Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

У п р а ж н е н и е 6.5. Проверить, что:

а)

y a arctg

;

x2 a2

б)

y arcsin a y

a2 x2 .

Определение 6.5. Пусть функция y f (x) непрерывна в точке x0 и

lim	f (x0 x) f (x0 )	,
	x
x 0

тогда f (x) имеет в точке x0 бесконечную производную.

Уп р а ж н е н и е 6.6. Найти y (0) для функций (рис. 6.2)

a)y 3 x2 ; б) y x2 ; в) y sin 3 x2 ; г) y 3 x2 sin 3 x2 .

	Рис. 6.2
			;
0, x		2	;
		2

				x 0;
У п р а ж н е н и е 6.7. y cos x,		2		x 0;
		2
	1, x 0.

Найти y (x) . Построить графики функций y(x) , y (x) .

	2x 2,					x 1;
У п р а ж н е н и е 6.8. y	1	x2, 1 x 1;

		2x 2, x 1.


Найти y (x) . Построить графики функций y(x) , y (x) .
		2	sin	1	; x 0;
У п р а ж н е н и е 6.9. y	x		sin	x	; x 0;
У п р а ж н е н и е 6.9. y				x
		0; x 0.
		0; x 0.
						на непрерывность.
Найти y (x) . Исследовать y(x) , y (x)						на непрерывность.
У п р а ж н е н и е 6.10. Показать, что функция y							1 x2 недифферен-

цируема в точке x0 1 (условие (6.3) не выполняется).

З а д а н и я

За д а н и е 6.1

Пользуясь определением, вычислить производные функций в указанных точках:

1)y x3 2 в точке x 2;

2)y x в точках x 1, x 2 ;

3)y 3 x 1 в точке x 1;

4)y 3x в точке x 3 ;

5)y arcsin x в точке x 0 ;

6)y arctg x в точке x 1.

За д а н и е 6.2

cos x

Вычислить

, если

З а д а н и е 6.3

Исследовать дифференцируемость функции в указанной точке: 1) y 3 x2 в точке x 0 ; 2) y x x в точке x 0 ;

3)	sin x при x 0,			в точке x 0 ;
	y		при x 0
	x
4)	y	ln x	в точке x 1;

			2	sin	1	при x	0,
5)	x				x			в точке x 0	;
	y
				0 при x 0

6)	y e	x		в точке x 0 .

З а д а н и е 6.4

Пользуясь формулами дифференцирования и таблицей производных,

найти производные следующих функций:

1) y 5x2 2x 3 ;

2) y x2 ln x ;

3) y

;

cos x

x 1

y x

;

5) y

;

y ln x arcsin x ;

x 1

2x 3

;

y xarccos x ; 9)

y 2x ctg x ;

x2 5x

10)

sin x cos x

;

11)

sin x

cos x

12)

5x ;

13)

7 ;

3 x5

4 x

14) y tg x log7 x ;

15)

y arcctg x 3 x2 ;

16)

x(x2 x 1) ;

17)

x ln x arctg x ;

18)

y (x 1)2x sin x ;

19)

x2 1

;

2x3 3x

20)

;

21) y log3 x log3 7 ;

3x3

3 x

y 2x2 ln x x2

22)

y lg5 arctg x ;

23)

24)

x4 1

;

25)

x5 1

x2 1

x 1

З а д а н и е 6.5

Найти производные сложных функций.

y cos2 x ; 2)

y sin3x ; 3)

y arccos

x ;

x2 1;

5) y ln2 x ln ln x ;

y tg x ln cos x

tg x

;

y 2ctg 1x ;

1 ln2 x ;

cos x 2

cos x ;

y ln( 1 ex

1) ;

10)

y ln arcsin x

11) y

xarcsin x

1 x2 ;

12)

y arctgln x ;

1 x2

13)

y 2arcsin 3x arccos2 3x ;

14)

y ln(x

x2 3) ;

15)

1 1 x ;

17) y

1 tg

(3x) ;

y 1 x

; 16)

18)	y ln(1	x) ;	19) y ln3(1		x) ;	20) y		1	x2 ;
								1	x2
21)	y 3x2	2 (x 3)5 ;		22) y tg7 (5x) ;			23)	y sin3(ln x) ;
24)	y ln3(sin x) ;		25) y	3x2 x6 ;		26)	y esin x ; 27) y esin3 x ;
28)	y eex ;	29)	y sin3 x sin3 ;		30) y cos5 x ln3(2x) ;
				5

							1 x2
31)							1 x2
31)	y sin(arccos x) ; 32) y arcsin(sin x) ; 33) y 2
34)	y 2x2 cos3 x ;				35)	y 3 1 x2 3x2 ; 36) y cos3 x
37)	y	1 x2		;	38)	y x 1 x2 arcsin x ;
37)	y			;	38)	y x 1 x2 arcsin x ;
		ln(1 x2 )
39)	y xln(1 x2 ) 2x 2arctg x ; 40) y x 1 x2						ln(x
		x 1
41)	y ln		2arctg x ; 42) y cos3 x 3cos x .
41)	y ln		2arctg x ; 42) y cos3 x 3cos x .
		x 1

З а д а н и е 6.6

Найти производную заданной функции и вычислить указанной точке.

cost

в точке t

;

y (x2 x 2)2

в точке

sin t

y sin2 2x в точке x

;

x 1

в точке x 2.

x 1

			З а д а н и е 6.7
Найти дифференциалы заданных функций.						x
	y xln x x ;		x
1)		2)	y arcsin	;	3) y arctg		;
						a
			a
4)	y ln(1 e10x ) arctg e5x ;

;

sin x ;

1 x2 ) ;

еезначение в

x1;

	arcsin x (arctg x)2 ; 6)											x
5) y									y ln tg				.
5) y									y ln tg	2		4	.
										2		4
									Ответы
6.1. 1) 12;		2)	1	;	1		;	3) ;	4) 27ln3;		5) 1;		6)	1 .
6.1. 1) 12;		2)	2	;	2	2	;	3) ;	4) 27ln3;		5) 1;		6)	1 .
			2		2	2								2

		1,						1 .
6.2. y	2	1,			y		2	1 .
	2						2

6.3. 1) недифференцируема ( y (0) , y (0) );

2)дифференцируема ( y (0) 0);

3)недифференцируема y (0) 1, y (0) 1);

4)недифференцируема ( y (1) 1, y (1) 1);

5)дифференцируема ( y (0) 0 );

6)недифференцируема ( y (0) 1, y (0) 1).

6.4. 1)

y 10x 2 ; 2)

y 2xln x x ;

3x (ln 3cos x sin x)

;

cos2 x

ln x

;

x arcsin x

;

(x 1)2

1 x2

2x2 6x 25

; 8) y arccos x

;

(x2 5x 5)2

1 x2

y 2x ln 2ctg x

;

10)

sin2 x

1 sin 2x

2 x 1

6.5. 1) sin 2x ;

3cos3x ;

;

; 5)

2ln

;

2 x x2

x 1

xln x

ln cos x sin2 x

x sin x cos x

;

2ctg x ln 2

;

cos2 x

sin

2 1

sin x 2 cos x

(1 ln 2

cos x) ;

;

cos x

2 1 e

1 e

10)

ln x ;

11)

arcsin x

;

12)

;

arcsin x 1 x2

x(1 ln2 x)

(1 x2 )2

13) ln8 2arcsin 3x 6arccos3x

;

14)

x2 3

x x2 3

1 9x2

6.6. 1)

;

x 2)

;

1 sin t

, y

(2x 1), y (1)

3) y

2sin 4x, y

y (2)

1 (x 1)

6.7. 1) dy ln xdx ;

2) dy

;

3) dy

adx

;

a2 x2

x2 a2

(2e

2arcctg x

4) dy

dx ;

5) dy

dx ;

10x

arcsin x(1 x

)

1 x

1 e

6) dy

2sin

7. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ

Рассмотрим плоскость с фиксированной системой координат (O, x, y). Пусть точка M (x, y) движется по плоскости, и траектория ее движения

x x(t);	(7.1)
	(7.1)
y y(t),
где t – время, или	j ,
r(t) x(t) i y(t)	j ,

где r(t) – радиус-вектор точки М.

Предположим, что для функции x x(t) существует обратная функция t x 1(x) (например, когда x x(t) строго монотонна). Тогда (7.1)

задается также в виде y y(x 1(x)) .

Пусть M0(x0, y0) – точка на кривой (7.1), где

x0 x(t0 )y0 y(t0 ).

Предположим, что x(t) и y(t) дифференцируемы и x (t0 ) 0.

a2 x2 . Если из формулы (7.3) исключить t,

Тогда по формулам (6.11), (6.15)

(x0 )) (x

y (x0 ) ( y(x

(x)))

x x0

yt (x

) (x0 )

yt (t0 )

(t0 )

xt (t0 )

Таким образом для функции, заданной в виде (7.1), производная

x x(t)

y (t) .

(7.2)

y =

xt (t)

П р и м е р

Найти yx

0 t .

x a cost;

для функции

y bsin t.

Р е ш е н и е

Функция x a cost монотонно убывает на промежутке обратная: t arccos ax . По формуле (7.2)

	x a cost;
			b	cost
		(bsin t)	b	cost
yx					, t (0;	).
yx			a	sin t	, t (0;	).
		(acost)	a	sin t

0; . Для нее

(7.3)

Кривая в примере – параметрическое задание эллипса (верхней части), заданного уравнением y ba

то получим

cos arccos

sin arccos

1 cos2

arccos

)

что совпадает с производной

У п р а ж н е н и е 7.1. Найти yx для функции

x a ch t;		t 0 .

y bsh t,
У п р а ж н е н и е 7.2. Найти yx для функции
x a cost;	t 0,

y bsin t,

для параметрического задания эллипса (нижняя часть). Найти y для

явного задания y b	a2 x2	эллипса. Проверить совпадение
a
найденных формул.

Сводка формул

x(t )

y (t )

x x(t);
	y (t)
	y (t)
yx	t	.
yx	xt (t)	.
	xt (t)

З а д а н и я

За д а н и е 7.1

Вычислить производную yx											для функции, заданной параметрически.
																	1
	x 2t 1,							2						x arccos							,
											t,			x arccos			1 t		2		,
																			2
1)				2)	x a cos							3)
1)		3		2)				2				3)					1
	y t	3	;		y bsin			2		t;							1
					y bsin					t;
														y arcsin			1 t		2	;
																	1 t
	x a(t sin t),												t									x t(1 sin t),
4)					5)	x a(ln tg									cost	sin t),			6)
						x a(ln tg							2		cost	sin t),
													2										y t cost;
	y a(t cost);						a(sin t cost);																y t cost;
						y	a(sin t cost);
						3at
					x				,															1
	x ash t,				x	1 t	2		,						x 2ln ctgt,									1	sin 2t,
7)	x ash t,			8)		1 t						9)			x 2ln ctgt,			10)				x t		2	sin 2t,
7)				8)		3at2						9)				ctgt;		10)						2
	y bch t;					3at2							y tgt			ctgt;							y cos			3	t;
					y				;
					y	1 t	2		;
						1 t

	x ctgt,																						t 1
	x ctgt,												x cost sin t,						x ln					t			,		x lnsin t,
11)						1			12)								13)							t				14)
11)						1			12)								13)											14)
		y						;						y tg2 t;										1					y ecos 2t ;
		y						;						y tg2 t;										1					y ecos 2t ;
				cos2 t																						;
				cos2 t															y		t	2		t		;
																					t			t						2 t
						3																								2 t
															2										3				x			,
	x sin					2	t,						x ln(1 t		2	),				3cos					3	t,			x	2 t	2	,
15)	x sin						t,		16)				x ln(1 t			),	17)		x	3cos						t,		18)		2 t
15)						3			16)								17)								3			18)		t2
						3						y t arctgt;							y	9sin					3	t;				t2
																			y	9sin						t;
	y cos2 t;																												y				;
	y cos2 t;																												y	2 t	2		;
																														2 t
							1
	x									,							2
	x			2						,							2	1),
19)			t				3t		2			20)		x arcsin(t				1),
19)			t				3t		2			20)
	y						2							y arccos2t.
											;
				2							;
			t	2	5t			4
			t		5t			4

З а д а н и е 7.2

Вычислить ddyx при заданном значении параметра t.

		x t,																						t	cost,
1)					ln t				приt 1;										x e						cost,			при t					;
1)					ln t		,		приt 1;									2)										при t				2	;
	y					t	,												y et sin t,													2
						t
		x ctgt,																							x e		t2		,
3)						1						при			t				;	4)					x e				,				приt 1;
3)						1						при			t				;	4)													приt 1;
	y										,							4					y arctg(2t 1),
	y										,							4					y arctg(2t 1),
					cos2 t
		x 4tg						2		t		,																		2	t,
								2																						2
5)									2							при t						;			6)	x ln						приt					e;
5)									2							при t					2	;			6)				2t3,			приt					e;
				2		sin t						cost			,						2					y			2t3,
	y			2					3						,
	x sect,																			x arcsin 2t,														1
7)	x sect,								при t								; 8)												приt					1	;
7)			tgt,						при t							6	; 8)					1 4t2							приt					4	;
	y		tgt,													6				y		1 4t2							,					4

	x sin t,																												x ln tgt,
9)																			при t						0;				x ln tgt,								приt		.
9)			2et					2 3e t								2 ,			при t						0;	10)					ctgt,						приt	4	.
	y		2et					2 3e t								2 ,													y		ctgt,							4

																									Ответы
7.1. 1)			3t2										b					1;					1		sin t				5) tgt;								cost t sin t			;
						;			2)					;		3)					4)							;						6)
				2		;			2)				a	;		3)					4)		1		cost			;						6)		1	sin t t cost
				2									a										1		cost											1	sin t t cost

7) b th t ;

;

9) ctg 2t;

10)

3sin t

; 11) 2 tg3 t;

12)

tg 2t

;

cos4 t

2t 1

14) 4sin2 tecos 2t ;

13)

;

15) tg 2 t;

16)

; 17) 3tgt ;

t2 t

t 2 2

18)

;

19)

4t 10

;

20)

2 t2

t2 4t

1 4t2

2t 3

t 4

7.2. 1)1; 2) 1;

3) 2;

;

ln3

;

6)3e3;

7) 2; 8)

;

10) 1.

8. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ НЕЯВНО

Пусть функция y f (x) задана неявно в виде

F(x, y) 0 ,

(8.1)

то есть F(x, f (x)) 0, x D( f ) .

Дифференцируем уравнение (8.1) по x, при этом считаем, что y – функция от x, получим уравнение, содержащее x, y, y . Из полученного

уравнения выражаем y .

П р и м е р 8.1

Найти yx для функции y

y(x) , заданной неявно:

Р е ш е н и е

2 y

; y 0 .

1 ;

(8.2)

Рассмотренное в примере 8.1 уравнение эллипса определяет в неявном виде две функции: y ba a2 x2 и x a; a .

Если рассмотреть параметрическое уравнение эллипса

x a cost;

y bsin t, 0 t 2 ,

то после подстановки x и y в формулу (8.2), получим формулу (7.3) (см. пример п. 7.1), t 0, t , t 2 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20254.98 Mб0Математические олимпиады БПИ–БГПА–БНТУ.pdf
#
24.11.20251.63 Mб2Математический анализ. Функции нескольких переменных. Курс лекций для студентов инженерно-технических и экономических специальностей.pdf
#
28.12.2025793.46 Кб0Математический анализ. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.15 Mб1Математический анализ. Ч. 2..pdf
#
24.11.20251.03 Mб1Математический анализ. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.13 Mб1Математический анализ.pdf
#
28.12.2025533.95 Кб0Математическое моделирование в приборостроении. Моделирование механических колебаний.pdf
#
28.12.20252.08 Mб0Математическое моделирование производственных процессов-1.pdf
#
24.11.20252.57 Mб0Математическое моделирование производственных процессов.pdf
#
28.12.20251.25 Mб1Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением-1.pdf
#
24.11.20252.75 Mб1Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением.pdf