Методические указания и задания к контрольной работе №1 по высшей математике для студентов заочного отделения ФТУГ экономических специальностей
.pdf
|
X, |
+ |
Х2 |
+ |
Хз |
+ |
^4 |
= |
10; |
X, |
- |
4х, |
- |
5x3 |
+ |
6х, |
|
0; |
|
2х, |
- |
Х2 |
+ |
2Xj |
- |
X, |
= |
2; |
Зх, |
- |
2Xj |
+ |
Хз |
- |
4х, |
= |
0; |
2.23. < |
+ |
2хз |
+ |
Х3 |
— Зх, |
= |
-2; |
2.24. |
— Зх, |
— 2хз |
+ |
X, |
|
0; |
||||
|
Зх, |
2х, |
|
|||||||||||||||
|
2х, |
+ |
4xj |
|
|
- |
X, |
= |
6. |
4х, |
- |
Xj |
+ |
4хз |
- |
9х, |
= |
0. |
' X, |
+ |
Х2 |
+ |
Х3 |
+ |
X, |
= |
2; |
' X, |
+ |
2х, |
— Зхз |
+ |
X, |
= |
1; |
||
|
X, |
— |
Х2 |
+ |
Х3 |
— |
X, |
— |
14; |
2х, |
__ |
X, |
+ |
Хз |
+ |
2х, |
|
2; |
2.25. < |
+ |
2X2 |
+ |
Зхз |
— |
5х, |
= |
- 4; |
2.26. |
+ |
Зх, |
— 5Хз |
+ |
2х, |
= |
4; |
||
|
X, |
4х, |
||||||||||||||||
2х, |
+ |
|
- |
Х з |
- |
2х, |
= |
- 7. |
7х, |
+ |
4хз |
- |
7хз |
+ |
5х, = 7. |
|||
' |
X, |
+ |
Х2 |
+ |
ЗХз |
- |
2х, |
|
6; |
' X, |
— |
х. |
+ |
2хз |
+ |
2х, |
|
2; |
-X, |
+ |
2х, |
+ |
Зх, |
+ |
5х, |
_ |
3; |
Зх, |
_ |
2х, |
__ |
X, |
_ |
X, |
_ |
-1; |
|
2.27. < |
1 |
|
L |
|
А |
+ |
4 |
= |
- 3; |
2.28. ■ |
— 3xj |
— |
3 |
- |
4 |
= |
- 4; |
|
|
2х, 4- 3X2 — |
Х з |
X, |
5х, |
4хз |
2х, |
||||||||||||
|
Зх, |
|
^2 |
+ |
2хз |
+ |
4х, |
= |
8. |
7х, |
- |
4X2 |
- |
7хз |
- |
5х, |
= |
- 7. |
|
|
• |
2x2 |
+ |
Х з |
- |
X, |
= |
1; |
|
+ |
ЗХ2 |
+ |
2Хз |
— |
X, = - 4; |
||
2Х| |
+ |
Зх, |
__ |
X, |
+ |
X, |
— |
2; |
X, |
_ |
X, |
+ |
X, |
__ |
2х, |
— |
- 3; |
|
2.29. < |
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2.30. < 1 |
|
|
|
4 |
|
|||
Зх, |
+ |
5x2 |
|
|
|
|
|
3; |
+ |
2 |
— |
3 |
+ |
- |
5; |
|||
|
|
|
|
|
|
2х, |
Х 2 |
Х з |
X, |
|||||||||
|
|
+ |
Х 2 |
|
2хз |
+ |
2х, |
= |
1. |
|
- |
Х 2 |
+ |
Хз |
- |
2х, |
|
- 3. |
Задание 3. Вершины треугольной пирамиды находятся |
в точках |
/1,, А ^ , |
А ^ . |
Найти, |
||
используя векторы (а, Ь) : а) косинус угла |
между ребрами |
А ^ А ^ , А^ А |
б) |
длину |
высоты, |
|
опущенной из вершины Л^ на грань А ^ А ^ А ^ |
в) уравнение ребра A ^ A ^ ; |
г) уравнение плоскости |
||||
А ^ А ^ А ^ ц ) |
уравнение высоты, опущенной из вершины ^ ^ на плоскость А^ А ^ А ^ ; е) угол между |
ребром А , А |
^ и плоскостью А ^ А ^ А ^ . |
3.1.^,(7; 2; 4), ^ ,( 7 ; - 1 ; - 2 ) , А,{3; 3; 1), ^Д -4;2;1).
3.2.^,(1;3;6), А,{2-2;\), Лз(-1;0;1), ^ Д - 4 ;6 ;-3 ).
3.3.^,(1;2;0), А,{3;0;-3), А , (5; 2; 6), А,(8;4;-9).
3.4. Л ,(5;1;-4), А,(1; 2;-1), ^ з(3 ;3 ;-4 ), А , (2; 2; 2).
3.5.^ ,(- 1 ;2 ;4 ), ^з(2;0;б), ^ Д -2 ;5 ;-1 ).
3.6.А,(6;1;4), Л ,(2 ;- 2 ;- 5 ) , ^з(7;1;3), ^ ,(1 ;-3 ;7 ).
3.7.Л,(1;2;6), ^ ,(0 ;3 ;8 ), ^ з(-5 ;-1 ;4 ), ^ Д - 3 ;2 ;- б ) .
3.8.А ,(1; 2; З), А,(3;3; 2), А , (2; 3; 1), А , (12; 0; О).
3.9. .4,(2;-3; 5), ^Д 0;2;1), ^ з (- 2 ;-2 ;3 ), А,(3;2;4).
3.10. .4,(1; 1; 1), .4^2; 0; 2), А, (2; 2; 2), А,(3;4;-3).
3.11. А,(3;1;4), А,(-1;6;1), А,(-1;1;б), .4,(0; 4;-1).
3.12. |
.4, (1; 4; 2), |
.4 3 (З; 1; 2), |
.4 3 (5; 2; 4), |
.4, (2; 3; 4). |
3.13. |
.4,(1;!; 5), |
.4з(2;5;1), |
А,(1;4;3), |
А,(5;3;2). |
3.14. |
.4,(1; 1;3), |
^з(3;5;4), |
А,(3;2;4), |
А,(0;4;1). |
3.15. |
.4,(4; 2; 5), |
А,(0;7;2), |
А,(0;2;5), .4,(1; 4; О). |
|
3.16. |
.4,(1;-!; 5), А,(4;4;-1), А,(-1;2;0), А,(5;1;5). |
|||
39
3.17.^,(9; 5; 5), ^ ,( - 3 ;7 ;l), ^з(5;7;8), Л ,(6;9;2).
3.18.Л,(1; 1;1), ^ ,(4 ; 4; 4), ^з(3;5;5), ^ ,(2 ; 4; 7).
3.19.Л,(0;0;1), А,{2-,3;5), А,{6-,2;3), А,{3;Т,2).
3.20.^,(1; 2;3), ^ ,(-2 ;4 ;1 ), Л з(7;6;3), ^ ,(4 ;- 3 ;- 1 ) .
3.21.v4,(0;0;0), А , {5; 2; О), А , {2-, 5; 0), ЛД1;2;4).
3.22.А,(2;4;3), А , (7; 6; З), А,{4;9;3), А,(3;6; 7).
3.23.^,(3 ;5 ;4 ), Л , (5; 8; З), Лз(1;9;9), ^ 4(6; 4; 8).
3.24.А , (3; 3; 9), А , (б; 9; 1), А , (1; 7; 3), А , (8; 5; 8).
3.25.^ , ( 6; 6; 2), .4,(5; 4; 7), А, (2; 4; 7), А,(7;3;0).
3.26.^ , (1; 2; 3), ^ , (9; 6; 4), А , (З; 0; 4), ^ 4 (5; 2; б).
3.27..4,(0; 0;0), .4,(3; 0; 5), .4з(1;1;0), А,(4;1;2).
3.28. Л,(3;1;4), J ,( - l ; 6 ; l ) , |
Лз(-1;1;б), |
.44(0; 4;-1). |
||||
3.29. .4,(0; 6; 4), |
.4,(3; 5; З), |
.4, (-2; 11;-5), А,(1;-1;4). |
||||
3.30. .4,(0; 0;0), А,(3;4;-1), А,(2;3;5), А,(6;0;-3). |
||||||
Задание 4. Вычислить пределы. |
|
|
||||
, . |
~ 6 х + 5 |
|
COS X - COS X |
|||
1. а) lim— ;------------ ; |
б) lim |
|
||||
.^5 2X'- 1 1 X + 5 |
х-^О |
|
||||
4.2. а) |
4х® - X + 5 |
б) |
sin x (l-x ) |
|||
lim |
Зх® +1 ’ |
lim----- |
||||
|
ДГ-^СО |
|
|
V ^ - i |
||
4.3. а) |
\/4х —3 —3 |
б) |
l - c o s 2x |
|||
lim |
х '- 9 |
lim |
xsm x |
|||
|
х->3 |
|
^-*■0 |
|||
4.4. а) |
Зх^ -1 4 х —5 |
6) |
lim - |
X |
||
lim |
- 7х +10 |
, |
||||
|
X |
|
sin X + tg5x |
|||
|
х^ - 2 7 |
|
tg2x -sin7x |
|||
4.5. а) lim - 7= ---- ; |
6) lim-S------ ;------; |
|||||
|
v 3x - X |
|
^-^0 |
3x' |
||
4.6. а) lim-^^^— |
|
6) |
2x^ -3 x |
|||
|
lim |
|
||||
|
1 -V ^ |
|
sm5x |
|||
|
4 х '- 5 х '+ 1 |
|
sm X —7T |
|||
|
6 ) |
iim |
|
|||
4.7. а) hm ------ г--------- |
|
|||||
|
|
X |
-1 |
|
- 1 - V2 cos X |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
e) |
lim |
x + 4 \ 3 x |
|
x + 8 |
|||
|
.X->00 |
||
|
|
\ 3 x + 2 |
|
в) |
lim ^ l+ — |
||
|
д:-->с |
2x / |
|
e) |
lim |
x + 3 \ -ДГ+5 |
|
|
X-^'OOU - 2 , |
||
в) |
lim ^ 2 x -3 |
||
|
|
,2x + 41^ |
|
X
в ) l i m ( 7 - 6 x ) ^ ^ ^ .
в) lim
U + 3y
7 4x
в) lim In
X -> o o |
у1 + 4x |
У |
|
|
4.8. а) |
lim |
|
(х + з / |
|
6) Ит l-c o s3 x |
|||
7 х " -5 х " + 4 х -1 |
|
|||||||
|
|
|
|
X- |
- ' ' 1- cos 4x |
|||
л а |
л |
г |
^ Х + 2 —2 |
6) |
lim |
arcsin 5x |
|
|
4.9. |
а) |
lim ------------- ; |
l x |
’ |
||||
|
|
--^2 |
х - 1 |
|
^x->0C |
|||
л ЛС\ |
\ |
у |
|
- З х - 1 0 |
6) |
lim |
1-c o sx |
|
4.10. |
а) |
lim — |
г----------: |
|
|
|||
|
|
|
х '- 1 2 5 |
|
^^0 cos 3 x -c o sx |
|||
4.11. a) |
lim(\Jx^ + 9 - \ j x ^ - 9 ); |
|
6) |
lim cos2x-cos^ |
||||
|
|
x-* xi \ |
/ |
|
|
x->0 |
3x' |
|
в) |
f 2 x 4 3 |
|
|
lim |
|
|
|
|
2x ^ -3 ) |
|
|
в ) |
lim (c o s3 x )5 x ^ . |
|
|
e) |
lim 2x(b(3 + x )-ln x ). |
||
|
X-^+co |
' |
' |
2x |
3JC |
|
в ) l i m ( 5 - 4 x ) 2 ^ . |
||
|
40
4.12. а) |
lim y f x ^ - 4 i |
||
|
|
|
7 2 л + 3 - 3 ’ |
. . . |
. . . |
x '- 8 1 |
|
4.13. |
a) |
hm-T------ ; |
|
4.14. a) |
lim 8 x '(x -2 ) |
||
|
|
^^2 |
3 x '- 1 2 |
. , |
. . . |
V 9 -X -3 |
|
4.15. |
a) |
lim -------------: |
|
|
|
^^0 |
arctg2x |
4.16. a) |
lim 7x^ -5 x ^ + 4 x - l |
||
|
|
|
(x + 2)' |
4.17. a)
^^0 sin 7T{X + 4)
|
.. |
|
l-c o s6 x |
|
|
o) |
hm ------------ : |
||
|
|
^^0 |
3xtg3x |
|
.. |
,. |
1 - |
л/cos X |
|
6) |
hm |
|
;c.2 |
’ |
|
|
|
||
6) |
|
|
|
; |
|
^-♦01 - cos 5x |
|||
6) |
|
e^”^ - l |
|
|
lim |
2x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
6) |
. |
sin 3x |
|
|
lim |
xe- l x ’ |
|
|
|
|
д:-^0 |
|
.. |
,. |
arcsinlOx |
||
o) |
hm —;--------- |
|||
|
|
X |
+2л:х |
|
|
Jc-^O |
V |
в) |
|
5x |
lim (3 x -2 );t'-i. |
||
|
ЛГ-+1^ |
■' |
|
/ |
j \ 4ДГ-5 |
в) |
lim 1- |
- |
|
V |
x j |
в) |
lim — ln>yi + 2x. |
|
|
-^«3x |
|
в) lim (l + tg^3x)?.
e) lim 3x(ln(5 + 2 x )-ln 2 x ). |
||
Г—^МгГ) |
' |
X |
4.18.d) l i m N x ^ + x +l - y j x ^
4.19.a) lim -------- ------j ;
|
|
^-*-‘V l-^: 1 - x у |
||
A nn |
\ |
r ■\/l+ 3x —л/2х + 6 |
||
4.20. |
a) |
hm -------- ;— ;;;---------; |
||
|
|
^-->■5 |
X |
- 5x |
4.21. a) |
^ |
x^ |
3x.2 Л |
|
lim |
5 x 4 l |
15x + l |
||
|
|
x-»oo |
||
4.22.a) lim 5x^ - 3x^ + 5x x-Kx> x + 4x‘*-3x^
4.23.a) lini 2 x 4 7 x - 4
|
X-¥ ' |
lO x -5 |
|
4.24. d) |
lim ----pi ^ |
; |
|
|
y j x - l |
|
|
4.25. a) |
lim ^ |
..1— |
|
|
V x + 5 -3 |
||
4.26. a) |
lim ^ |
x ^ |
^ |
|
x-*<x) v x 4 5 |
""j |
|
. . . . |
V4x + 5 ~у/30 —х |
||
4.27. a) |
hm ------------ ==------- |
||
|
|
5 - |
|
4.28. a) |
l i m2 -^^^x ; |
|
|
4.29. a) |
lim — y— |
; |
|
|
3 x '+ 8 |
|
|
4.30. a) |
lim Vl + 3x - V2x + 6 |
||
|
|
X |
- 5 x |
|
( |
K |
|
|
|
sin X |
- |
|
|
- x ) ; |
6) lim ---- V |
..— ^ ; |
в) |
lim (2 x -5 ) \x-3 |
' |
.^ ^ l- V 2 c o s x |
|
^ |
|
|
4 |
|
|
|
|
6) |
в) |
lim (l + sin^ Зх)il-cos2.i: |
|
|
1 - cos 5x |
|
^^0 ^ |
' |
6) |
Innmil |
y fltg S x |
|
----------— ,; |
|||
|
|
v l - COS 4x |
|
o) |
,. c o s3 x -l |
||
hm ------------ |
|||
|
|
xtg2x |
|
|
1 |
■ ^ |
|
|
1 - sm - |
|
|
6) Um-------- - ] |
в) |
||
X->7C |
n - x |
|
|
-ТГ — |
|
||
6) |
lim cos X |
- cos X |
|
|
|
|
2 |
X
6)lim 5x" . ^->0 l-c o s3 x
,.cos 6x -1
o)hm ------------; xsin5x
6)limx^ctg^5x; ДГ-+0
5)U m f M h f ) . V x - l
6)lim c o sx -sm x
|
|
.’L |
cos2x |
|
|
4 |
|
o) |
,. |
cos2x -cos4x |
|
hm — j = . |
|||
|
|
|
V l-co s6 x |
|
o) |
,. |
arctglOx |
|
hm ----- ------; |
||
^-^0 l-c o s5 x
Ч ,. / |
Ч1 |
|
eiв) |
luiiihm(cos6x))5x^ |
|
8+1a в) lim (l + 5x)"
lim (3x + 5)(ln(x + 5 )- ln x ).
2x e) lim (2 -x )i-.t.
в) lim (l0 -3 x )^ 3 .
e)lim ^ 3x
у1 + Зд;у
в) lim (cos 2х) sin^x .
в) lim 3x(ln(5 + 2 x )-ln 2 x ).
. |
|
ln(l-8 x ) |
в) |
hm — |
|
|
^^0 |
4x |
в) |
|
5 x |
lim (3 x -2 )1x^-1 . |
||
_4_
в) lim (l-5 x )'^ .
41
dy
Задание 5 . Найти производные — dx
5.1. |
а) у ^ 5 arcsinVx - |
+ lntg^x; |
|
|
5.2. |
|
|
sin |
X |
а) у - -v/Зх'* + 2 х - 5 + - |
|
|||
|
|
|
(х - 2 Г |
|
^ ч |
■ П |
7 |
1пх |
|
5.3. |
а) JF = arcsmVx |
- 1 + —= |
= ; |
|
\Jx^ -1
5.4. а) _y = VxarccosV^ + lnarctg—;
X
5.5. а) y -tg^{^x^+i^-\n'Jx^+4',
5.6. |
а) |
1 |
|
; |
|
|
|
|
v = m-— т— |
|
|
|
|
||||
|
|
sin' ах ' |
|
|
|
|
||
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
5.7. |
о) |
>^ = 1п cos2arctg-е |
- е |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 - х |
|
5.8. |
а) |
arcsin4x , |
, |
r~i |
~ |
|||
у = ■ |
|
• + 1п |
Vx |
+1; |
||||
|
|
COSX |
|
|
|
|
|
|
5.9. |
а) |
7 = e^'"sin(cos^(tg'x^j; |
||||||
5.10. |
|
/J arccos^ X |
|
|
|
|
|
|
а) |
у = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л/х^ +3 |
|
|
|
|
|
|
5.11. |
а) |
COSX |
1 |
, |
|
X |
|
|
у - ------г— + - l n t g - |
|
|||||||
|
|
2sin^x |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
/1-х_ |
|
|
|
||
5.12. |
а) |
>^ = arctg. 'Т+х’ |
|
|
|
|||
5.13. |
а) |
y = tg^ |
^X |
7t^ |
|
|
|
f x |
--- 1--- |
-f 2 In cos - + |
|||||||
|
|
U |
4 j |
|
|
|
u |
|
5.14. |
а) |
у = \ Ч |
- |
х |
' |
|
|
X |
arcsin—; |
||||||||
5.15. |
а) |
j; = (l + lnsin2x) |
|
+ 2 “=“ '^ |
||||
5.16. |
а) |
>' = ln tg V x '- 5 + —— 5----- |
||||||
|
|
|
|
|
|
X + 4х —6 |
||
5.17. |
а) |
у = |
|
-flntg^x; |
|
|||
5.18. |
а) |
>^ = 1п л/а^ +х^~ |
|
|
а |
■+ arccos Vx; |
||
|
|
|
а + х |
|
а + х |
|
||
5.19. |
а) |
3^ = ctg^(х + 1)-arccos—; |
||||||
5.20. |
а) |
= 2'^™ arcsin'2х; |
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
5.21. |
а) |
у = In arccos Vx |
|
|
||||
б) js in x = cos(x->^).
б) |
/ = xe“^. |
б) |
{x + y f + { x - 3 y f =0. |
6) |
х ] п у ~ у ] п х = 8. |
б) X - 3^ + arctgy = 0.
б) у |
2 |
У |
|
x = acrtg—. |
X
б) х' -f 3^' - Заху = 0.
б) sin(x + 3^)~2x3^ = 0.
X
б) Ьз^-ь—= х + з^.
б) arcsin X J + — - X.
б) ^ '^ - е '" + ^ = 0.
X
б) хз'= 1п(1 + з/).
б) х^ +xsin>’ = 0.
б) 1пз; + - |
= 1. |
У |
|
б) — = acrtg—. |
|
X |
>> |
б) x s i n j - 3^cosx = 0.
б) |
= sin —. |
|
X |
б) + х^е~^ = 2х.
б) е ^ - х ^ у у ^ = 0 .
б) sin(x + 3 /)- f2 x -3 j = 0.
б) х'* + 3''* - 2з^ = 0.
42
5.22. |
а) |
> = arctg^ |л: + Vl + ^^ j; |
|
6 ) |
co s^ (x + >^) = xj;. |
|
5.23. |
a) |
^y = Inln(e'‘cosx + e“''sinx^; |
6) |
- X + arctgx^y == 0. |
||
5.24. |
|
1 |
2 |
1 |
6) |
1+ x = ^ ln (x + 2>^). |
a) у = —sin^ y j x - —sin^'Jx+—s m ’ 'Jx', |
||||||
5.25. |
a) y = e’^ COSA/I + л:^; |
|
6) |
y - x + arctg>' = 0. |
||
^^ arccos-yx^-2
5.26. |
d ) y = --------- |
^-------- |
; |
6) |
x = y + e^. |
|
||
|
|
|
tg'x |
|
|
|
|
|
5.27. |
a) |
|
(l-x ^ )co s3 x |
6) |
e ^ + e ^ - 2 ^ |
=1. |
||
y = ^------- --------- |
; |
|||||||
|
|
|
arccos 5x |
|
|
|
|
|
5.28. |
a) |
у = |
V4x^ + 3x +1 |
6) |
COS^(x + >’) = X>^. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
5.29. |
a) |
>> = Incos^ |
arctge^"'; |
6 ) Z |
+ e - 3 Z |
= o. |
||
|
|
|
|
|
|
X |
VX |
|
5.30. |
a) |
>’ = -ctg^ —-2 1 n sin —; |
6) |
Jx^ +y^ = 2arctg —. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
Задание 6. Найти производные второго порядка |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
dx,2 |
* |
|
|
|
|
6.1. |
= -^х^ (21 п х -3 ); |
^11 |
Зх + 2 |
|
|
^ ^ , |
arcsin X |
||
6.11. |
V=—;----------- |
|
|
6.21. |
y = - = = ; |
||||
|
|
|
|
х^ - 2х +5 |
|
|
|
v l- x ^ |
|
6.2. 3^= |
cos^ х; |
6.12. }; = arcsin^x; |
|
|
6.22. |
32= - —x s in 3 x -— cos3x; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
27 |
6.3. |
= |
|
|
,2 |
, |
, 2 |
^ |
2x |
|
|
6.13. у = ]п^х + у[а' |
+ Х |
6-23, |
32= - — ; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X +1 |
|
6.4. у = (х^ |
6.14. |
= arctg|e''' |
|
|
6.24. |
32= In ^x^+5x + 6^; |
|||
6.5. у - |
ctgx + x^e"'; |
6.15. з; = х^е^^; |
|
|
^ |
■ iX |
|||
|
|
6.25. |
32= arcsm |
—; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6.6. у = х 1п^1+ х^); |
6.16. у = х^ sin3x; |
|
|
6.26. |
32= (^l + x^jarctgx; |
||||
6.7. >’ = lnctg^x; |
6.17. 3; = cos^4x^+ х ); |
6.27. |
32= In Vl + xZ |
||||||
6.8. у =xcos(x^ + l); |
6.18. 3; = (x + l)co s2x; |
|
6.28. |
32= e^'^cos—; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
6.9. |
у = л1х^ - а ^ ; |
6.19. |
= |
|
|
6.29. |
32= x^ In —; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
6.10. 32^x^sinx + xcosx; |
6.20. 32= arctg |
|
|
6.30. |
32= 2xarctgx. |
||||
|
|
|
|
x ^ + r |
|
|
|
|
|
43
Задание 7. Дана функция и = и [ х , у , z ) , точка М { х ^ , у ^, z ^) а вектор ^. Найти в точке М:
а) производную по направлению ^ по направлению вектора 5 ; б) градиент grad и . ds
7.1. M= 5"-^-^+sin— |
; |
|
|
s = j - k ; |
||||
|
|
|
2;^ |
|
|
|
|
|
7.2. и = yjx^ +у^ + z ^; |
|
s - |
i + 2j - 2k\ |
|||||
7.3, м = |
In —+ zy; |
|
|
|
s = i +j - k ; |
|||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
y^\ |
s = 3i + 6 j +2k\ |
|||
7.4. u - x ^ z + sin— |
||||||||
|
|
z |
|
|
|
■ |
|
|
7.5. u = \ii{Sx^+xy + zy. |
s = 2i —3 j + у/3к; |
|||||||
7.6. u -x^yz^-\-2x +V, |
|
s =2i +3 j - k ; |
||||||
5.7. и = Ъх^ - y |
+ 4z^x\ |
|
s ~ -3i + 4k; |
|||||
5.8. M= arctg(xyz)-ln(.x + }^ + z); |
s - i - k \ |
|||||||
г r. |
■ ^ |
2 |
y\ |
|
|
|
s - |
-2i + j + 2k; |
5.9. и = sin —+ z |
|
|
|
|||||
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
7.10. u = х \а {х ^ -\r y ^ - z ^ y . |
s = -8z + 4 j - Sk; |
|||||||
7.11. M= cos^ xy + 3z; |
|
|
s = i ~ 3 j + 4k; |
|||||
|
■ |
|
|
|
2 |
; |
s = 5z + 121c; |
|
7.12. и = arcsm---- hx |
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
5 =12 j - S k ; |
|
7.13. M= |
+lnx; |
|
|
|
|
|||
7.14. M= c tg y z --^ ; |
|
|
|
s = i - 2 j - k ; |
||||
7.15. w = 2 ^ - c o s — ; |
|
s = i +Sj - 4k; |
||||||
|
|
|
2z |
|
|
|
|
|
7.16. M= sin^ yz + 2x^y; |
5 = 5z - j + k; |
|||||||
7.17. u = J 2 x y - y ^ z + —; |
s = - i +4 j +2k; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
7.18. M= x^y^-ln(^5xz + y^ |
5 = 4z' + 7 - ~k; |
|||||||
M,{\; |
1; |
0). |
|
|||
|
3; - 4 ; 5). |
|||||
M .(2; |
1; |
1). |
|
|||
Mo |
|
|
|
|
j- |
|
\. 2 ” |
|
|
||||
W .( 1; 2; 4). |
||||||
M o(l; |
- 2 ; |
2). |
||||
м у , |
1; |
2). |
|
|||
Mo (1; 0; 1). |
|
|||||
Mo |
|
|
|
|
|
|
M o(l;0; |
1). |
|
||||
Mo |
U |
|
’ |
-1- |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
W ,(^ l; |
2i |
1) |
||||
Mo (2; |
1; |
0). |
||||
Mo |
( |
|
Л |
|
Л |
|
V |
—• 1 |
|||||
|
1 |
|
4 |
|
) |
|
Mo |
f |
|
|
7t |
|
Л |
2- —■ 1 |
||||||
|
V |
|
|
2 |
|
7 |
Mo Г3; |
1; |
- |
|
|||
|
V |
|
|
|
4 ; |
|
Mo (2; |
|
2; |
O). |
|||
M„(2; |
|
1; 1). |
||||
X
7.19.и = 5^^ +y^x^;
7.20.M= x” +x^z;
7.21.M= xe^+ ye"'-z^;
s = - i - 2 j +4k; s = i + 5j - 2 k ; s = i + j +k;
м у - , 1; -1 ) W .(2; 2; 1). M ,(3 ;0 ; 2).
7.22. и = е ^ + ^ ; |
s = 4 i + 2 j - k ; |
Мо(1; 2; -1). |
44
7.23. и = yln(x^z) +2x^y; |
s - - i - j +3k; |
M,{\; 1; 2). |
|||
X |
s = |
i + 2j + 2k; |
Mo (-4; |
1; - 2 ) |
|
12А. u - x y z - h x — ; |
|||||
2z |
|
|
|
|
|
7.25. u = 2yyfx +3y^^f^\ |
s = |
2 i - y [ 3 j + 3k; |
M o(4; |
- 2 ; |
l). |
7.26. M= |
5 = 6/ + 8j; |
M o(l; |
-1; |
-1 ) |
|
7.27. и ~ — л-----------; |
s = 3i + 6 j + 2k; |
M o (-l; 1; |
2). |
||
у X X |
|
|
|
|
|
7.28. M = ctg—+ x^; |
j' = |
2i + ll7 + 10A:; |
M o(l; |
;r; |
2). |
z |
|
|
|
|
|
7.29. M= |
s = |
A i - A j + 2k; |
M o(l; |
- 2 ; |
1). |
7.30. M= cosx>’ + z^>^; |
s = |
- j + k; |
Mo(0; |
2; |
3). |
45
ЛИТЕРАТУРА
1.Высшая математика. Общий курс / под ред. С А. Самоля. - Минск: Вышэйшая школа, 2000.
2.Высшая математика для экономистов / под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 1998.
3.Шипачев, В.С. Высшая математика / В.С. Шипачев. - М.: Высшая школа, 1985.
4.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: учебное пособ.: в 3 ч. / под
ред. А.П. Рябушко. - Минск: Вьппэйшая школа, 1991.
46
СОДЕРЖАНИЕ |
|
П Р О Г Р А М М А .................................................................................................................................................. |
3 |
1. Матриць!, определители, системы линейных уравнений (СЛАУ)............................................................... |
4 |
1Л. Матрицы. Операции над матрицами........................................................................................................ |
4 |
1.2. Определители. Алгебраические дополнения........................................................................................... |
5 |
1.3. Ранг матрицы................................................................................................................................................ |
7 |
1.4. Системы линейных уравнений (СЛАУ)................................................................................................... |
9 |
2. Аналитическая геометрия................................................................................................................................. |
11 |
2.1. Векторы. Операции над векторами......................................................................................................... |
11 |
2.2. Действия над векторами, заданными в координатах............................................................................. |
13 |
2.3. Прямая........................................................................................................................................................ |
14 |
2.3.1. Прямая на плоскости. Различные виды прямой............................................................................. |
14 |
2.3.2. Прямая в пространстве. Различные виды прямой......................................................................... |
16 |
2.4. Плоскость................................................................................................................................................... |
16 |
2.5. Угол между двумя прямыми на плоскости и в пространстве.............................................................. |
18 |
2.6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве............................................................................... |
18 |
3. Введение в математический анализ................................................................................................................ |
20 |
3.1. Функция. Предел функции....................................................................................................................... |
20 |
3.2. Основные теоремы о пределах................................................................................................................ |
20 |
3.3. Замечательные пределы........................................................................................................................... |
22 |
3.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых функций....... |
23 |
4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной...................................................................... |
24 |
4.1. Основные правила дифференцирования................................................................................................ |
25 |
4.2. Таблица производных основных элементарных функций.................................................................... |
25 |
4.3. Производные высших порядков.............................................................................................................. |
26 |
4.4. Неявная функция и ее дифференцирование........................................................................................... |
26 |
4.5. Дифференциал функции........................................................................................................................... |
27 |
4.6. Правило Лопиталя..................................................................................................................................... |
27 |
5. Функции нескольких переменных.................................................................................................................. |
28 |
5.1. Основные понятия..................................................................................................................................... |
29 |
5.2. Частные производные................................................................................................................................ |
29 |
5.3. Полный дифференциал функции нескольких переменных.................................................................. |
30 |
5.4. Частные производные высших порядков............................................................................................... |
31 |
5.5. Экстремум фзшкции двух переменных.................................................................................................. |
31 |
5.6. Скалярное поле.......................................................................................................................................... |
34 |
Задания для самостоятельного решения............................................................................................................ |
36 |
Литература............................................................................................................................................................. |
46 |