - sin 5хУ

в) lim(l-Wg2x)'

li Зх • (ln(5 + 2x) - ln(2x)). x—m»-к»

4.15. a) lim(Vx 2 +9 - Vx 2 ^9),							6) lim V 4 + x - 2		в) lim(cos6x)5jc .
								x~>° arcsin8x	x->0
4.16. a) lim x -			27		6) lim				в) lim ln(l + 6x)
		x - 8 1				*->2 Vx + 2 - 2			*->° 2x
„	ч	Зх4	- 5x 3	+12x2	_	v	l - cos2x		в) lim(l + tg4x)"
4.17. a) lim			—		, 6) lim-			3x•tg8x	в) lim(l + tg4x)"
			4x			x - > 0		3x•tg8x	x->0

4.18. a) lim		7 x - 3 x + 5		6) lim cos4x-cos 4х		,
		2хг	+ 6		5x • tg3x
.	1ГЧ .	л/9 + х	- 3	6)	cos2x-cos4x
4.19. a) lim				6)	l i m — —
					vl - cos6x
4.20. a) lim		Зх -17x + 10		6)	lim 1-Vcos8x
		х - 5			x-*° 2x-sin5x
4.21. a) lim		2--\/x		6)	л/9 + х - З
4.21. a) lim		4		6)	lim—
		4			sin7t(x + 4)
4.22. a) l i m ( * t 2 ) 3				6)	lim sin3x ,
		3x + 8			x•e
л	4 1-	yjx-1 - 2		6) l i m ^ - ^
4.23. a) lim- x - 5				6) l i m ^ - ^
4.23. a) lim- x - 5					x-*0 tg7x

в) lim	f	j\4x
в) lim	1	- -
	v	x J
ч ..	„	7i	,	чт-2
в) lim(l + tg			4x)3*

в) lim ' x + 3л v x - 3 y

^ 'J -v-41-cos2x в) lim(l + sin 3x)

в) lim ln(l - 8x)

в) lim—• InVT+2x *->o 3x

f		тт\
sm	x	к

4.24. a) lim(vx2

+ 3 -л/х2 ~з),

6) lim

в) lim(cos4x)3;c .

X-+CO

1 - V 2 cosx

x-»0

4.25. a) lim

2x3 - 5x + 6

6) lim

arcsin3x

в) lim

' 3x

x + 3x

- 8

arcsin5x

- 8

4.26. а)

^ 7

- 4

Jx_

6) lim

1 - х 2

в) lim(3x -

2)х '4

l-cos5x

1 - х

4.27. a)

lim (six2

+ x + 1 - \Jx2

cosx - smx

ln(l + 2x)

x), 6) lim

в) lim—

- .

x-»4-

cos2x

4.28. a)

lim

- x 5 X 2 - 4

6) lim sin3x

в) lim / 5x1

Ж-++О0V x - 3

x — 1

sin 2x

v 5x

- 2 j

л/l + 3x - yjlx + 6

g 6 x

4.29. a) lim

=_ 5x

6) lim

Vl-cos4x

в) lim(2x - 5)*" .

4.30. a) lim

6x - 2x + 7

- , 6 ) limx • tg3x • ctg22x, в) lim (2x + 3)(ln(x + 2) - In x).

2 — 5x + 3x

хё~

б) у = - 1п5х

Задание 5. Найти производные	—.
	dx	1
			JC	" V
5.1. а) .у = lncos(4x + 5), 6)>> = sinx2	-esm4	—
		, в) у = (arcsinx),	г) уъ =	—
			х + у

5.2. а) у = arccos2х,

5.3. а) у = 1п(е~х +х-ех),	'
V

,	в)	у = (arccos2х fx, г)	—
			lnx + е х = 2.
arctg —
б) у = -	£	в) у = (tg3x)ctgI,	г) lny + - = l.
1 + X			у

5.4. а) .у = arcsin	2 X	б) у--	1 1 л	I е		/	2 \arcct8;t:
5.4. а) .у = arcsin	—,	б) у--		—	х	, в)_у = (1 + х		'	)	, г) tgx = x-jy,
	2		arccos		х	v		'
5.5. a) .Y = arctge2*,		=	+ S M 5	*	,	B)J; = (sinlOjc)h \
			х-е
г)л/л:2 +уг = 2arctg—.

	^2	.	+ i
5.6. а) у = lnlnx, б) у = -х—			г-, в) у = (arcsin5x)2 , г) cos2(x + y) = x-v
	sin (1-х)
5.7. a)y = In Д — ,	б)		smlOx . ,		в) >> = (1п10х)^,
V I - х			cos (sin 5х)
г) 1 + х = —ln(2jy + x).
5.8. a) y =		б) у = a r c c o s ^ 2		2	; в ) arctg^ = ln(x2		+	/ ) ,
			/ g j		х	v		'

Г) y = ( x 2 - \ f .

5.9. а) у = cos	\| V'x	6) y = ln	i		I	\
	1 + Vx			sin2x +vl + cos2x 1,
			V			>

r) y = x + arcctg—.

C8ct —

в) у = (sin2x) 2,

5.10. а) у = arctg(e2* + l)2, 6)>> = - — в ) У ~ (arcsin5x)*, г ) x = y + exy

5.11. а) y = ln

—

^2л:

у в

)

= (2х)

, г) 1пу + - = х + ;у

arctg-,

б)у

= --,~-2

log2(3x

+ 1J

) • cos Зх

5.12. а) у = arctg In ( 1 - х ) ,

б) у = ±

arccosox

в) y = (e2x + x f ,

г) arcsin л/х н—-— =

у2.

х + у

InX

5.13. а) у = 3 sinjc, б =

5.14. a) y = arccos—-—,

1 + x

cts X		/ ? \cos х				X
Vx + Vx	в ) у = (1пх2)		, г) arcsmx•;; + - = х
Vx + Vx
	lnx		arcctgr	г) ^	2	_
б) .у = 3_sin2*,		в) ,y = (l + x2)		г) ^		= x • e *.

5.15. a)y = 4C0S *,	6)y =	C O S 5 J l - t g 2		X	,	.	1
			*2x-l 5			в) }> = (sinlOjc)b*,
r) sin(x + y) -	2x • у = 0.

5.16. а) у = (arcsin(8x + 3))	,	б)у=		r ,
				X - V X
r) x l n y - y l n x = 8.
5.17. a) _y = ln(x2 +f),		6) y =	1 + sin2	x
5.17. a) _y = ln(x2 +f),		6) y =	cosx
			cosx
r) sin(x + 2y) + 2x-3y		= 0.
			1-х
5.18. a)_y = \ / l - x 2 • ctg3x,		б) у = 21+*,
г)(х + ^ ) 2 + ( х - З у ) 3	=0 .

в)у = (2х)arcsin2(x-3)

в) у = (arctg2x)3*,

в ) > Ц х 2 + 3 ) ,

5.19. a) y = In л/х2 +10,	б)y = arccosx
	7 Г 7 '
r)x • sin jy - jy • cosx = 0.
5.20. a )y = e*3 -cos\ll + x2,	6)>> = arccos	2x
	1 + x

f ^ ^arccos7x

+ Xy

в)y = (arctg2x)sm3x,

5.21. а)у = JI-^-	• tg(2x +1),	б)у = 10™2*,	в)у = (1 + х)*,
г) cos(xy) =	x - > \

5.22. a)>» = cos 5x-e~*2 ,	б)у=	j sin 2x ,
5.23. a) y = 3x + sin25x,	6 ) ^ =	1 + xarctgx
		vr + x

в).у = (х)е , г)xey + yex = х-у.

/. \cos5JC

в) у	1 + -	, r) tgy = x + 3j .
V	X J

5.24. а) у ^lncosve*2 - 2 ,		б) .y	3*	в) y = (ctg2x)^x,
5.24. а) у ^lncosve*2 - 2 ,		б) .y	sin2x	в) y = (ctg2x)^x,
			sin2x
r)	= cos2(x + y).

5.15.&) У = *Ш*>

5.26. a ) y = ecos*,

= tg	lOx	в) tgx-tgy = x- у,			1-fл
					r) _y = (arctgx)
6) y = sin2	x - 2tgx	,	B	=f sin. —x v	, r) ytgx = \ + xe}
l + cos4x			) ^V

5.27. а)у = arcsin^l - 3x ,	6)3/ = —	в	)	y	= (x + x'
	cos x - c o s		x		v

r)x2 +y2 +7xy = 0.

5.28. a) j/ = coslnx + sinlnx,

г) у = (2x)!n*.
/	t л
5.29. a)y = sin V	1
5.29. a)y = sin V	xj
1 + -

r)tg(x + y ) - x - y = 0.

6 ) y =—a^~csm	x	, в) exsiny-e	y cosx = 0,
cos3 x + sin2	x

б) у = arctg l - 2 x	B)j; = (ctgl0x)'g2x,
l + 2x

5.30. a) y =	,	I	g x	г) X • у + е*+>1 = х3
5.30. a) y =	б) У = 2lnjc,	в) у = (cos5x)e	,	г) X • у + е*+>1 = х3

Задание 6. Найти производные второго порядка у"хх для параметрической функции.

6.1.<X : sin1t у = cos t.

6.5.sin/

y= ctgt.

6.2.x = lnsin/,

у = ecost.

6.6. x = e' +1, y = e\

f* = 3/-cosf,	6.4.	x = e2 M ,
' '1y = 3/-sin/.	6.4.
' '1y = 3/-sin/.

6.7. x = e ,	6.8. x — t ,
y = JT~-t2.	y=e-t2.

	x = arctg/,		1 • .		2 - /
					X = •
6.9.	1 2	6.10.	x — t л—sin 2/,	6.11.	2 + /2 '
			2		/2
	y = —t.		= cos31.
	2				2 + /2 •

	ix = e2',	6.14J	x = arcctg/,	6.15.	x = In 10/,
6.13.^			,		y = t3 + 2.
	[y = In 5/.	\|.y = 5(l + /2).

fx = arcsin/,

6.12.

VT • / 2 .

6.16.x = tg/,

у = cos2/.

	X " ^ у		/
6.17.		6.18.	x = cos—,
	у = arcsin t.		2
			.y = /-sin/.

x = arcsin[t2	-l),
6.19.

у = arccos (2/).

1 • .

6.20. x — t —sin 2/, 2

y = cos2/.

6.23.x = 2cos2 2/, ^ = 3sin2 2/.

x = arcsin 2/,

6.26.
y =	Jl-4t\

6.21. X =t2-3t 1 + 2'

У = / - 5 / + 4

6.24. x = 2/ - sin 2t, у = sin3/.

x = ln/,

6.27.	1
У-	1 - /

6.22.x = In tg/, V = ctg/.

6.25.x = ln(l + /2),

6.28.x = arcsin (t2 - l ) , у - arc cos 2/.

6.29. — Л	6.30.
у = arctg (2/ +1).	L = 2arctg/.

Задание 7. Исследовать функцию у = / ( х ) и построить ее график.

7Л.у	= хгЛпх.	7.2.у	= - + 4х2.	7.3. у =		^ - у .	7А.у	= х1-е~*х,
			*		(1 +	; Ч
	Z - A ,	7.6.;; = — .		7.7. у = 4е~х2+8х.			7.8.у	= х + -^—
	х		х+1					х+2
7.9	=	7Ао.у	= ^ ~ .	7.11. у-	2Х 2	. 7.12. у = х2 -21пх.
	х		х + 2	х	- 4х + 5

7.13. у = ~4— • 7.14. ,у = 1п(4-х2 ). 7.15. у = (2 + х2)е~

X 1

l.\6.y=x2-lx:1.		х + 2		7.17.у = - ~ — .
		х + 2			Щх2-\
_ , _	х + Зх + 2			_ __	х — 1
7.19. у-		х	=	. 7.20. у = —х		.
		х			х +4

7.18. у =

х-3

„ Л1 зЛ з~

7.21. у = Щ - х .

7.22. у =		7.23. у = х + 1п(х2				+4).
1 - х					v	'
х - 2		7.26.^ = 4		^ .
х - 2			х - х - 2
7.28. ^ = 1п(9-х2 ).		7.29. =		2	.
7.28. ^ = 1п(9-х2 ).		7.29. =	2 - х		.
v	'		2 - х

7.24.у = х-е

7.27. , = е

7.30. у = х—=-.

Тема 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1. Понятие функции нескольких переменных. Область определения. Частное и полное приращение.

2.Предел функции нескольких переменных. Непрерывность.

3.Частные производные функции нескольких переменных. Геометриический смысл частных производных функции нескольких переменных.

4.Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных.

5.Дифференцирование сложной функции и неявно заданной функции. Полный дифференциал.

6.Производная по направлению. Градиент функции нескольких переменных. Свойства градиента.

7.Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула

Тейлора.

8.Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и доста-

точные условия существования экстремума.

9. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа.

10. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных

вобласти.

4.1.Понятие функции нескольких переменных и ее предела

Пусть D - множество точек Х(хх, х2,..., хт) пространства Ет. Если каждой точке X по определенному закону / ставится в соответствие некоторое число z, то говорят, что на множестве D определена функция т переменных z = /(х,, х2,..., хп); z = f ( x ) .

При этом хр х2, ..., хт называются независимыми переменными

или аргументами.

Множество D точек X , для которых существует z, называют областью определения функции и обозначают D ( f ) , а множество значений


z обозначают		£ ( / ) .
z = /(х, у) - функция двух переменных.
Пусть функция				z = /(х15 х2,..., хт) определена на множестве D .
Число		Ъ	называют		пределом функции z = / (X)			в	точке
А(а:, а2,	..., ат),		если для		любого	числа	е > 0 существует такое		число
8(e) > 0,	что	для		всех	точек	X е D,	удовлетворяющих	условию

О < р(Х, А) < 8, выполняется неравенство | / ( X ) - b\ < с.

Обозначение:
Ит/(Х) = Ьитт lim		/(х,,	х2, ...,xm) = b.
	х2 ->я2
Частным	приращением	по	переменной хк (к = 1, т) функции
z = f(xx,x2,..., хт)	в точке XeD	называется разность

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]