Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

																								П р и м е р 4.5
			x2 4						x2																					x2 4														x2															7	x2
	lim												1					lim							1																1								lim					1
	lim			2									1					lim							1								2								1								lim					1				2
				2		3																											2		3																						x	2	3
	x x					3														x										x					3														x								x		3
			7	бесконечно малая функция при x поформуле (4.2)
			7
		x2 3
		x2 3																																																									7x2
																						7					x2																												lim				7x2
														x2 3						x2							x2																							x2 3					lim
														x2 3						x2				3																										x2 3				x x2 3
										7																																				7
										7							7																													7				7										e7 .
	lim			1																												lim							1
	lim			1					x	2																						lim							1				x		2			3
		x							x			3																				x											x					3

																								П р и м е р 4.6
																				1																															1
													cos x																			x 0										cos x
									x 0																																											x
									x 0											x	2																															x	2
									lim												2					1				lim									1									1					2
	(cos x 1)						бесконечно малая функция при x 0 поформуле (4.2)
	(cos x 1)						бесконечно малая функция при x 0 поформуле (4.2)
														1							cos x 1																														1					lim cos x 1					1
														1					x2																																1				x 0				x2		1
													cos x 1																																					cos x 1												2
lim			1			cos x 1							cos x 1															lim 1													cos x							1		cos x 1										e		2	,

x 0																													x 0
так как			lim			cos x 1										1		(смотри пример 4.3).
			x 0					x2								2
																								П р и м е р 4.7
											lim e5x e2x														lim e5x 1 e2x 1
											x 0								x									x 0													x
				lim				e5x 1						5						e2x				1				2						поформуле (4.5)																			5 2 3.
								e5x 1												e2x				1

				x	0						5x												2x
				x	0						5x												2x

																								П р и м е р 4.8
																								x		2					1					4				x2
															x2 4																															1
															x2 4																				x		2									1
										lim																									x																0 .
										lim					2x2 3																																2				0 .
										x					2x2 3																					3											2
																															2
																															2					x		2
																																				x

Определение 4.1. Пусть

f (x) и g(x)

– бесконечно малые функции при

x x

. Пусть

lim

f (x)

0 ,

тогда f (x)

называется бесконечно малой

x x0 g(x)

при x x0 . При этом пишут

более высокого порядка малости, чем g(x)

f (x) o(g(x)) , (о – «о – малое»).

Пусть lim

f (x)

c; c 0, c , тогда

f (x) и g(x) – бесконечно малые

x x0 g(x)

f (x)

одного

порядка малости

при

x x .

если

lim

1, то f (x)

x x0 g(x)

и g(x)

– эквивалентные бесконечно малые при

x x0 . При этом пишут

f (x) : g(x) при x x0 .

П р и м е р 4.9

f (x) x2, g(x) x, lim

lim x 0

x 0

x2 o(x) при x 0 ;

lim sin x 1 sin x : x при x 0 .

x 0 x

Аналогично tg x : x, arctg x : x, arcsin x : x, ln(1 x) : x,	1 x 1:	1 x ,
		2

(1 x) 1: x . Все эквивалентности при x 0 . Пусть f (x) g(x) при x x0

lim

f (x)

lim

f (x)

lim

f (x) g(x)

g(x)

x x

f (x) g(x) o(g(x))

f (x) g(x) o(g(x)) . Поэтому, согласно примеру 4.9:

sin x x o(x),	tg x x o(x), ... ,	1 x 1	1 x o(x) ,
			2

(1 x) 1 x o(x) .

Все равенства при x 0 .

Уп р а ж н е н и е 4.1. Используя формулу (4.5) доказать, что ax 1 xln a o(x) при x 0 .

Уп р а ж н е н и е 4.2. Рассмотрим функции (рис. 4.2, 4.3):

sh x ex e x – гиперболический синус; 2

ch x ex e x – гиперболический косинус; 2

th x chsh xx – гиперболический тангенс;

cth x chsh xx – гиперболический котангенс.

Рис. 4.2. Графики: 1 – y = ch(x); 2 – y = sh(x)

Рис. 4.3. Графики: 1 – y = th(x); 2 – y = cth(x)

Проверить свойства гиперболических функций:

1)ch2 x sh2 x 1;

2)th x cthx 1;

3)sh 2x 2sh x ch x ;

4)ch 2x ch2 x sh2 x .

Если закрепить концы однородной нерастяжимой нити, то форма, которую она принимает под действием силы тяжести:

y ach ax – цепная линия.

У п р а ж н е н и е 4.3. Доказать, что

lim

sh x

th x 1 и верны разложения:

x 0

lim

x 0

sh x x o(x)

при x 0 ,

th x x o(x)

при x 0 .

Теорема 4.3.

Пусть

f (x) : g(x)

при

x x0 , h(x)

– произвольная

функция и пусть

lim

f (x)

, тогда lim

g(x)

и эти пределы равны.

h(x)

x x0

Действительно, lim

g(x)

lim

g(x)

f (x)

lim

g(x)

lim

f (x)

lim

f (x)

x x0

h(x)

x x0

h(x)

x x0

h(x)

x x0

h(x)

П р и м е р 4.10

Найти lim

arcsin(3x3)

x 0 sin2 (2x) ln(1 5x)

Р е ш е н и е

arcsin(3x3) : 3x3 при x 0 ,

sin2 (2x) : (2x)2 при x 0 ,

ln(1 5x) : 5x при x 0 .

Тогда, согласно теореме 3.3:

lim

arcsin(3x3)

3x3

(2x)2

x 0 sin2 (2x) ln(1 5x)

За д а н и я

За д а н и е 4.1

Раскрыть неопределенность 0 :

lim

1 cos x

;

lim

tg 2x sin 2x

;

lim sin(2x 2)

;

7x sin3x

x2 sin2 x

x 0

x 1

3x2 3

lim

x tg3x

;

lim sin 4x sin 2x

;

lim

cos x

;

1 cos6x

x 0

x 2 cos

sin

lim 1 2cos x

1 sin

lim sin(2x 6)

;

lim

;

x 3

x 6 3

e5x e 5x

10)

lim

11)

lim

ln(1 2x)

;

12)

lim

arctg(2 x)

;

4x 8

x 0

x 2

13)

lim

arctg3x

;

14) lim

x 1 1

;

15)

lim

3x 1

;

16) lim

;

sin 6x

sin3x

x 0

17)

lim

2x 3x

;

18)

lim

ln cos2x ;

19) lim

32x 38x

;

x 0

tg 2x x

20)

lim

e4x e2x

;

21)

lim

1 cos2x

;

22)

lim

sin 6x

;

1 cos7x

x 0 sin3x sin 7x

x 0

x tg 7x

23)

lim

arcsin(x2 2x)

x 2

cos

З а д а н и е 4.2

Раскрыть неопределенности 0 ( 0), :

lim 1 ( 1 x 1) ;

lim

;

lim tg x tg 2x ;

x 0 x

lim (1 tg x) tg 2x ;

lim x

2 x 1

;

lim x ctg 2x ;

x 0

lim

tg 2 x ;

lim

(

9x x) ;

lim (

x2 x x) ;

10)

lim

3 x3 5x2

3 x3 8x

;

11)

lim

;

x 2

(x 2)(x 3)

12)

lim

;

13)

lim (cosec2 x 4cosec2 2x) ;

x 0

x2 1

x 0

14)

lim

;

15)

lim

tg 2x

;

1 cos x

x 0

sin x

1 tg x

16)

lim

;

17) lim

x 0

3 x2

1 1

x x

З а д а н и е 4.3

Раскрыть неопределенность 1 :

				x 2				2x																						1																			1													3x	4x
1)	lim									;			2)					lim			cos x										;		3)		lim						1 2x x										;		4)				lim						;
																													2x
																													2x
x			x 5															x 0																	x		0																			x					1 3x
									1																	x2 7x 10														x
									1																	x2 7x 10														2
5)	lim cos2x sin2 x ;																6)			lim																						;
5)	lim cos2x sin2 x ;																6)			lim								2														;
x 0																				x							x	2		15x 1
x 0																				x							x			15x 1
7)	lim		(2x 3)(ln(x 2) ln x) ;
x																																																			3
8)	lim		(3x				2)(ln(x 3) ln(x 4)) ;																										9)			lim															3
8)	lim		(3x				2)(ln(x 3) ln(x 4)) ;																										9)			lim						1 tg x x ;
x																																			x 0																						4
									3x																									5x																							4
									3x																									5x																		4x 8 x
10)	lim 2x 3 x 2 ;																11) lim									3x 2 x2 1 ;														12)							lim					4x 8 x								;

																																																				4x
	x 2																			x 1																										x						4x			5
															1																								2								1
13)	lim			1 cos x																;	14)							lim				1 sin								x					ln(1 x2 )						.
													2					2																											ln(1 x2 )
										x /4
	x									x /4																	x		0
	x		2
																													Ответы
4.1. 1)			6	;	2) ;						3)				1		;		4) 1				;			5) 1;						6)			2;						7)							1		; 8) 0;
4.1. 1)			7	;	2) ;						3)				3		;		4) 1				;			5) 1;						6)			2;						7)						3			; 8) 0;
			7												3						6																										3										5
					5 ;						1										1									1					1 ; 15) ln3																			ln			5
9) 12; 10)							11)				1			; 12)							1	; 13)								1	; 14)																		; 16)					ln			3		;
9) 12; 10)							11)				2			; 12)							4	; 13)								2	; 14)																		; 16)								7		;
					4						2										4									2					6										ln5									ln			7
																																																						ln			4
17)	ln	2 ;		18) – 2;								19) ln 9 ;											20)						1			;	21)					4			;				22)				6	;	23)					4		.
17)	ln	2 ;		18) – 2;								19) ln 9 ;											20)						1			;	21)				49				;				22)				7	;	23)							.
		3																												2							49												7
4.2. 1)			1	;	2) 2				2;				3)				2;				4) 1;								5) ln 2;						6)					1			;			7) 1;					8)		9		;
			2																																					2													2
9)	1 ;		10)		5	;	11) 1;										12)				1 ;					13) 1;							14)						1				;			15) 1					; 16) 0 ;									17) 1.
9)	1 ;		10)		3	;	11) 1;										12)				1 ;					13) 1;							14)							2			;			15) 1					; 16) 0 ;									17) 1.
	2		1		3												1				2					1								1						2					1				2
4.3. 1)			1		;	2) 1;					3)						1		;	4)						1				;	5)			1	;				6)						1		; 7) 4;						8) 21;
4.3. 1)			e14		;	2) 1;					3)					e2			;	4)				3 e4						;	5)			e2	;				6)					e4			; 7) 4;						8) 21;
			e14													e2								3 e4										e2										e4
9) e3 ;		10) e12 ;													15											1					13) e 1/ ;											14) e 1 .
									11) e								2 ;			12)						1			;
									11) e								2 ;			12)						16			;
																										16
																									e13

5. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Определение 5.1. Пусть функция y f (x) определена в некоторой окрестности O (x0 ) точки x0 ; y f (x) непрерывна в точке x0 , если

1) lim f (x) ;

x x0

2) lim f (x) f (x0 ) .

x x0

Функция y f (x) непрерывна на множестве Х, если она непрерывна в

каждой точке этого множества.

Точка, в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва.

П р и м е р 5.1

Функция	a xn a xn 1
	a xn a xn 1		... a	x a
y	0	1	n 1		n	–
y	b xm b xm 1		... b		x b	–
	b xm b xm 1		... b		x b
	0	1	m 1		m

дробно-рациональная функция, непрерывная во всех точках из области определения (кроме точек, где знаменатель равен 0).

Уп р а ж н е н и е 5.1. Найти точки разрыва функции y x2 1 (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Функция y x2 1 x 1

Уп р а ж н е н и е 5.2. Найти точки разрыва функции y x2 1 (рис. 5.2).

Рис. 5.2. График функции y x2 1 x 1

П р и м е р 5.2

Функции y sin x, y cos x непрерывны x R .

Рис. 5.3. Функции y sin x, y cos x

Функция y tg x непрерывна x		n,	n Z .
	2

Функция y ctg x непрерывна x n .

Рис. 5.4. Функции y tg x , y ctg x

Функция y ax непрерывна x R , y loga x непрерывна x 0 .

… .

y 10

; 2 – y

1 x

Рис. 5.5. Функции: 1 –

; 3 – y

; 4 – y

;

5 –

y log2 x ; 6 – y log5 x ; 7 –

y log 1 x ;

8 – y log1 x .

Функция y x – непрерывна х из области ее определения.

П р и м е р 5.3

Рассмотрим функцию Дирихле:

1, x ⁄;

где

⁄

– множество

рациональных

чисел.

Она

D(x)

0, x \⁄,

разрывна x ϒ.

y f (x)

Определение

5.2. Функция

называется

непрерывной

слева

(справа) в точке

x0 , если

lim

f (x) f

(x0 ),

lim

f (x) f (x0 ) .

x x0

x x0 0

П р и м е р 5.4

Единичная функция Хевисайда:

1, x 0;

непрерывна справа в точке x0 0.

(x)

0, x 0

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20254.98 Mб0Математические олимпиады БПИ–БГПА–БНТУ.pdf
#
24.11.20251.63 Mб2Математический анализ. Функции нескольких переменных. Курс лекций для студентов инженерно-технических и экономических специальностей.pdf
#
28.12.2025793.46 Кб0Математический анализ. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.15 Mб1Математический анализ. Ч. 2..pdf
#
24.11.20251.03 Mб1Математический анализ. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.13 Mб1Математический анализ.pdf
#
28.12.2025533.95 Кб0Математическое моделирование в приборостроении. Моделирование механических колебаний.pdf
#
28.12.20252.08 Mб0Математическое моделирование производственных процессов-1.pdf
#
24.11.20252.57 Mб0Математическое моделирование производственных процессов.pdf
#
28.12.20251.25 Mб1Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением-1.pdf
#
24.11.20252.75 Mб1Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением.pdf