Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Рис. 5.6. Функции (x)

Теорема 5.1. Пусть функции u u(x) и			(x) непрерывны в точке x0.
Тогда и функции		u(x) (x), u(x) (x)	непрерывны в точке x0 . Если
(x	) 0 , то u(x)	– также непрерывны в точке x0 .
0	(x)
	(x)

Доказательство следует из теоремы 3.3 и определения 5.1. Определение 5.3. Пусть функция u u(x) определена на множестве Х со

значениями во множестве U и функция y f (u) определена на множестве U со значениями во множестве Y. Тогда функцию y f (u(x)) будем называть сложной функцией ( f u)(x) (композицией функций f и u), рис. 5.7.

Рис. 5.7
Теорема 5.2. Пусть функция u u(x) непрерывна в точке x0	и функция
y f (u) непрерывна в точке u0. Тогда сложная функция	y f (u(x))

непрерывна в точке x0.

Доказательство следует из определения 3.2 и определения 5.1.

П р и м е р 5.5

Исследовать на непрерывность функцию

sin(x2 )

; x 0;

a; x 0,

в зависимости от значений а.

Р е ш е н и е

Функция

y sin(x2 )

непрерывна

(как

композиция двух

непрерывных функций u x2

и y sin u (см. теорему 5.2)).

sin x2

По теореме 5.1

непрерывна x 0. Найдем

lim

sin(x2 )

lim

sin(x2 )

lim

sin(x2 )

lim x 0 .

x 0

Поэтому при

a 0

функция непрерывна

x . При a 0

разрывна

в точке x 0

и непрерывна x 0.

Определение

5.4.

Пусть

функция

y f (x)

определена в

некоторой

окрестности O (x0 ) точки x0 , кроме, может быть, самой точки x0. Пусть x0 –

точка разрыва				функции		y f (x)	и	при этом существуют		конечные
пределы	lim			f (x) f		(x0 0),	lim	f (x) f (x0	0) . Тогда	точка x0
x x0 0						x x0 0			y f (x) .	При этом
называется	точкой				разрыва 1-го		рода функции		y f (x) .	При этом
f (x0 0) f (x0				0)	называется скачком функции. Если скачок равен 0, то
разрыв называется устранимым.
						П р и м е р 5.6
Для функции
	x	2	, x 0;
1	x		, x 0;
y(x)	2, x 0
	2, x 0

(см. пример 3.1), точка x0 0 – точка устранимого разрыва.

Для функции y xsin 1x (см. упражнение 3.4) x0 0 – точка устранимого разрыва.

Для функции	y		sin x		(см. теорему 4.1)	x 0	–	точка устранимого

				x		0
разрыва.
		x2
Для функции	y			1	(см. упражнение 5.2) х = 1– точка устранимого
			x	1
разрыва.
	y sign x					x0 0
Для функции					(см. пример 3.3)		–	точка разрыва 1-го

рода. Разрыв – неустранимый. Скачок функции в точке x0 0 равен 2. Для единичной функции Хевисайда (x) (см. пример 5.4) x0 0 – точка

разрыва 1-го рода. Разрыв – неустранимый. Скачок функции в точке x0 0

равен 1.

Определение 5.5. Пусть функция y f (x) определена в некоторой окрестности O (x0 ) точки x0 , кроме, может быть, самой точки x0. Точка x0 называется точкой разрыва 2-го рода функции y f (x) , если хотя бы один

из односторонних пределов

lim

f (x) или

lim

f (x) равен или не

существует.

x x0 0

П р и м е р 5.7

Для функций

; y 1 1 (см. пример

3.2)

x 0 – точка разрыва

2-го рода. Для функции y sin 1

(см. упражнение 3.4) x 0

– точка

разрыва 2-го рода.

Для

функций

(см.

упражнения

3.7, 3.8)

y ( 1) x

x 0

– точка разрыва 2-го рода. Точки x 1 , n 1, 2, ... – точки разрыва

1-го рода. Разрывы неустранимые.

Для функции

x2 1

(см. упражнение

5.1)

x 1 – точка разрыва

x 1

2-го рода. Для функции Дирихле D (x) (см. пример 5.3) любая точка x0 R – точка разрыва 2-го рода.

П р и м е р 5.8

Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции

y	x 2	, рис. 5.8.
	x2 5x 6

x 2

Рис. 5.8. Функция y x2 5x 6

Р е ш е н и е

Функция – дробно-рациональная. Непрерывна везде, кроме точек, где знаменатель обращается в ноль: x2 5x 6 0, x1 2, x2 3 .

Рассмотрим точку x 2.

lim	x 2			lim		x 2

x 2 0 x2 5x 6			x 2 0 (x 2)(x 3)
		lim	1		1;

	x 2 0 x 3

f (2 0) f (2 0) 1 x 2. – точка устранимого разрыва.

Рассмотрим точку x 3 .
		lim		x 2		lim	1	.
			2)(x 3)
	x 3 0 (x					x 3 0 x 3
lim	x 2	lim	1		x 3 – точка разрыва 2-го рода.
	(x 2)(x 3)
x 3 0		x 3 0 x 3

П р и м е р 5.9

Исследовать на непрерывность и определить тип точек разрыва для функции:

x; x 1;

y1 x2; 1 x 1;x 1; x 1.

Р е ш е н и е

Функции y x, y 1 x2, y x 1 непрерывны x R , поэтому и наша функция непрерывна везде, кроме, может быть, точек x 1 и x 1. Слева

и справа от точек	x 1 функция задается различными аналитическими
выражениями.
Пусть x 1.	lim y		lim	(x 1) 0;
	lim y		lim	(x 1) 0;
	x 1 0		x 1 0
	lim y	lim	(1 x2 ) 0,		y(1) 0,
то есть	x 1 0	x 1 0
то есть
	y(1 0) y(1 0) y(1) 0 ,
поэтому функция непрерывна в точке x 1.
Пусть x 1.
lim	y lim	(1 x2 ) 0;		lim	y lim	x 1 ,
x 1 0	x 1 0			x 1 0	x 1 0
то есть
y( 1 0) y( 1 0)		x 1 –		точка	разрыва	1-го рода (см.

определение 5.3). Разрыв – неустранимый, скачок функции равен 1.

x; x 1;

Рис. 5.9. Функция y 1 x2; 1 x 1;

x 1; x 1

П р и м е р 5.10

Исследовать на непрерывность функцию y

, рис. 5.10.

1 3x 2

x 2, x 0 – точки разрыва функции.

			Рис. 5.10. Функция y	2
			Рис. 5.10. Функция y		x
					x
			1 3		x 2
			Р е ш е н и е
lim	y 2;	lim	y 0 x 2 – точка	разрыва 1-го рода. Разрыв
x 2 0		x 2 0
неустранимый, скачок функции равен –2.
lim	y ; lim		y x 0 – точка разрыва 2-го рода.
x 0		x	0

У п р а ж н е н и е 5.1. Исследовать на непрерывность функцию

y 1 3x 2 .

П р и м е р 5.11
Определить тип точек разрыва функции y	x2	ax 2	в зависимости от
Определить тип точек разрыва функции y		x 2	в зависимости от
		x 2

значений параметра а.

Р е ш е н и е

x 2 – точка разрыва функции. Найдем

lim (x2

ax 2) 2 2a .

x 2

1. Если

a 1,

то

lim (x2 ax 2) 0 lim

ax 2

x 2 –

x 2

точка разрыва 2-го рода.

2. Если a 1, то

lim

x 2

lim

(x 2)(x 1)

lim (x 1) 3 x 2

– точка

x 2

устранимого разрыва.

У п р а ж н е н и е 5.2. Исследовать функцию

x2 (a 2)x 7

; x 1;

x 1

на непрерывность в зависимости от значений а и b.

У п р а ж н е н и е

5.3. В зависимости от значений k

исследовать

на непрерывность функцию

e3x ekx

; x

0 ;

1; x 0.

За д а н и я

За д а н и е 5.1

Исследовать на непрерывность функцию f (x) в точке x0.

f (x)

1 2x 1

0 ;

f (x)

x3 1

, x

x 1

f (x) ln(x 1) , x

0 ;

f (x) sin x sin 1 ,

0 ;

e2x e 2x

f (x)

(1 x) x

, x

0 ; 6)

(x)

З а д а н и е 5.2

Исследовать на непрерывность функцию f (x) и указать тип ее точек разрыва:

f (x)

x2 2

;

2) f (x) arctg

;

3) f (x)

2x 3

;

x3 1

2x 3

1 x

f (x)

x 1

;

5) f (x) 2

;

6) f (x) e

;

7) f (x)	1 cos2x	; 8) f (x)
	x

10)	2x 3 при x 1,
10)	f (x)	3x 2			при x 1;
		3x 2			при x 1;
	e2x при x 1,
			2
		x	2
12)	f (x)	x		при1 x 2,
12)	f (x)	2		при1 x 2,
		2			при x 2;
		2x 2			при x 2;


	sin			2 x при x 1,
		1
14)		1		при 1 x 0,
14)	f (x)			при 1 x 0,
	x				при x 0.
		x 2			при x 0.

; 9) f (x)

;

1 3x

1 e

1 x

x3 при x 1,

11)

при1 x 3,

(x) 2x 1

при x 3;

при x 0,

при 0 x 1,

13)

f (x)

при1 x 2,

при 2 x 3;

З а д а н и е 5.3

Можно ли доопределить функцию f (x) в точке x0, чтобы она стала непрерывной в этой точке?

f (x)

1 x 1

, x

0 ;

2) f (x) xctg x, x

0 ;

f (x)

l cos x

, x 0 ;

4) f (x)

, x

5)	f (x)	sin2 x			, x		0 ;	6) f (x) arctg	1	, x	0 ;
5)	f (x)				, x		0 ;	6) f (x) arctg		, x	0 ;
		1 cos x			0				x	0
		1 cos x							x
7)	f (x) tg			, x		0 .
7)	f (x) tg			, x		0 .
			2 x		0
			2 x

З а д а н и е 5.4

При каких значениях а и b функция будет непрерывной?

		(x 1)3 при x 0,
1)
1)	f (x) ax b при 0 x 1,
		x при x 1;
		x при x 1;

x при

f (x)

ax b

при

	(x 1)2		x	1,

	x2	при
		1

	a	при x 1,
3) f (x)
	b при x 1;

4) f (x) ax2 1 при x 0,

x при x 0;

5) f (x) 1 x3 при x 1,

1 x

a при x 1.

З а д а н и е 5.5

Имеет ли уравнение хотя бы один корень?

1)x4 3x2 2x 1 0 на отрезке 1; 2 ;

2)8x 3 2x 16 0 на отрезке 0; 2 ;

3)sin x x 1 0 на отрезке 0; .

		З а д а н и е 5.6
Будет ли ограничена функция
f (x) 5x2 arctg	x	(x2 x 2)sin	3 x2	на отрезке 0; 100 ?
f (x) 5x2 arctg	x 1	(x2 x 2)sin	3 x2	на отрезке 0; 100 ?
	x 1

З а д а н и е 5.7

Принимает ли функция

x2 1 при 1 x 0,
	0	при x 0,
f (x)
		1 при 0 x 1
x2

наименьшее и наибольшее значение в области ее задания?

З а д а н и е 5.8

Показать, что функция

3x 1 при 1 x 0, f (x) 3x при x 0,

3x 1 при 0 x 1

не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.

З а д а н и е 5.9

Исследовать на непрерывность функцию

	x, x ⁄;
f (x)	x \⁄,
0,	x \⁄,

где ⁄ – множество рациональных чисел, и указать тип ее точек разрыва.

Ответы

5.1.1) x0 0 – точка устранимого разрыва 1-го рода; 2) x0 1 – точка неустранимого разрыва 1-го рода; 3) x0 0 – точка устранимого разрыва 1-го рода; 4) x0 0 – точка устранимого разрыва 1-го рода; 5) x0 0 – точка разрыва 2-го рода;

6) x0 0 – точка устранимого разрыва 1-го рода.

5.2.1) x0 1 – точка бесконечного разрыва 2-го рода; 2) x0 0 – точка неустранимого разрыва 1-го рода;

3) x0 32 – точка неустранимого разрыва 1-го рода;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20254.98 Mб0Математические олимпиады БПИ–БГПА–БНТУ.pdf
#
24.11.20251.63 Mб2Математический анализ. Функции нескольких переменных. Курс лекций для студентов инженерно-технических и экономических специальностей.pdf
#
28.12.2025793.46 Кб0Математический анализ. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.15 Mб1Математический анализ. Ч. 2..pdf
#
24.11.20251.03 Mб1Математический анализ. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.13 Mб1Математический анализ.pdf
#
28.12.2025533.95 Кб0Математическое моделирование в приборостроении. Моделирование механических колебаний.pdf
#
28.12.20252.08 Mб0Математическое моделирование производственных процессов-1.pdf
#
24.11.20252.57 Mб0Математическое моделирование производственных процессов.pdf
#
28.12.20251.25 Mб1Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением-1.pdf
#
24.11.20252.75 Mб1Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением.pdf