Математический анализ

4) x0 1 – точка устранимого разрыва 1-го рода, x1 0, x2 2 – точки бесконечного разрыва 2-го рода;

5)x0 1 – точка бесконечного разрыва 2-го рода;

6)x0 0 – точка устранимого разрыва 1-го рода;

7)x0 0 – точка неустранимого разрыва 1-го рода;

8)x0 0 – точка неустранимого разрыва 1-го рода;

9)x0 1 – точка неустранимого разрыва 1-го рода;

10)x0 1 – точка неустранимого разрыва 1-го рода;

11)x0 3 – точка неустранимого разрыва 1-го рода;

12)x0 1 – точка неустранимого разрыва 1-го рода;

13)x0 0 – точка бесконечного разрыва 2-го рода; справа в точке x0 0 функция непрерывна; x0 2 – точка неустранимого разрыва 1-го рода;

14)x0 0 – точка бесконечного разрыва 2-го рода.

существует; 5) a 13 .

5.5.1) да; 2) да; 3) да.

5.6.Да.

5.7.Нет.

5.9. Непрерывна в точке x 0 . Точки разрыва 2-го рода x 0 .

60

6. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

П р и м е р 6.1

y sin x . Найти y (x) .

Таким образом, (sin x) cos x . Аналогично (cos x) sin x .

61

П р и м е р 6.2

производные. Построить графики функций y и y . Определить точки,

в которых производные не существуют.

Определение 6.2. Функция y f (x) называется дифференцируемой

где А – постоянное число, не зависящее от x ;

o( x) – бесконечно малая функция более высокого порядка малости,

чем x , при x 0 .

Теорема 6.1. Для того чтобы y f (x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная

y f (x0 ) x o( x) ,

что и требовалось доказать.

62

Определение 6.3. Пусть функция y f (x) дифференцируема в точке x0. Дифференциалом df (x0 ) функции y f (x) в точке x0 будем называть линейную относительно x функцию вида

Для функции f (x) x : dx x x x . Поэтому формулу (6.6) можно переписать в виде

Теорема 6.2. Если функция y f (x) была дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство

Рассмотрим цепочку эквивалентных утверждений:

что и требовалось доказать.

Теорема 6.3. Пусть функции u u(x) и (x) – дифференцируемы,

1 , 2 R .

Тогда:

1) 1u 2 также дифференцируема и

2) u дифференцируема и

3) u дифференцируема в точках, где (x) 0 и

63

Доказательство

П р и м е р 6.3

y tg x . Найти y (x) .

Р е ш е н и е

64

Теорема 6.4. Пусть функции y f (u) и u u(x) дифференцируемы. Тогда и сложная функция y f (u(x)) дифференцируема и

что и требовалось доказать.

П р и м е р 6.4

Найти производную y sin(ln(1 x2 )) .

Р е ш е н и е Данная функция представляется как композиция функций

x 1 x2 ln(1 x2 ) sin(ln(1 x2 )) .

Тогда по формуле (6.11)

С другой стороны, с учетом формулы (6.11)

d( f u)(x) ( f u)x dx f (u(x)) u (x)dx f (u(x)) du fu (u)du . (6.13)

65

Формулы (6.12) и (6.13) показывают инвариантность (неизменяемость) формы дифференциала. В формуле (6.12) dx x , в формуле (6.13) du – дифференциал функции u u(x) . Например, для функции

y sin(ln(1 x2 )) , dy cosudu ,

где u ln(1 x2 ) ,

dy cos(ln t) 1t dt , где t 1 x2 , dy cos(ln(1 x2 )) 1 1x2 2xdx .

Таким образом

П р и м е р 6.7

Найти производную функции y ax .

66

y y ln a ax ln a .

Таким образом,

(ax ) ax ln a ,

в частности: (ex ) ex .

П р и м е р 6.8

y sin5 x ln(tg x) . Найти y .

Р е ш е н и е

По формуле (6.9)

y (sin5 x) ln(tg x) sin5 x (ln(tg x)) 5sin4 x cos x ln(tg x) sin5 x tg1x cos12 x .

y sh x; y ch x; y th x; y cth x .

У п р а ж н е н и е 6.4. Проверить, что

Определение 6.4. Пусть функция y f (x) определена на множестве Х со значениями во множестве Y и такова, что если x1 x2 f (x1) f (x2 ) , рис. 6.1. Пусть f (X ) Y – множество значений функции f . Для такой

функции можно определить обратную функцию f 1 , определенную на множестве f (X ) со значениями во множестве Х по правилу

f 1( f (x)) x .

67

2)(α u) α u , константа;

3)(u ) u u ;

69