Математический анализ

П р и м е р 8.2

Найдем производную степенно-показательной функции y u(x) (x) , где u(x), (x) дифференцируемы и u(x) 0 .

Р е ш е н и е

ln y ln(u(x)v(x) ) ; ln y (x) ln(u(x)) ;

(ln y) ( (x) ln(u(x))) ;

1y y (x) ln(u(x)) (x) u(1x) u (x);

y y( (x) ln(u(x)) (x) u (x)) u(x)

u(x) (x) ln(u(x)) (x) (x) u(x) (x) 1 u (x) .

У п р а ж н е н и е 8.1. Найти производную для функции y (1 x2 )tg x . У п р а ж н е н и е 8.2. Найти yx для функции y y(x) , заданной урав-

З а д а н и я

За д а н и е 8.1

Найти производную неявной функции.

80

З а д а н и е 8.2

Найти производную неявной функции в заданной точке.

1)x2 2xy y2 6x 2 y 5 0, M (5, 0) ;

2)9x2 4xy 6 y2 8x 16 y 50 0, M (2, 1) ;

3)y2 x ln y , M (1, 1) ; 4) ey xy e, M (0, 1) ;

x

5)4x 4y 4x y , M (1, 0) ; 6) sin2 (x y) 2xy, M ( ; 0) ;

81

82

9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Пусть (O, x, y) – прямоугольная система координат на плоскости. Рассмотрим график функции y f (x) (множество точек с координатами (x, f (x)). Пусть M0(x0 , f (x0)), M1(x0 x, f (x0 x)) – точки на графике (рис. 9.1).

Рис. 9.1. Секущая y f (x0 ) tg (x x0 )

Рассмотрим секущую на графике, проходящую через точки М0 и М1 , тогда

Из формулы (9.1) видно, что касательная – предельное положение секущей М0М1 при x 0 .

Действительно, секущая М0М1 задается уравнением y f (x0) tg (x x0) (уравнение прямой, проходящей через точку (x0, f (x0 )) с угловым

83

Рис. 9.2. Касательная y f (x0 ) f (x0 )(x x0 )

Определение 9.2. Пусть функция y f (x) имеет в точке x0 бесконечную

производную (см. определение 6.5). Тогда касательная к графику функции в точке (x0, f (x0 )) – вертикальная прямая x x0 .

Определение 9.3. Нормалью к графику функции y f (x) в точке M0 (x0, f (x0 )) называется прямая, проходящая через точку M0 и перпендикулярная касательной к графику в этой точке.

Если f (x0 ) 0 , то из (9.2) следует, что уравнение нормали имеет вид

(так как угловые коэффициенты k1 и k2 перпендикулярных прямых связаны соотношением k1k2 1).

П р и м е р 9.1

y x2 1, M0 (1, 2) . Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке M0 .

Р е ш е н и е

x0 1; y(1) 2 , поэтому точка M0 лежит на кривой; y 2x; y (1) 2 . Тогда по формуле (9.2)

y 2 2(x 1) 2x – уравнение касательной.

84

y2 2(x 1) 2x, y 10 6(x 3) 6x 8 – уравнения касательных.

Уп р а ж н е н и е 9.1. На кривой y x3 x2 найти точки, в которых касательные параллельны прямой y 5x 1.

Рассмотрим точки M0 (x0, f (x0 )) и M1(x0 x, f (x0 x)) на графике функции y f (x) . Тогда по формуле (6.6)

df (x0 ) f (x0 ) x ,

а по формуле (9.2)

y f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) f (x0 ) x –

приращение касательной, когда приращение независимой переменной х равно x , поэтому значение df (x0 ) равно приращению касательной, рис. 9.3.

85

Тогда

дробь задает приращение функции на единицу приращения независимой переменной х (скорость приращения функции). Поэтому, согласно (9.7), f (x0 ) – мгновенная скорость приращения функции. Если тело движется

прямолинейно и х задает время, а f (x) – путь, пройденный телом за время t , то f (x0 ) – мгновенная скорость в момент времени x0 .

П р и м е р 9.5

Пусть y x2, x0 1, x1 1,1, x 0,1 (см. пример 9.3). Тогда

y 0,21 2,1 – средняя скорость движения на этом промежутке;

x 0,1

y (x0 ) 2x0 2 – мгновенная скорость в момент времени x0 1.

Пусть точка M (x, y, z) движется в пространстве, и траектория ее

87

r (t) направлен по касательной к кривой (9.8) в точке M (x(t), y(t), z(t)) .

y sin t,

r(t) cost i sin t j .

Найдем r (t) при t 0, t 4 .

Рис. 9.4

88

У п р а ж н е н и е 9.3

Пусть винтовая линия

x cost;

y sin t, t 0 – траектория движения точки M (x, y, z) .

z t;

Составить уравнения касательной и нормали линии, заданной уравнением, в указанной точке М.

5)3x2 4xy 4x 8y 0, M 1, 1 ;

4

6)x2 4xy 4 y2 6x 3y 15 0, M 2, 1 ;

7)x2 y2 9, M 0, 3 ;

8)y2 8x, M (2, 4) ;

9)y tg 2x в начале координат;

10)y e1 x2 в точках пересечения с прямой y 1.

З а д а н и е 9.2

Составить уравнения касательной и нормали к линии, заданной параметрическими уравнениями, при указанном значении параметра t.

1)x t, y t2, t 2 ;

2)x t 1, y t 1 2 , t 1;

3)x t3, y t4, t 1;

4)x 2(t sin t), y 2(1 cost), t 2 .

89