Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методические рекомендации и задания к контрольной работе N3 по высшей математике для студентов-заочников специальности 1-26 02 02 Менеджмент

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.2 Mб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра естественно-научных дисциплин

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И ЗАДАНИЯ

кконтрольной работе № 3 по высшей математике

для студентов-заочников по специальности 1–26 02 02 «Менеджмент»

Минск 2 0 0 4

УДК 519. 2 (076.1) (075.8) ББК 22. 17я

М54

Внастоящем издании помещены программы и контрольные задания (25 вариантов) по высшей математике.

Студент должен выполнить контрольное задание по номеру варианта, который совпадает с двумя последними цифрами зачетной книжки (шифра). Если номер шифра больше двадцати пяти, то следует из него вычесть число двадцать пять. Полученный результат будет номером варианта.

Составители:

З.М.Алейникова, М.Н.Покатилова, А.Ф.Шидловская

Рецензент Т.С. Яцкевич

З.М. Алейникова, М.Н. Покатилова, А.Ф. Шидловская, составление, 2004

П Р О Г Р А М М А

Тема 1. Ряды

Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Действия над рядами. Необходимое условие сходимости.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.

Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды. Применение рядов к приближенным вычислениям.

Тема 2. Теория вероятностей и математическая статистика

Предмет теории вероятностей. Классификация событий. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Понятие случайного события. Относительные частоты. Закон устойчивости относительных частот.

Классическое и геометрическое определение вероятности. Понятие об аксиоматическом построении теории вероятностей. Методы исчисления вероятностей.

Свойства вероятностей. Теоремы сложения. Независимость событий.

Определение условной вероятности. Вероятность произведения событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли. Теоремы Муавра–Лапласа и Пуассона.

Дискретные случайные величины (СВ). Ряд распределения. Функция распределения, ее свойства. Математическое ожидание и дисперсия дискретной СВ.

Непрерывные СВ. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной СВ.

Примеры законов распределения дискретных СВ: биномиальный, Пуассона. Их свойства.

Примеры законов распределения непрерывных СВ: равномерный, показательный, нормальный. Их свойства.

Понятие о различных формах закона больших чисел. Теорема Бернулли и Чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова.

Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма и полигон.

Эмпирическая функция распределения. Выборочная средняя и дисперсия.

Оценки параметров распределения. Точечные оценки. Интервальные оценки. Доверительные интервалы для математического ожидания нормально распределенной СВ при известном и неизвестном среднем квадратическом отклонении. Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения нормально распределенной СВ.

Понятие о статистических гипотезах и критериях согласия. Критерии согласия χ2 – Пирсона и Колмогорова.

1.РЯДЫ

1.1.Числовыеряды. Основныеопределения. Сходимость ряда. Признаки сходимости числовыхрядов

Выражение вида


U1 + U2 + … Un + … = U n ,	(1.1)

n 1

где Un R, называется числовым рядом. Числа U1, U2, …, Un зываются членами ряда, а Un – общий член ряда.

Ряд считается заданным, если известен его общий член: Un n N, т.е. задана функция натурального аргумента.

Суммы

S1 = U1; S2 = U1 + U2, …; Sn = Ui

i 1

… на- = f(n),

(1.2)

называются частичными суммами ряда (1.1).

Если существует конечный предел lim Sn = S, то ряд (1.1) назы-

вается сходящимся, а число S – его суммой. Если же lim Sn не су-

ществует или lim Sn = ∞, то ряд (1.1) называется расходящимся.

Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд (1.1) схо-

дится, то lim Un = 0.

Следствие. Если lim Un ≠ 0, то ряд (1.1) расходится.

	1	называется гармоническим рядом.
Ряд		называется гармоническим рядом.
n 1n

Для него lim Un = 0, но ряд расходится.

1.2.Достаточные признаки сходимости рядов

сположительными членами

1.Признак сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами:

Un (1.3) n 1

Vn , (1.4) n 1

причем члены ряда (1.3) не превосходят соответствующих членов ряда (1.4), т.е. при любом n

Un Vn .

Тогда: а) если сходится ряд (1.4), то сходится и ряд (1.3); б) если расходится ряд (1.3), то расходится и ряд (1.4).

2. Предельный признак сравнения. Если существует конечный предел

lim Un k 0,

n Vn

то ряды (1.3) и (1.4) одновременно сходятся либо расходятся.

3. Признак Даламбера. Если для ряда (1.3) существует

lim	U n 1	l,
	U n
n

то если l < 1 – ряд (1.3) сходится; l > 1 – ряд (1.3) расходится; l = 1, ответа не дает.

4. Радикальный признак Коши. Если для ряда (1.3) существует предел

lim n U n q,

то, если q < 1 – ряд (1.3) сходится; q > 1 – ряд (1.3) расходится; q = 1 – ответа не дает.

5. Интегральный признак Коши. Пусть члены ряда (1.3) поло-

жительны и не возрастают при n → ∞, т.е.

U1 U2 U3 ... Un …,

ипусть f(x) – положительная, непрерывная, невозрастающая функция на [1, ∞] такая, что

	f(1) = U1, f(2) = U2, …, f(n) = Un.
	Тогда ряд (1.3) сходится, если сходится несобственный интеграл
	f (x)dx, и расходится, если этот интеграл расходится.
	f (x)dx, и расходится, если этот интеграл расходится.
1
6

Пример 1.1

Установить, сходится ли ряд, исходя из определения его суммы:

																	3n 2n						; б) 2 + 5 + 8 +11 + …
										а)								6n					; б) 2 + 5 + 8 +11 + …
													n 1					6n
		Решение:
		а) U n					2n		3n									1 n							1				n
																														;
									6n									2										3		;
									6n									2										3
S		1			1			1					1								1					1				1			1					1		1			1				1
															...																				...									...
															...										3n							22			...								32	...
n		2			3			22					32							2n					3n					2		22					2n			3			32				3n
			b1 1 qn								1					1					1							1
													1									1
	Sn										2						2n				3						3n						1			1				1		3		1		1				1
																														1						1												.			.
				1 q												1										1				1			2n			1						2		2n		2		.	3n		.
				1 q									1			1						1				1							2n			2			3n			2		2n		2			3n
													1			2						1				3
S = lim Sn														3						1								1				3
									lim																									, следовательно, по опре-
									lim					2					2n													2		, следовательно, по опре-
		n							n					2					2n					2 3n								2
делению ряд сходится.
		б) 2 + 5 + 8 + 11 + … an = a1 + d (n - 1), a1 = 2, d = 3, следователь-
но, an = 2 + 3 (n – 1).
		Sn				a1 an						n					2 2 3 n 1														n		4 3 n 1								n.
		Sn						2				n										2									n					2					n.
								2														2														2
		S =		lim Sn									1	lim 4 3 n 1 n ,																						следовательно,									ряд по
				n									2 n

определению расходится.

Пример 1.2.

Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости ряда:

n 1				1	1
а)	n	;	б)			.

n 1			n 1n		3n

Решение:

а)

lim U n

lim

n 1 1 0, следовательно, ряд расходится.

б)

lim U n

lim

0 ,

следовательно,

необходимый при-

n n3n

знак сходимости ряда выполняется.

Пример 1.3

Исследовать сходимость рядов

а)

; б)

; в)

;

n 1ln n 1

n 1n4 1

n 1

г)

;

д)

4n 1

n 1

n 11

Решение:

а). Сравним данный ряд с рядом

расходящимся. Так как

n 1n 1

(ln n < n), то по признаку сравнения данный ряд рас-

ln n 1

n 1

ходится.

б). Сравним с рядом

, p = 3 > 1, ряд сходится.

n 1n3

По предельному признаку сравнения

lim

1 0,

n Vn

n n4

1 n3

n n4 1

следовательно, данный ряд сходится.

Для сравнения часто используются ряды:

aqn 1 – геометрический ряд, при

< 1 – ряд сходится,

n 1

при

1 – расходится.

– обобщенный гармонический ряд, при p > 1 – схо-

n p

n 1

дится; при p 1 – расходится.

в). По признаку Даламбера

9 n

9 n 1

n 1

9 < 1,

n 1

lim

n 1

lim

n 1

10n n

n 1

следовательно, данный ряд расходится.

г). По радикальному признаку Коши:

lim n U n

lim

3n 1

lim

3n 1

< 1,

4n 1

n 4n 1

следовательно, ряд сходится.

д). По интегральному признаку Коши.

f x

– невозрастающая функция, так как ее

производная

f / x

1 x2

< 0 при x > 1.

1 x2 2

Имеем

xdx

lim

lim ln1 x

lim ln1 b

ln2 ,

1 1 x2

b 1 1 x2

2 b

следовательно, несобственный интеграл расходится, значит, и ряд расходится.

1.3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница


Ряд U n	(1.5)

n 1

называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Если ряд


Un ,	(1.6)

n 1

составленный из модулей членов ряда (1.5), сходится, то ряд (1.5) также сходится.

Ряд (1.5) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

(1.6).

Сходящийся знакопеременный ряд (1.5) называется условно сходящимся, если ряд (1.6) расходится.

Ряд вида

1 n 1U n U1 U2 U3 U4 ... 1 n 1Un ..., (1.7)

n 1

где Un > 0, n = 1, 2, …, называется знакочередующимся.

Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда (1.7) удовлетворяют условиям:

1). U1 > U2 > U3 > … > Un > …;

2). limU n 0 ,

то ряд (1.7) сходится. Остаток ряда rn

rn = (-1)nUn+1 + (-1)n+1Un+2 + …

имеетзнаксвоегопервогочленаименьшеегопомодулю, т.е. |rn| < Un+1.

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]