Методические указания и задания к выполнению самостоятельных работ для студентов 1-го курса

.х~3>

у+ 5

2-6

Имеем - 1

8

- 7 = 0.

-5

9

0

1.

М,(5;

1; 3), Л/,(2;

0;

1),

Мз(4;

1;

8).

2.

М,(8;

0; 2),

5;

-6),

0; 2).

3.

М,(3;

-1;

4),

Л/,(-5;

1;

4),

1; 1).

4.

М,(2;

1;

1),

2;

3),

Мз(5;

-1;

7).

5.

Л/,(1;

-3;

4),

0;

5),

- 2;

3),

6.

0;

7),

Л/,(2;

2;

4),

М,{У,

1; 2).

7.

М,(3;

- 2;

1),

Л/, (4;

4;

1),

- 2;

4).

8.

Л/,(5;

-3;

8),

Л/,(2;

3; 0),

Мз(8;

-1;

2).

9.

. М,(4;

3;

0),

М,(1;

-1;

2),

0;

- 8 ) .

Решение.

Приведем

уравнение плоскости к уравнению в отрезках

^

У

^

л

t

величины отрезков, отсекаемых на осях координат.

— + — + ~ = 1, где а, о, с -

а

Ъ

с

Преобразуем уравнение

2л: - Зу - 5г - 30 = О к виду 2x - З^^ - 5z = 30. Разделим

почленно обе части уравнения на 30:

X

• +

у

Z .

1

> а = 15, Ь = -10, с = -6.

+ — =

15

-10

- 6

2.

2x + y-z-\0

= 0

7.

x~2y + 3z-6

= 0;

3.

4x~y + 2z-S

= 0

8.

Sx + 4y-z-40

= 0;

4.

jc + 5>'-z + 15 = 0

9.

6x + 2y - 5z + 30^0\

5.

3x-8>' + 6z - 24 = 0;

10. x + 7>^ + 3z

- 21 = 0.

заданные точки МДх^у,), М2{х2^У2)'-

l ^ ^ l Z A . ,

(14.1)

Найдем уравнение стороны АВ, полагая д:, = -2, у^ = -2,

Х2 = -1, У2 = 2:

х + 2 у + 2 х + 2

V + 2

,

^ ^

- 1 + 2

2 + 2

1

= z

=> 4;с-у + 6 = 0.

4

Найдем уравнение стороны ВС, полагая x-^ = -I,

= 2,

= 6, У2=2:

6+1

2 - 2

7

0

Найдем уравнение стороны АС, полагая х^ - -2, у^ - -2, Х2=6^ У2 = 2:

х + 2 у + 2 х + 2 у + 2

.

о о

6 + 2

2 + 2

8

4

Найдем уравнение медианы, проведенной из вершины В, Медиана делит

сторону АС пополам. Найдем координаты точки К -

середины отрезка АС по

формулам:

Имеем

^

0).

По формуле (14.1) составим уравнение медианы ВК:

х + 1

у - 2

д: + 1 у - 2

^

^ „

2 + 1

0 - 2

3 - 2

циент к и проходящей через данную точку

(д:о,>'о):

=

(143)

Отсюда находим у-2 = -2(х +1) или

2х + у = 0.

3.

^ ( 4 ; 0 ; - 2 ) , 5(3; 8; 7), С(10; 5; - 3) .

4.

^{5; - 7;

1), 5(2; 10; 4),

С(8;

1; 1).

5.

^(6; 3; 4), 5(5;

0 ; - 2 ) ,

С(10;-2; З).

6.

.^(8; 1; 2), 5(-3;

4; 5),

С(0; - 2 ; 7).

7.

^(9; 3; -1), 5(10; - 4 ;

5), С(8; 1; 1).

8.

Л(7;-9;10), 5(1;-3;

1),

С(2; 2; О).

9.

А{-4; 5; 0), 5(1; - 2 ; 1),

С(4;

-8; 1).

10.

^(-5; ~2; 0), 5(2; 3; 1), С(10; -5; 7).

Пример

14,2.

Через

точку

пересечения прямых

:3x + 2 y - 2 = 0,

/j: бл + 9>'-24 = О провести прямую, параллельную прямой

/;2л: + >'-7 = 0.

Решение. Найдем точку Mq пересечения прямых /j и

:

(Зх + 2у-

2 = 0,

Решая систему, получаем точку

4). Приведем уравнение прямой

/ к виду у = ~2х +1. Отсюда находим угловой коэффициент

Используя

прямой по формуле (14.3): >'-4 = -2(х + 2) или 2х +

у-0.

Задание 14.2. Через точку пересечения прямых /j,

провести прямую,

параллельную прямой I, в каждом из следующих случаев:

1.

h-

Ъх +

5у~1= 0,

h :

2x + y - 7 = 0,

/: х + 5 у - 2 = 0.

2.

h- 2х + 7 у - 8 = 0,

к ; х-5у + ъ = 0. /: 2Х + 7 У - Ы 0 .

3.

h-

4д: + >- - 1 =0,

к-

Зх-5у

+ \ = 0,

/: л: + 7>; + 2 = 0.

4.

к--

5х-у-2

= 0,

х + бу-2

= 0,

/: 3x->' + 7 = 0.

5.

h-

Зх + 5у-\--= 0,

h'

Sx-y

+ 7 = 0,

/: 4;с-5>' + 1 = 0.

6.

h-

2х +у+ 5 == 0,

к'

Зд; + 4>/-7 = 0,

/: 5х~1у + 2 = 0.

7.

х-7у

+ 1 =0,

к--

4х +у+ 5 = 0,

1: 1х-у

+ 3 = 0.

8.

7х-2;^ + 3= 0,

h : 2x + 5>'-l = 0,, 1:^х

+ 2у~5

= 0.

9.

К'

10д: + >^-1 =0,

к-

д: + 6 у - 2 = 0,

/: Jc + 5;^-l = 0.

10./,:

0,

h'-

2д: + 4>'-7 = 0,

/: Зд; + 8>' + 2 = 0.

Пример 14.3. Найти точку Q, симметричную точке Л^(4; 5) относительно

прямой/:

8x + 4>'-36 = 0.

Решение. Составим уравнение прямой

, проходящей через точку N и

перпендикулярной прямой /.

Найдем угловой коэффициент к^ прямой /, из условия перпенди-

кулярности двух прямых (14.2): к^ - —~ = —.

к^

2

Составляем уравнение прямой

по формулам (14.3): у - 4 = —(х-5)

или jc - Zj' + 3 = о.

Находим точку Р пересечения прямых

и /:

х~2у+

3 = 0.

Следовательно, имеем x^^lxp-xj^,

=

или Xg = 2 - 3 - 4 = 2,

=

=

1).

Задание 14.3. Найти точку Q, симметричную точке N относительно

прямой I, в каждом из следующих случаев:

/;; 8x + >'-l = 0.

1.

N{2;

- 2 ) ,

/: Зд: + >'-5 = 0.

6.

Л^(0;7),

2.

- 5),

/: x + 5y-7

= 0.

7.

Я(2;7),

/: 2x + 5 y - 2 = 0.

3.

Л^(5;0),

/ : 2x + y-S

= 0.

8.

N{\; 4),

/: 4x + 2>' + 3 = 0.

4.

JV(-2;

4),

/: 3x->' + 5 = 0.

9.

Л^(4;

- 2 ) , I: x +

7y-3^0.

5.

iV(6; 1),

/ : 4x + 2>'-5 = 0.

10.

x-y-2

= 0.

Пример

14,4. Через

точку

пересечения

прямых

: 2л:->' + 4 = 0,

2д: + 4>'-1-0

провести

прямую,

образующую угол

9 = 45" с

прямой

/: Зх-\7у

+ 5 = 0.

Решение. Найдем точку Мпересечения прямых /, и /:

'2х-

у + 4 = 0.

Решая систему, получаем точку М

. Уравнение искомой прямой

имеет

вид:

>^->-0 =

Зная,

что

(р = 45'' ^

tg(p = l,

по

формуле

tg9 = l + k^-k^

находим

угловой

коэффициент

к

искомой

прямой,

полагая

3

—

17

Имеем

17

17

к = 10

/ Зчл

Составляем

уравнение

искомой

прямой:

у - 1 =

10 х -

или

10д:-7з^ + 22 = 0.

7

Задание 14.4. Через точку пересечения прямых /, и

провести прямую,

образующую угол (р с прямой I в каждом ш следующих случаев:

1.

/,: 2л:-у + 5 = 0 , :

л:->' + 7 = 0,

ф = 135%

/:

2д: + >'-1 = 0.

2.

/,: jc + 5>^-7 = 0, 4 :

Зд: + у - 2 = 0,

(p = 0^

/:

4x - j; + 2 = 0.

3.

I,:

3x - >' - 8 = 0, 4 :

ф = 45%

l\

х + 5у-\

= 0.

4.

I,:

8x + 7 - 2

= 0,

3x~y

+ l = 0,

<p = 60\

1:

4x + y + 7 = 0.

5.

I,:

2x-y~5

= 0J^

\ Sx~y~2

= 0,

<p = 30% /: 2x + 5>' + l = 0.

6.

/,:

x-4y-2

= 0,l^:

5x + 3y-4

= 0,

ф-45%

/:

x~7y-S^0.

7.

/,:

4Д; + 7 - 3 = 0,

+

+ 5 =

ц> = 135\

/:

+

8.

/,:

7x - 2y + 4 = 0,

+

=

(f> = 0% /;

д: + >^-2 = 0.

9.

x-5y + 2 = 0,l2'

4x-5y

+ Z = 0,

ф = 45% /:

+ 8 =

10.

/,:

3x + >'-4

= 0,/2:

11л:-2>'-7 = 0,

{p = 60%

/:

x + 7>' + 2 = 0.

Для нахождения А:, и к^ запишем уравнения прямых в виде

/,: у~х

5

,

1

7

,

,

,

1

+—, L : у = — х + — => л, = 1, к. ~ — .

'

2

'

5

5

*

'

5

После подстановки получаем

- 1 - 1

tg9 =

5Г

3

=

3

1 + 1. _ i

^

^

I

5j

Расстояние

от

точки

М(2;

5) до

прямой

; л: + 5>'-7=:0 найдем

по

формуле

d = AXf^ л-By+С

Получаем

d

2 + 5 - 5 - 7

20

Задание 14.5.

Найти угол между прямыми

и

и расстояние

от

точки М до прямой

в каждом из следующих случаев:

1.

I,:

Ъх + у - 4 ^ 0 ,

М(2;

2).

2.

/,: x + 7>^ + 2 = 0, 4:

4x->' + 8 = 0,

Л/(-1; 5).

3.

/,:

3x-;^ + 5 = 0,

2;е + 5у-1 = 0,

М(-5;

2).

4.

/,:

х - у + 7 = 0,

\ 5х-у-1

= а, М(3;

4).

5.

/,:

3x + 2 y - 8 = 0 , 4 л : + 2з; - 5 - 0,

М ( 4 ; - I ) .

6.

/,:

+ 7 =

+

=

Л/(5;

l).

7.

/1:

2х + 5>'-1 = 0, /2:

=

М(-4;

2).

2.

МД1; - 2 ; 4),

/,;

x + 5y + z-S = 0, 2x-y

+

4z-2^0.

3.

Mo(3; - 2 ; 6),

/,:

y-2z

+ l

x + 5y-z~9

= 0.

4.

1; 8),

I,:

+ y+ 4z-10 = 0, 5 x - y + 2z = 0.

5.

0; -9),

/i:

4x + >^-8z + 2 = 0, 2x +y~5z

+

\0^0.

6.

МДЮ; 1; - 2),

/,: 5x-y

+ 7z-l0

= 0, 4x-3y-2z

+ l = 0.

7.

Mo(-2; 4; 8),

/,:

2x + 7y-z~9

= 0, 5x~2y

+ 6z = 0.

8.

Mo(-3; 8; 1),

l^: x~y

+ 2z~S

= 0, 3x +y-z

+ l2 = 0,

9.

Mo(-4; 5; 7),

; lx +у-5г-Ъ

= 0, 2x-y

+ 4z + 5 = 0.

10. Mo(5; - 6 ; 8),

/,: x + y - z - 2

= 0, 3x + 3 y - z + 8 = 0.

Пример 15.4,

Найти

расстояние

от

точки

М{2; -3; 5)

до прямой

l\x~S

+ 2t, y--4~t,

z-6~2t

и угол между прямыми / и ^ ^ ^ = ^ =

Решение. Расстояние от

точки

у^, z^)

до

прямой,

проходящей

через точку

z^), с заданным направляющим вектором 5 =(т; я; р)

находим по формуле

'

'

^

J

к

d

т

п

р

(15.2)

Прямая I: x = 5 + 2t, y = -4-t,

z = 6-2t

проходит через Л/о(5; - 4; 6) и

i

j

k

/

J

к

2 - 5 - 3 - ( - 4 )

5 - 6

- 3

1 - 1

2

- 1

-2

2 -1 - 2

-Зг - S j + k

направляющими векторами

п^; р^) и

=

^I'y Pi) этих прямых по

формуле

т^-т^ + щ-щ + Pi - А

/1С -7Л

cos(p= 1

—1

•

(15.3)

^mf + «f + pI . ^mi

+ nl + PI

В нашем случае имеем:

^ = ( 2 ; -1; - 2 ) ,

Jj^l^i 4; 1).

Подставляя

данные в (15.3), получаем

Задание 15.4. Найти расстояние от точки Мо до прямой I и угол между

прямыми I и

в каждом из следующих случаев:

. W .. л

,

со

.

г ^

,

=

у + 3

2 - 5

1.МД4; 3; - 2 ) , / :

+

y = -4~t,

z = 6~2t;

2.Л/Д1;

- 6 ;

8),

/:

x = -^

+ 6t, y = t + 2t, z = -4-3t;

l^:

6

=

=

2 — 3

3.Mo(l;

- 7;

5),

/: x = 7-12r,

y = 9 + 5t, z = 4;

;

2

-

+ ^ -

^ + 2

7

8

4.МД2;

1; -2),

I:

x = l + 3f, >^ = 9 - 2 / ,

z = 8 + 4/;

:д:-8

>^ + 6

z - 1

1

2

2

^ д: + 5

y - 2 z + 4

- 8

11

7

6.

Л/о(3;

-5;

6),

/: x = 8 + r,

= 9 +

z = 6 + 2/;/j: x - 2

jH + 4

2 - 8

J

- 5

- 4

7.

M,(2;

1;

1),

/: x = 5 + 2r,

=

2 - 6 - 2 / ; / , : ~ = ^

=

8.

M,(7;

- 4; 3),

/: x =

>^ = 8 + 2/, 2 = - 5 - 3 / ; / , : ^

= 4

=

1

4

6

9.

M,{5; -8; 1),

/: x = 2 - 3 ^

у = 5 + 6/, 2 - 9 + 4/;/,: ^

= ^

=

10.

4; 6),

/:

+

у = 2-3/, 2 = 3 + 2 ^ ; : —

=

=

Тема 16. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ

ТТ

ТТ -

- 1

= --• —- = — ~ с

Пример 16.1. Наити точку пересечения прямой /: ^

плоскостью а:

2x + 2y-4z-2

= 0.

Решение. Составим

параметрические уравнения прямой /. Из канони-

ческих

уравнении

этой

"

х-7

Z-5

M(J(7; -8; 5),

прямой

~ — — и м е е м

7 = (2; -1; -1).

Тогда

параметрические

уравнения

имеют

вид

Подставим

выражения

для

х,

у,

z

в

уравнение

плоскости

а:

2(7 + 2/) + 2 ( - 8 - / ) - 4 ( 5 - г ) - 2 = 0

=>6?-24 = 0 или / =

Подставив полученное значение параметра / в уравнения прямой, найдем

координаты точки пересечения:

х = 7 + 2-4 = 15,

=

z = 5 - 4 = L

Непосредственно проверкой можно убедиться^ что точка пересечения

М{15; -12; 1) принадлежит плоскости

а .

Задание 16.1. Найти точку пересечения прямой I с плоскостью

а в

каждом из следующга случаев:

L

,

Jf _

_z-\

1

4

- 3

2.

-7

- 8

-5

3.

-

3

-

=

a:3x

+ 3y + 4z = 0.

3

0

^ «

^ ^

4.

Д^-1 у - 1 Z-1

5

13

11

5.

:

х-2

у~1

Z

^

^

^

л

2

= —, a : x + 4y + 7 z - 5 ^ 0 .

0 -

2

6.

X

у

Z

п

г л

: — = — = — , а : 7x - 2у - Z - 5 = 0.

2

0 - 2

г-11

,

о

^ /ч

7.

у - 7

3

-

2

1

л:-5

у - 9

г - 10

о

г

11 л

8.

;

-6

= ~

4

- 2

, a;3x + 5y + llz = 0.

9.

:

х+1

=

у - 4

Z

^

,

^

8

5

= —,

£3f: 2х - у - Z - 1 = 0.

2

у - 3

Z - 2

^

^

^

: 1 =7

^

2

, а : х + у + 2 г - 2 = 0.

Пример

16.2,

Найти угол

между

прямой

/: л = 5 +1 If,

у =

2 = Ъ-11 и плоскостью а: 7л: + 8>'-8г-10 = 0.

Решение. Угол

между прямой

/: х-х^ + гШ, у = +

z-z^^- pt и

плоскостью а: Лх + By ^^Cz + D = 0 определяется по формуле

sinq) =

Ат + Вп-\- Ср

(16.1)

В

нашем

случае

т = 1\, и = -8, р = ~1у А-1,

5 = 8, С = -8. Применяя

формулу (16.1), получаем

7-11 + 8-(-8) + (-8).(-7)

69

+ 8 4 ( - 8 / - ^ 1 1 4 ( - 8 ) 4 ( - 7 ) '

V m - V ^ '

1.

I: x = 2~t,

y = 5 + 2t, z = -3 + t, a:3x~y + 5z~7

= 0.

2.

/: х = Ъл-М, y =

z =

а:д; + 2 у - г + 10 = 0.

3.

l\x = -\-2t,

y = 5 + t, z^M,

a\2x-2y-2z-^

= 0,

4.

I: x = 5-^t,

y = ~A~t, z = \ + 2t, a:5x

+ y-Az

= Q.

5.

I: x = At, y = 2 + t, z = 3-t,

а:д: + 7 у - г + 10 = 0.

6.

/; X^2 + /, у = 1 -4/, z = 8 - r, a-.3x-y

+ 5z + ^ = 0,

7.

l: x = l + ?>t, y = 3 + 7t,

a:4x

+y-z~6

= 0.

8.

I: x^7~t,

y = 5 + t, z = 4-t,

a:x-2y + 5z-3-0.

9.

I: x = St, y = 2 + 2t, z = -3-t,

a:3x~4y-z+

7

10.

/: л: = 1 + 4(, y = 5 - / , z = 7/,

a:7x-y

+ 5z = 0.

Пример

16.3.

Найти

проекцию

точки

М(1; 4; - 2 )

на

прямую

/: x = 5-2t, y^2 + t,

z = ~t.

Решение. Проекцией точки М на прямую / является основание пер-

пендикуляра, опущенного из точки Л/на прямую L

М и

Составим

уравнение

плоскости,

проходящей

через

точку