Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

		1	1
У п р а ж н е н и е 3.7. Рассмотрим функцию	y ( 1)	x	1	(рис. 3.9),
			x
	1	1 .
где x означает целую часть числа х. Найти lim	( 1) x	1 .
x 0		x

	1	1
	Рис. 3.9. Функция y ( 1) x	1	; 0,05 x 1
		x
			1
У п р а ж н е н и е 3.8. Рассмотрим функцию y ( 1) x (рис. 3.10).
	1
Найти lim	( 1) x .
x	0

Рис. 3.10. Функция y ( 1) x ; 0,2 x 1

Бесконечно большая в точке x0 функция не имеет предела в точке x0 . Определение 3.6. Функция y f (x) называется бесконечно малой

в точке x0 , если lim f (x) 0.

x x0

Пусть f (x) и g(x) – две бесконечномалые функции в точке x0 . Тогда

f (x)

lim

называется неопределенностью типа

. Нахождение таких

g(x)

x x0

пределов называется раскрытием неопределенности.

Аналогично раскрываются неопределенности типа

) .

, (1

П р и м е р 3.5

2x3 1

разделим почленно на x

lim

x 3x3

П р и м е р 3.6

lim

3x 2

lim

3x 2

x x2

Пусть

x , тогда

lim

3x 2

lim

3 x

x x

Пусть

x , тогда

lim

3x 2

lim

3 x

3 .

x x

П р и м е р 3.7

2x3 1

lim

разделим почленно на x

lim

4 x2 1

x 3x

Рассмотрим дробно-рациональную функцию

	a xn a xn 1		... a	x a
R(x)	0	1	n 1		n	, a	0, b	0 .
	b xm b xm 1		... b		x b
						0	0
	0	1	m 1		m

0, n m

Тогда

lim

R(x)

, n m .

, n m

П р и м е р 3.8

2x2

lim

разделим почленно на x

lim

x3 x 2

П р и м е р 3.9

lim ( x2 5x 5 x2

1) ( )

lim

( x2 5x 5

x2 1)(

5x 5

x2 1)

x2 5x 5

lim

5x 4

x x2

5x 5

lim

			5x 4						5 , x ;
			5x 4						2


		5		5			1			5	, x .
		5		5			1			5
x	1					1				2
	1	x		x	2	1	x	2
					2			2

П р и м е р 3.10

4x 3

(x 1)(x 3)

lim

x2 1

(x 1)(x 1)

x 1

сократим на x 1, так как x 1; см. определение 3.2

lim

x 3

x 1 x 1

			П р и м е р 3.11
	x 1 2	0		( x 1 2)(	x 1 2)(	x 6 3)
lim		0	lim
lim	x 6 3		lim	( x 6 3)(	x 1 2)(	x 6 3)
x 3	x 6 3		x 3	( x 6 3)(	x 1 2)(	x 6 3)

lim

(x 3)(

x 6 3)

lim

x 6 3

3 .

x 1 2)

x 1 2

x 3 (x 3)(

x 3

У п р а ж н е н и е 3.9. Пусть

lim

f (x) A , lim g(x) .

f (x)

g(x)

x x0

Найти lim

; lim

g(x)

x x0

f (x)

У п р а ж н е н и е 3.10. Пусть

lim

f (x) A, A 0

, lim

g(x) 0.

f (x)

x x0

Найти lim

x x0

g(x)

y f (x) имеет предел при

x x0 , если

Определение 3.7. Функция

A R такое что 0, ( ) 0 , такое что

x, 0 x x0 f (x) A .

Легко видеть, что А в определении 3.7 единственно, поэтому определения 3.2 и 3.7 эквивалентны.

Из определения 3.7 следует, что функция y f (x) не имеет предела при

x x0 , если

A R, 0, 0, x ,

удовлетворяющий

условию 0

x x0

, для

которого

выполнено

условие

f (x) A

У п р а ж н е н и е

3.11. Сформулировать отрицание определения

предела по Гейне (см. определение 3.3).

У п р а ж н е н и е

3.12. Рассмотрим функцию y

бесконечно

большую в точке x0 0 .

Доказать, что lim

1 не существует.

x 0 x

x x0 , можно

Также определить, имеет ли функция предел

при

используя критерий Коши.

Теорема 3.5. (критерий Коши). Для того чтобы y f (x) имела предел при x x0 , необходимо и достаточно, чтобы

0, ( ) 0 ,

такое что

x1 , x2 , x1 O (x0 ), x2 O (x0 )

f (x1) f (x2 )

Из теоремы следует, что функция

y f (x)

не имеет предела при

x x0,

если

0, 0 ,

x1 ,

x2 , x1 O (x0 ), x2 O (x0 )

f (x1) f (x2 )

(3.3)

У п р а ж н е н и е

3.13. Используя

(3.1), доказать,

что

lim 1

не существует.

x 0 x

З а д а н и я

З а д а н и е 3.1

Пользуясь определением предела функции, доказать, что:

lim (x2 2x 3) 3 ; 2)

lim (x2

x 1) 13 ; 3) lim

2x 1

x 0

3x 7 1 ;

x 3

x 1

lim

3 x 7 2 ; 6) lim 3x 1;

x 4

9x 2 2

x 1

x 0

lim

x2 x 1

1 ;

8) lim

;

lim (x2 4x) ;

x 1 x2

x 1

x 1 x

10)

lim

4x 1 4 .

З а д а н и е 3.2

Доказать следующие равенства:

lim

1 ;

lim

x 1

0 ;

x 2 0 x

lim

xsin x

lim

x x2 1

x 2

З а д а н и е 3.3

Используя основные теоремы о пределах, вычислить следующие пределы:

lim (x2 x 2) ; 2)

lim

;

3x 1

x 1

3arcsin x x

lim

;

lim

(x2 5x 6 3 x ) ;

lg 2x 3x

x 3

x 2

2e4x 4ln(x e)

lim

2sin x 3cos x 4

;

lim

ctg x cos2x

2cos x

x 0

x 2

З а д а н и е 3.4

Вычислить пределы:

lim

3x3 5x2 1

;

lim

2x3 x2

x2 1 2x 1

;

4x3 6x 2

3 8x9 9x2

5 3x3 4

lim

x2 x 1 2x

;

lim (x2 3)12

(5x12 1)2

;

4x 9

(2x4

x2 1)6

lim

1 x4 23 1 x6

;

lim

arctg

;

1 x

x2 1

lim

2x 1 ;

lim

(x 3)40 (5x 10)10

; 9)

lim

x x

;

(3x2 2)25

x 1

3x 1

10)

lim

5 x 4 x 3 x

;

11)

lim

;

12)

lim

x4 3x 2

;

3 2x 1

2 x3 2x

x 1 x5 4x

13)

lim

x2 5x 6

;

14)

lim

x2 2x 3

;

x 3 x2 8x 15

x 3 3x2 14x

15)

lim

3x 2 4x2 x 2

;

16)

lim

x 1 x2 x 1

;

x2 3x 2

x 1

x 0

17)

lim

x 2

;

18)

lim

1 2x 3

;

19)

lim

1 x 3

;

4x 1 3

x 2

x 4

x 2

x 8

2 3 x

20)

lim

4 x 2

;

21)

lim

x2 x 2

;

22)

lim

2x3

;

x 4

x 16

x 1

3x2 x 2

23)				lim		3x x5											lim			2x3 1							; 25)						lim								2x2 1
											;	24)																																				;
											;	24)							3x4 x2																			x2		5 3 3x3								;
			x 2x5							7						x			3x4 x2						1							x						x2		5 3 3x3							7
																x2 1 ;																2			43x			2
26)				lim					x2 5							x2 1 ;					27)			lim			(2x 1)3								43x			;
			x																					x				(1 x)							x
28)				lim						x2 3x 5								x2		1			;	29)				lim						x		3			x	2		1			;
																																		x					x			1
																																			2
			x																																2		1		3x			2
			x																								x 3x										1		3x			2
										1							1													1								3
30)			lim																		;		31) lim																				;
30)			lim				3(x 2)								x2 x				2		;		31) lim									1											;
			x 2				3(x 2)								x2 x				2							x 1 x						1					2x2 x 1
32)				lim				3x 1 2x						;		33)		lim			3x 1 2x							.
32)				lim				3x 2x 1						;		33)		lim										.
			x					3x 2x 1									x	3x 2x 1
																			З а д а н и е 3.5
Пусть lim									f (x) b, lim g(x) .
				x a											x a
Доказать, что:																										g(x)
1)		lim ( f (x) g(x)) ;																	2)			lim				g(x)							(при b 0 );
1)		lim ( f (x) g(x)) ;																	2)			lim											(при b 0 );
	x a					f (x)															x a					f (x)
3)			lim			f (x)				0 ;				4)		lim f (x) g(x) (при b 0 ).
3)			lim		g(x)					0 ;				4)		lim f (x) g(x) (при b 0 ).
			x a		g(x)											x a
																						Ответы
3.3. 1) 2;								2) 1;			3)		2			;	4) 57;				5) 2;					6) 3.
3.3. 1) 2;								2) 1;			3)			3		;	4) 57;				5) 2;					6) 3.												510
														3
3.4.				1) 3		;		2) 2			; 3)			3		; 4)			3;		5)		3	;	6)		; 7) 0;									8)				;		9)			1;		10)			1	;
3.4.				1) 3		;		2) 2			; 3)			4		; 4)			3;		5)		4	;	6)		; 7) 0;									8)		325		;		9)			1;		10)		3 2		;
				4						5				4					8				4				4											325											3 2
11)	4		;	12) 1;						13)		1				;	14) 1;				15)			1 ;			16)					1			; 17) 9					; 18)					4	;	19)			2 ;
	5													2										2								2						8							3					2
20)	1		;	21) 1;					22) ;					23)			1	;	24) 0;					25)					2		;	26) 0;						27) 0;						28)		3	; 29)			2	;
20)	4		;	21) 1;					22) ;					23)			1	;	24) 0;					25)							;	26) 0;						27) 0;						28)		2	; 29)			9	;
	4																2											3 3																		2				9
30)	1	;		31)			2		;	32) 3;				33)			1 .
	9						3										2

4. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
Теорема 4.1.
lim sin x 1 – первый замечательный предел.			(4.1)
x 0	x
		Доказательство
Докажем, что lim	sin x	1. Пусть x 0 . Рассмотрим круг единичного
x 0	x

радиуса и центральный угол в х радиан, рис. 4.1.

	D
	B
	x
O	C A

Рис. 4.1

Тогда

sin x BC BA BA AD tg x .

Так как радиус круга равен 1, то

BA 2 R x x , 2

поэтому

sin x x tg x 1			x		1	,
sin x x tg x 1			sin x		cos x	,
			sin x		cos x
cos x sin x	1 lim	cos x		lim	sin x	lim 1.
x	x 0		x	0	x	x 0

Так как lim cos x 1,		то по теореме		lim	sin x	1.
x 0			x 0		x
Аналогично
lim	sin x	1 lim	sin x	1 (по теореме 3.2).
x 0	x	x 0	x

П р и м е р 4.1

lim sin 7x x 0 tg8x

sin 7x

cos8x

sin 7x

cos8x

lim

sin8x

x 0 sin8x

x 0

lim sin 7x lim

lim cos8x

7 .

x 0

x 0 sin8x

x 0

Из (4.1) следует, что

lim

tg x

lim

arcsin x

lim arc tg x

x 0

При этом если g(x) – бесконечно малая функция при x 0 , то

lim sin(g(x))

x 0

g(x)

П р и м е р 4.2

lim

sin 7x

lim

sin(7(x ) 7 )

по формулам приведения

x tg8x

x tg(8(x ) 8 )

lim sin 7(x )

7(x )

8(x )

7 .

8(x )

tg8(x )

7(x )

П р и м е р 4.3

1 cos x

по формуле 1 cos x 2sin

lim

x 0

2 x

2sin

sin

1 .

lim

2 lim

x 0

x 0 x

x 0

4 2

П р и м е р 4.4

lim		sin x cos x							0
lim				4x					0
				4x					0
x 4
					1				1
поформуле sin x cos x		2				sin x						cos x		2 sin x	4
поформуле sin x cos x		2			2	sin x				2		cos x		2 sin x
					2					2

			2 sin x					4				2
lim								4				2	.
lim											4		.
x				4							4
x	4			4	x
	4						4

Теорема 4.2.

	1	x	e – второй замечательный предел.
lim 1	x		e – второй замечательный предел.
x	x

Формула (4.2) аналогична формуле (2.2). Верны также формулы

lim 1 x x e ;

x 0

lim ln(1 x) 1;

x 0 x

lim ax 1 ln a .

x 0 x

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

Формулы (4.4) и (4.5) следуют из (4.3). Докажем, например, (4.4):

	ln(1 x)	lim 1	1
lim			ln(1 x) lim ln(1 x) x	поформуле (4.3)	ln e 1.

x 0	x	x 0 x	x 0

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20254.98 Mб0Математические олимпиады БПИ–БГПА–БНТУ.pdf
#
24.11.20251.63 Mб2Математический анализ. Функции нескольких переменных. Курс лекций для студентов инженерно-технических и экономических специальностей.pdf
#
28.12.2025793.46 Кб0Математический анализ. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.15 Mб1Математический анализ. Ч. 2..pdf
#
24.11.20251.03 Mб1Математический анализ. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.13 Mб1Математический анализ.pdf
#
28.12.2025533.95 Кб0Математическое моделирование в приборостроении. Моделирование механических колебаний.pdf
#
28.12.20252.08 Mб0Математическое моделирование производственных процессов-1.pdf
#
24.11.20252.57 Mб0Математическое моделирование производственных процессов.pdf
#
28.12.20251.25 Mб1Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением-1.pdf
#
24.11.20252.75 Mб1Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением.pdf