Методические указания и задания к контрольной работе №1 по высшей математике

2^2

Х3 +

—1?

2.2.

3^2

" Х3 ~f~

— 5}

3xj Х2л^з —

Xj Зх>

« х < з — lj

произведению длин этих векторов на косинус угла (р между ними:

а-Ь- а

• coscp

Если векторы а и b заданы своими координатами а = {ах, ау, azJ,

b = (bx,by,bz), то a-b = ax-bx +

ay-by+az-bz.

Угол ф между векторами а и b определяется по формуле

а-Ь

ax-bx + ay-by + az-bz

(2.1)

COS ф

а

ax+a2y + a2z-Jb2x+b2y+b2z

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор,

обозначаемый символом a, b

и удовлетворяющий следующим условиям:

а) а, Ъ а

p|-sin(p,

б) a, b

-La, b,

в) векторы a,b,^a,b

образуют правую тройку векторов.

Модуль векторного произведения

а,

равен площади S параллело-

грамма, построенного на векторах а и Ь:

S - Га,

.

(2.2)

В координатной форме векторное произведение

a, b

находится

по

формуле

i

j

к

az

i - ах

а2 (

ах

a, b

а а а

2

ау

к.

X

у

К

J' +

К

by

К

Ъу

Ъ> К

bz

Ъ2

Смешанным произведением трех векторов a, b, с называется число,

равное скалярному произведению вектора

a, b

на вектор

с. Обозначается

смешанное произведение

а-Ь-с.

В векторной форме смешанное произведение

а, Ь, с

находят

по

формуле

ах

а у

я.

а-Ь-с = К

К

ь2

сх

Су

сг

Модуль смешанного произведения а-Ь-с

равен

объему

V

параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с:

V = а-Ь-с

(2.3)

A{x-x0) + B(y-y(j) + C{z-z0) = 0 или Ax + By + Cz + D = О,

(2.4)

преобразовать к виду

-

+ £

+ -

= 1,

(2-5)

a

b

с

D

,

D

D

где а = - — ,

b =

с--—

-

величины отрезков, отсекаемых на коорди-

Уравнение плоскости, проходящей

через три заданные точки

Мх(хх, ух, zx), М2(х2, у2,

z2), М3(х3,

у3, z3), имеет вид

х - х 1

у-Ух

z - z x

Х2 ~ Х\ У2 У\ Z2 ~~ Z1= 0 .

(2.6)

х3 — хг у3 - ух

z3 — zx

Направляющим вектором прямой

называется вектор, лежащий на

прямой или параллельный ей.

Пусть s=(m,n,p)

- направляющий вектор прямой, точка M0(x0, у0, z0)

Пусть даны две

точки

Mx(xx,yx,zx)

и М2(х2, у2, z2), лежащие на

прямой.

Уравнения вида

х-х^ _ у-ух

_ z-zx

(2-8)

Х2

У2

У\

Z2

Z\

Угол ф между прямой

х — X

v — v

z — Z

и плоскостью

т

= -—— =

р

-

п

Sincp :

|Am + Bn + Cp\

(2.9)

+ C2

•sjm2+n2

+ p:

slA2+B2

Пример 2.1. Даны координаты вершин пирамиды АХ(3;

4; 5), А2(-2;

6; 1),

А3 (-3;-4;0), ДД5;-2;-1). Требуется

найти: а) длину

ребра АХА2;

б) угол

между ребрами АХА2

и АХАА;

в) площадь грани АХА2А3;

г) объем пирамиды;

д) уравнение прямой

АХА4;

е) уравнение плоскости

АХА2А3;

ж) угол между

ребром АХА4

И гранью АХА2А3;

и) уравнение высоты, опущенной из вершины

А4 на грань

АХА2А3.

Решение, а) Длину ребра АХА2

определяем по формуле

АХА2 - ФС2 +У2 +z2

,

где

АХА2 = (х; у; z),

х = х2~хх,

у = у2-ух,

z = z2-zx.

В

нашем

случае

Д Л

2

= ^(-5)

2

+ 2

2

+(-4)

2

= л/25 + 4 + 16 = л/45 = Зл/5 .

= (-5; 2 ; - 4 ) . Тогда А^4

б) Угол между ребрами

АХА2

и АХА4 находим как угол между векторами

.

.

/Г/Г • А А

-

АХА2

И АХАА

по формуле (2.1): cos(p = -mL_i А Л

. Имеем АХА2=(-5;

2; - 4),

АХА2

• АУ Д

находим АХА4 = (2; - 6; - 6).

Тогда

-5-2+ 2-(-6) +(-4)-(-6)

-10-12 + 24

COSCp :

3^5 • J21 + (-б)2 + ( -6 )2

3V5-V4 + 36 + 36

Зл/5-л/Тб

Зл/95'

в) Площадь грани АХА2А3

вычисляем

как

площадь

треугольника,

построенного на векторах

АХАГ,

А,А3 (формула (2.2)):

1 АХА2,

АХА}

Имеем АХА2

= (-5; 2; -

4), АХА3

= (-6; - 8; -

5),

I

J

к

АХА2, А,А3

- 5

2

- 6

- 8

2

- 4

t

- 5 - 4 .

- 5

2

- 8

- 5

• i - - 6

- 5 •7 + - 6

- 8

• к = -42/ - j

+ 52к.

5 = 1^(-42)2 +(-1)2 +522

= -V4469 ед2.

2

2

г) Объем пирамиды найдем по формуле (2.3): V = —6 АХА2

• АХА3

• АХА4

- 5

2

-4

И м е е м А Х А Г

• АХА3 • АХА4

=-6

- 8

- 5 = -390.

2 - 6 - 6

Отсюда F = -|-390| = 65

(ед3).

6

д) Уравнения прямой ЛХЛ4 найдем по формуле (2.8):

х - 3

-

у-4

-

z-5

или

х-3

у-4

-

z-5

5 - 3

- 2 - 4

- 1 - 5

- 6

е) Уравнение плоскости АХА2А3

определяем по формуле (2.6):

х-3

у—4

z-5

х - 3

у-4

z-5

- 2 - 3

6 - 4

1 - 5 = 0

или

-5

2

- 4

=

0 ,

- 3 - 3 - 4 - 4 0 - 5

- 6

- 8

- 5

Отсюда

2

- 4

• ( х - 3 ) -

-5 - 4

•(у-4)

+ - 5

2

(z-5)

= 0,

- 8

- 5

-6 - 5

- 6

- 8

-42(х - 3) - (у - 4) + 52(z - 5) = 0,

- 42х + 1 2 6 - y + 4 + 52z-260

= 0,

42х + у-

52z + 130 = 0.

ж) Угол между ребром

АХА4

и гранью

АХА2А3

находим как угол между

прямой АХА4

И плоскостью

АХА2А3

ПО

формуле (2.9). В

нашем случае

s = А Х = (2;-6;-6),

п = (42;1;-52). Тогда

БШф^

|42• 2 +1 • (-6) + (-52)• (-б)|

_ |84 - 6 + 312|

390

22 +(-6)

+ (-б)2 ^422 +12 + (-52)2

V76-V4469

2Vl9-л/4469'

и) Уравнение высоты, опущенной из

вершины

А4

на

грань АХА2А3,

определяем как уравнение прямой, проходящей

через ДД5;-2;-1)

перпендикулярно

плоскости

АХА2А3.

Уравнение

плоскости

АХА2А3:

42jc + _y — 52г +130 = 0.

Тогда

имеем

s = (42; 1; - 52) .

По

формуле

(2.7)

получаем х-5

= у + 2

=

z+1 .

42

1

-52

Задание 3.

Даны

координаты Д(х15 ух, z,), А2(х2,

у2, z2),

А3(х3, у3, z3),

А4(х4, у4, z4) вершин пирамиды. Найти:

1) длину ребра

АХА2; 2) угол

между

ребрами ДД,

и

Д Д ;

V

угол между ребром Д Д и гранью Д Д Д /

4) пло-

щадь грани

ДДД

/ 5) объем пирамиды;

6) уравнение высоты, опущенной из

вершины Д

на грань

Д Д Д ;

7) уравнение

плоскости

а,

проходящей через

высоту пирамиды, опущенную

из вершины

Д на грань

Д Д Д

и вершину

Д

пирамиды; 8) расстояние

от вершины

Д до плоскости

а.

3.1. 4(7;

1; 2), Д ( - 5 ;

3; - 2),

Д(3;

3; 5), Д(4; 5; -1).

3.4.

Д (4; - 3; - 2 ) , Д(2; 2; 3), Д ( 2 ; - 2 ; - 3 ) ,

Д ( - 1 ; - 2 ; 3 ) .

3.5.

Д(5; 1; 0), Д(7; 0; 1), Д(2; 1; 4), Д(5;

5; 3).

3.25. 4 ( 7 ;

0; 3), АГ(9;

4; 3), А3(4;

5; 0), А4(-2;

0; - 4 ) .

3.26. 4(0; 0;

2), 4 ( 9 ;

3; 1), 4 ( 5 ;

7; 2), 4

( 3 ;

6; 1).

3.27. 4(1;

- 3

; 1), А2( 1;

6; 0), А3(4;

2; 0),

А4( 1; 2; 0).

4.

Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация.

5.

Понятие производной, ее геометрический смысл.

6. Производная

суммы, произведения, частного.

7.

Дифференциал и его геометрический смысл.

8.

Производная

функции, заданной неявно и параметрически.

9.

Производные и дифференциалы высших порядков.

10.

Возрастание

и убывание графика функции. Экстремум.

11.

Выпуклость

и вогнутость функции. Точки перегиба.

Число А

называют пределом

функции

у = /(х) при

х —> а (или в

точке а), если для любого числа в > 0 существует такое число

5(e) > 0, что

при всех х,

удовлетворяющих

условию

0 < |х - а\ < 5,

выполняется

неравенство |/(х) - А\ < в .

Обозначают предел lim f ( x ) =

А.

x—>a

x~+a

x—>a

\