Методические указания и задания к контрольной работе №1 по высшей математике

Министерство образования Республики Беларусь

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Высшая математика № 2»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 1 ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

для студентов заочного отделения экономических специальностей

М и н с к 2 0 0 8

УДК -ББКТШ*ГТ-

М 54

Составитель Л.Д. Матвеева

Рецензенты:

В.В. Карпук, Н.А. Шавель

Настоящее издание включает в себя программы и контрольные задания по темам «Элементы линейной алгебры», «Векторная алгебра и аналитическая геометрия», «Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной» и «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных».

Каждое задание состоит из 30 контрольных вариантов. Все темы содержат основные теоретические сведения и примеры решения типовых задач.

Издание содержит список экзаменационных вопросов и рекомендуемой литературы.

Методические указания предназначены для студентов экономических специальностей заочного отделения БНТУ. Они могут быть также полезны преподавателям, ведущим практические занятия по данному курсу.

© БНТУ, 2008

Тема 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. Матрицы. Сложение матриц; умножение матрицы на число; произведение матриц. Обратная матрица.

2.Определители п-го порядка и их свойства. Методы вычисления определителей.

3.Обратная матрица.

4.Ранг матрицы.

5. Решение невырожденных систем линейных уравнений.

6. Теорема Кронекера - Капелли. Решение произвольных линейных систем.

1.1. Решение невырожденных систем линейных уравнений

Пусть задана система линейных уравнений

где atj, fyeR - заданные числа, Xj - неизвестные, 1 < i < т, 1 < j <п.

Решением системы (1.1) называется такое множество значений неизвестных хх - с,, х2=с2, ..., хп=сп, при которых каждое уравнение обращается в тождество.

Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а система, не имеющая решений - несовместной.

Матрицы

называются матрицей системы и расширенной матрицей системы соответственно.

Рассмотрим случай, когда число уравнений т системы совпадает с числом неизвестных п(т = п). Тогда матрица системы А является квадратной матрицей порядка п.

Система п уравнений с п неизвестными называется невырожденной, если определитель матрицы системы А отличен от нуля (det А^О ).

3

Невырожденная система имеет единственное решение. Существует два

4

Пример 1.1. Проверить невырожденность системы линейных уравне-

+ 4х3 = 7,

НИИ <

= 11, и решить ее: а) по формулам Крамера; б) матричным

рожденность системы. Для этого вычисляем определитель А матрицы А:

Так как А * 0, то система невырождена. Решаем ее

а) по формулам Крамера.

Вычисляем определители:

По формулам (1.2) находим решение системы:

Делаем проверку: 3 - 1 - 4 - 2 + 4-3 = 7; 5-1-3-2 + 4-3 = 11; 1 - 2 - 2 + 2-3 = 3.

б) матричным методом.

Находим обратную матрицу

det А

где Ас - союзная матрица, составленная из алгебраических дополнений Ац элементов ау матрицы Л.

5

Тогда получаем

По формуле (1.4) находим решение:

Ответ: х, = 1, х2 = 2, х3 - 3

1.2. Решение произвольных систем линейных уравнений

Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений (1.1). Элементарными преобразованиями матрицы называются:

а) перестановка местами любых двух строк; б) умножение строки на некоторое число а ^ О;

в) прибавление к одной строке матрицы любой другой строки, умноженной на некоторое число;

г) удаление нулевой строки.

Решение системы методом Жордана-Гаусса основано на следующем утверждении: элементарные преобразования расширенной матрицы системы не изменяют множества решений системы.

Суть метода заключается в том, чтобы при помощи элементарных преобразований привести расширенную матрицу к наиболее простому виду.

С помощью операции в) можно исключить какое-либо неизвестное из всех уравнений, кроме одного.

6

Матрица системы с помощью элементарных преобразований приводится к так называемому базисному виду, если в каждом уравнении системы есть базисная переменная.

Если матрица системы приведена к базисному виду, то переменные, не являющиеся базисными, называются свободными.

Решение системы, полученное после приравнивания нулю всех свободных переменных, называется базисным.

Опишем одну итерацию метода Жордана-Гаусса.

В первой строке расширенной матрицы находим ненулевой элемент aXj Ф 0. Если таковых нет, то в случае Ъх - О вычеркиваем данную нулевую

строку; если ЬХФ 0, то система несовместна. Элемент aXj называют ведущим элементом.

Если aXj Ф1, то делим первую строку расширенной матрицы на этот элемент aXj. Ко всем строкам, кроме первой, прибавляем первую строку, умноженную на (-aiJ), где i - номер изменяемой строки.

После этой операции коэффициент при х. в первом уравнении будет

равен единице, а во всех остальных уравнениях - нулю. Следовательно, переменная Xj станет базисной.

Описанную итерацию проводим для остальных строк расширенной матрицы, пока не получим т базисных неизвестных ( в каждом уравнении - по одной базисной переменной).

После этого находим общее решение и базисное (приравнивая свободные неизвестные нулю).

Пример 1.2. Решить систему линейных уравнений

Эх, +1 Зх2 +1 Зх3 + 5х4 = 3,

Зхх + 7Х2 + 7х3 + 2Х4 = 12

методом Жордана-Гаусса. Найти общее и базисное решения.

Решение. Вычисления будем производить в таблице. В исходной части таблицы записываем расширенную матрицу системы.

7

В первой строке выберем элемент а п = 1 ведущим. Выделим ведущий элемент рамкой. Изменяем вторую, третью и четвертую строки: ко второй строке по элементам прибавляем первую строку, умноженную на (-3), к третьей - первую строку, умноженную на (-1), и к четвертой - первую строку, умноженную на (-3). В результате получим таблицу, в которой переменная хх стала базисной.

Выбираем элемент а42 = 1 ведущим. С помощью элементарных преобразований получаем таблицу, в которой переменная х2 стала базисной.

8

Удаляем вторую нулевую строку, получаем таблицу

Поскольку каждое уравнение теперь содержит по одной базисной переменной, то оставшаяся небазисная переменная х3 является свободной.

Полагаем х3 = с. Из последней строки таблицы получаем х2 = 2.

Задание 1. Проверить невырожденность системы линейных уравнений и решить ее: а) по формулам Крамера; б) матричным методом.