Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1314 вуза, 5303 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Математическое обеспечение промышленных роботов

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
24.11.2025
Размер:
2.44 Mб
Скачать
☆

ЛЕКЦИЯ 9

Кинематическая энергия манипулятора

dKi 12 (xi2 yi2 zi2 )dm 12 sled (UiUiT )dm 12Tr(UiUiT )dm. (9.1)

Подставляя в выражение (9.1) значение Ui из равенства (8.20), получим выражение для кинетической энергии элемента массой dm

 

dKi

1

 

 

Tr

 

i

 

 

i

ri

 

i

 

 

i

 

 

T

 

 

 

 

 

 

2

 

Uipqp

 

( Uir qr

 

ri )

dm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1

 

 

 

r 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

i

i

 

 

rirTUT q

 

q

 

 

 

 

(9.2)

 

 

 

 

2

Tr Ui

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1 r 1

ip i i

ir

p r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

i

i

 

i

 

 

 

 

i T

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tr

 

U (

rdm

 

q q .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r )U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 p 1r 1 ip

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

i

 

ir

 

p r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

 

dK

 

1

 

 

Tr

 

i i

 

 

 

(

 

ir irT dm)UT q

q

 

(9.3)

 

2

 

U

 

 

.

i

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

p 1r 1

 

 

ip

 

i i

 

 

 

 

 

ir

p r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегральный член в скобках представляет собой матрицу инер-

ции Ji i-го звена

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 dm

 

x y dm

 

x z dm

 

 

 

 

i1

i i

i i

 

 

 

xi yidm

 

yi2dm

yi zidm

i

ri

i T

 

 

Ji

ri

dm

xi zidm

yi zidm

 

zi2dm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x dm

 

y dm

 

z dm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

i

 

i

xi dm

yi dm . (9.4)

zi dm

dm

40

Преобразуя выражения, получим

 

I xx I yy I zz

 

I xy

 

I xz

 

 

 

 

2

 

 

I xx I yy I zz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I xy

 

 

 

I yz

2

Ji

 

 

I xx I yy I zz

 

 

 

 

 

 

I xz

 

I yz

 

 

 

 

2

 

x

 

y

 

 

 

mi

z

 

mi i

 

mi i

 

 

mixi

miyi , (9.5)

mizi mi

где ir (x ,

y ,

z ,

 

1)T однородные координаты центра масс i-го зве-

 

i

i

i

 

i

 

 

 

на в i-й системе координат;

 

I

 

 

 

 

2

 

 

k прини-

 

 

 

xk

 

xi xj dm – тензор инерции, где i, j,

 

ij

 

ij

k

 

 

 

 

мают значения xi, yi, zi (оси i-й системы координат), а ij

– символ

Кроникера.

 

 

 

 

 

 

 

k2

k2

k2

k2

 

 

 

k2

 

 

i11

i22

i33

 

 

 

 

 

 

2

 

 

i12

 

 

 

i13

 

 

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k2

 

ki11

ki22

ki33

 

 

k2

 

 

 

 

 

 

 

Jk mi

 

i12

 

 

2

 

 

 

i23

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

 

 

ki213

 

 

ki223

 

 

ki11

ki22

ki33

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

yi

 

 

 

zi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

yi . (9.6)

zi 1

Здесь K

 

 

I jk

и j, k = 1, 2, 3, а

ir (x ,

y ,

z , 1)T

– радиус

ijk

 

 

 

mi

 

i

i

i

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вектор центра масс i-го звена в системе координат i-го звена.

41

n

 

 

 

1

n

i

i

T

 

 

 

K Ki

 

 

 

 

 

 

 

Tr Uip JiUir qpqr

i 1

 

 

 

 

2 i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1r 1

 

 

 

(9.7)

 

 

 

n

 

i i

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

T

 

 

 

 

 

 

Tr(Uip JiUir )qpqr

.

 

 

 

 

 

i 1 p 1r 1

 

 

 

 

 

 

Потенциальная энергия манипулятора

P m g

0z

m g( 0A iz ),

i 1, 2, ..., n.

 

 

 

i

 

 

 

 

 

i

 

i

 

 

i

 

i

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n

m g( 0A iz ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

i

j 1

 

i

i

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение движения манипулятора

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

n

 

i

 

i

 

 

 

 

T

 

 

n

 

0

 

 

 

i

 

L

2

 

 

 

 

 

mi g(

Ai

ri ) .

 

Tr(Uij JiUik )qiqk

 

 

 

 

 

 

 

i 1 j 1k 1

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

L

 

L

 

n

j

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

qi

Tr(U jk JiU ji )qk

 

 

 

 

 

 

qi

 

j i k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n j

 

j

 

 

 

 

 

T

 

 

n

 

j

 

 

 

 

 

 

Tr(U jkm J jU ji )qk qm mj gU jirj ,

 

 

j i k 1m 1

 

 

 

 

 

 

 

 

j i

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1, 2, ..., n.

n

 

n n

 

i 1, 2, ..., n,

i Dik qk hikmqk qm ci ,

k 1

 

k 1m 1

 

 

(t) D(q(t) q(t) h(q(t), q(t)) c(q(t)) ,

 

 

 

 

 

(9.8)

(9.9)

(9.10)

(9.11)

(9.12)

(9.13)

где (t) – вектор (размерностью n × 1) обобщенных сил, создаваемых силовыми приводами в сочленениях манипулятора:

(t) (

(t),

(t), ..., (t))T ;

(9.14)

1

2

n

 

42

q(t) – вектор (размерностью n × 1) присоединенных переменных манипулятора:

q t q1 t , q2 t , ..., qn t T ;

(9.15)

q(t) – вектор (размерностью n × 1) обобщенных скоростей:

 

 

 

 

T

(9.16)

q(t) q1

(t), q2

(t), ..., qn (t) ;

q(t) – вектор (размерностью n × 1) обобщенных ускорений:

 

 

q(t)

q1(t), q2 (t), ..., qn (t) ;

(9.17)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

D

 

n

Tr(U

 

J

UT ) ,

i 1, 2, ..., n;

(9.18)

 

jk

ik

 

j max(i,k )

 

k

 

ji

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h(q, q) – вектор (размерностью n × 1) кориолисовых и центро-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бежных сил:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

,

 

 

 

h(q, q) h1, h2 , ..., hn

 

 

 

 

n n

 

 

 

 

 

i 1, 2, ..., n,

(9.19)

 

hi hikmqk qm ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1m 1

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

n

Tr(U

 

 

J UT ) ,

 

i 1, 2, ..., n;

(9.20)

 

 

jkm

 

ikm

j max(i,k,m)

 

j

ji

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c(q) – вектор (размерностью n × 1) гравитационных сил:

 

c(q) (c , c , ..., c )T ,

 

 

 

1

2

n

 

n

( m gU

 

jr ),

i 1, 2, ..., n.

(9.21)

c

ji

i

i

j

 

 

j i

 

 

 

 

 

43

Уравнение движения манипулятора с вращательными сочленениями

D11

D12

D13

D14

D15

D16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D12

D22

D32

D24

D25

D26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D13

D23

D33

D34

D35

D36

 

,

(9.22)

D( )

 

 

 

 

 

 

D14

D24

D34

D44

D45

D46

 

 

 

 

D25

D35

D54

D55

D56

 

 

 

D15

 

 

 

 

D26

D36

D64

D65

D66

 

 

 

D16

 

 

 

где

D11 T 2 U11J1U11T T 2 U 21J 2U T21 T 2 U 31J 3U T31T 2 U 41J 4U T41 T 2 U 51J 5U T51 T 2 U 61J 6U T61 ;

D12 D21 T 2 U 22 J 2U T21 T 2 U 32 J 3U T31 T 2 U 42 J 4U T41

T 2 U 52J 5U T51 T 2 U 62 J 6U T61 ;

D13 D31 T 2 U 33J 3U T31 T 2 U 43J 4U T41 T 2 U 53J 5U T51

T 2 U 63J 6U T61 ;

D14 D41 T 2 U 44J 4U T41 T 2 U 54J 5U T51 T 2 U 64 J 6U T61 ;

D15 D51 T 2 U 55J 5U T51 T 2 U 65J 6U T61 ;

D16 D61 T 2 U 66 J 6U T61 ;

44

D22 T 2 U 22 J 2U T22 T 2 U 32 J 3U T32 T 2 U 42 J 4U T42

T 2 U 52 J 5U T52 T 2 U 62 J 6U T62 ;

D23 D32 T2 (U33 J3U32T ) T2 (U43 J4U42T )

T2 (U53 J5U52T ) T2 (U63 J6U62T );

D24 D42 T2 (U44 J4U42T ) T2 (U54 J5U52T ) T2 (U64 J6U62T );

D25 D52 T2 (U55 J5U52T ) T2 (U65 J6U62T );

D26 D62 T2 (U66 J6U62T );

D33 T2 (U33 J3U33T ) T2 (U43 J4U43T ) T2 (U53 J5U53T ) T2 (U63 J6U63T );

D34 D43 T2 (U44 J4U43T ) T2 (U54 J5U53T ) T2 (U63J6U63T );

D35 D53 T2 (U55 J5U53T ) T2 (U65 J6U63T );

D36 D63 T2 (U66 J6U63T );

D44 T2 (U44 J4U44T ) T2 (U54 J5U54T ) T2 (U63 J6U64T );

D45 D54 T2 (U55 J5U54T ) T2 (U65 J6U64T );

D46 D64 T2 (U66 J6U64T );

D55 T2 (U55 J5U55T ) T2 (U65 J6U65T );

D56 D65 T2 (U66 J6U65T );

D66 T2 (U66 J6U66T ).

45

hi16

hi11 hi12 hi13 hi14 hi15

 

 

 

 

 

hi12

hi22 hi32 hi24 hi25

 

hi23

hi33

hi34 hi35

hi13

H iv

hi24

hi34

hi44

hi45

hi14

hi15 hi25

hi35

hi54 hi55

hi16 hi26

hi36

hi64

hi65

hi26

hi36 , i 1, 2, ..., 6. (9.23)

hi46 hi56

hi66

(t) 1(t), 2 (t), ..., 6 (t) .

hi T Hi,v .

 

 

 

 

 

T

H

 

 

 

 

h1

 

 

 

 

 

T

1,v

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

h2

 

 

T

 

2,v

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

H3,v

 

3

 

 

 

 

 

 

.

h( , )

 

 

T

H4,v

 

 

h4

 

 

 

 

h

 

T

 

 

 

 

 

 

5

 

 

H

 

 

 

 

 

5,v

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H6,v

(9.24)

(9.25)

(9.26)

c( ) (c , c , c , c , c , c )T ,

(9.27)

1

2

3

4

5

6

 

где

c1 (m1gU11 1r1 m2 gU21 2r2 m3gU31 3r3 m4 gU41 4r4m5 gU51 5r5 m6 gU61 6r6 );

c2 (m2 gU22 2r2 m3gU32 3r3 m4 gU42 4r4m5 gU52 5r5 m6 gU62 6r6 );

c3 (m3 gU33 3r3 m4 gU43 4r4 m5 gU53 5r5 m6 gU63 6r6 );

46

c4 (m4 gU44 4r4 m5 gU54 5r5 m6 gU64 6r6 );

c5 (m5 gU55 5r5 m6 gU65 6r6 );

c6 m6 gU66 6r6.

ЛЕКЦИЯ 10

Уравнения Ньютона-Эйлера

Вращающиеся системы координат

 

Рис. 10.1. Вращающаяся система координат

 

 

r xi yi zi;

(10.1)

 

r x i y i z i .

(10.2)

d( )

– скорость в неподвижной системе координатOXYZ;

(10.3)

dt

 

 

47

d* (_) – скорость в подвижной вращающейся системе координат dt

OX*Y*Z* .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10.4)

dr

 

 

 

 

 

 

di

 

 

 

dj

 

dk

 

 

 

(10.5)

dt

xi yj zk x dt

y dt z

dt

xi yj zk.

d*r

*

 

 

 

*

 

 

*

 

 

* d*i*

 

 

 

* d* j*

* d*k*

(10.6)

dt

x i

y

j

z k

 

x

 

dt

y

dt

z

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

*

 

 

 

*

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x i

y

j

z k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr

* *

 

 

*

*

*

 

*

 

 

* di*

 

 

 

* dj*

* dk*

 

dt

x i

 

y j

z k

 

x

dt

y

dt

z

dt

(10.7)

 

 

 

 

d*r

 

* di*

 

 

* dj*

 

 

 

* dk*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

x dt y

dt z

dt .

 

 

Рис. 10.2. Скорость во вращающейся системе координат

48

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ds

s.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ds lim

 

s t t s t

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

t 0

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

lim

 

s t t s t

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 0

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

ssin .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

ssin t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr

d r

x i y j

z k d r

r;

dt

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

d2r

 

 

 

d d r

 

dr

 

d

r

 

 

 

 

 

dt2

 

 

 

 

 

 

dt

 

dt

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 2r

 

d r

 

d r

 

 

 

 

 

d

r

 

 

 

dt2

 

dt

 

r

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 2r

2 d r

r d r.

 

 

 

 

 

 

dt2

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

dt

 

 

(10.8)

(10.9)

(10.10)

(10.11)

(10.12)

(10.13)

(10.14)

49

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности