Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 142 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

З а д а н и е 1.7

Изобразить множество точек, удовлетворяющих следующим нера-

венствам:

1; 2)

z i

2 ; 3)

z i

4 ;

6 .

З а д а н и е 1.8

; 2z

;

, если

Найти z 2

;

z 5

1) z 3 5i :

2) z 1 i ; 3) z 2 i ;

4) z 4 2i ; 5) z 1 3i .

З а д а н и е 1.9

Доказать следующие равенства:

2i Im z ; 2) z

2Re z ; 3)

z ; 4)

;

; 6)

z1 z2

От в е т ы

1.1.1) 7 4i ; 2) 41; 3) 3 4i ; 4) 9 46i ;

5) 4	3 i ; 6)					3				21i ; 7)			3	7 i ; 8)		4		6	i .
5) 4	3 i ; 6)					25				21i ; 7)			2	7 i ; 8)		13		13	i .
5	5					25				25			2	2		13		13
1.2. 1) 4i ; 2)					2 2i ; 3)						3 i ; 4)				1	11	i .
1.2. 1) 4i ; 2)					2 2i ; 3)						3 i ; 4)				1		i .
															2	2
1.3. 1) (2; 4); 2) (0; 3); 3) (1; –2); 4) ( –3; 1).
							3				3				3 i
1.4. 1) z							3		isin		3	, z 2e 4 ;
1.4. 1) z			2 cos				4		isin		4	, z 2e 4 ;
							4				4
													i
2) z	2				isin
2) z	2	cos		3	isin					, z 2e 3 ;
				3						3
3) z	2	2													, z 2	2e		i
3) z	2	2	cos					4		isin			4		, z 2	2e		4 ;
								4					4

4)z 2 cos isin , z 2e i ;

5)z 4 cos isin , z 4e i ;

					i
6)			isin		, z 3e 2	;
	z 3 cos	2		2

																																							i
																																							i		10
7)	2sin						cos										isin											; 2sin										e							;
7)	2sin			10			cos				10						isin											; 2sin					10					e							;
				10							10													10									10
													2												2																	i	2
8)													2					isin							2															e		i
	2cos						cos																					; 2cos																5			;
	2cos			10			cos							5												5		; 2cos									10							5			;
				10										5												5											10
																					i
																					i	14 ;
9)	cos					isin										;				e
9)	cos		14			isin						14				;				e											3
			14									14
							3																	3										i
10) cos							3																	3				; e						i		.
10) cos								7			isin														7			; e				7				.
								7																	7
1.5. 1) i ;											3							1 i ; 2) i;													3						1 i ;
1.5. 1) i ;										2								1 i ; 2) i;																			1 i ;
										2								2											2								2
								2						2																																						7		7
3)	6	8															i				;		6 8 cos										isin													;			6	8	cos		isin		;
3)	6	8				2						2					i				;		6 8 cos						12				isin									12				;			6	8	cos	12	isin	12	;
						2						2																	12													12										12		12
4)	8									isin																	8		cos												isin
		2	cos																					;				2																						;
		2	cos					16																;				2									16											16		;
								16											16																		16											16
					9				isin							9						;		8									9						isin								9			;
8 2 cos					16				isin						16							;		8			2 cos						16						isin								16			;
					16										16																		16														16
5)		3 i; 3 i; 1 3i; 1 3i .
1.6. 1) 1 i ;												2) z1,2 z3, 4																3i ;											3) ( 1											2) i		2;	4) 1 i		3; 2;
5)	1 i;					2 3i;											6) (1 i); 4															2													isin
5)	1 i;					2 3i;											6) (1 i); 4															2			cos							8			isin					8	.
																																										8								8
1.8. 1) 9 5i ;												12 30i; 68;																				8							15 i ;
1.8. 1) 9 5i ;												12 30i; 68;																				17							15 i ;
2) 3 i;						4 6i;												4; i ;														17							17
2) 3 i;						4 6i;												4; i ;
3)	6 i;					8 6i;												10;						3				4 i ;
																								5				5
4)	12 2i;								16 12i;															40; 3						4 i ;
																											5		5
5)	3 3i;					4 18i;													20;								4	3 i.
																											5	5

2. ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Определение 2.1. Пусть Х и Y – множества произвольной природы и каждому элементу x X поставлен в соответствие некоторый элемент y Y . Такое соответствие называется функцией. Обозначим его f,

или f : X Y , или x y f (x) . При	этом	множество	Х называется
областью определения D( f ) функции	f ,	D( f ) X ,	а множество

f (X ) Y ,	f (X )		y		x X ,	f (x) y		называется областью значений

E( f ) функции f: E( f ) f (X ) , рис. 2.1.

Рис. 2.1

П р и м е р 2.1

f : R R, f : x x2 или f (x) x2 . D( f ) R, E( f ) R 0 – множество

всех неотрицательных чисел из R. g : R R, g : x 1x или g(x) 1x .

D(g) R \ 0 ; E(g) R \ 0 .

Определение 2.2. Числовой последовательностью называется произвольная функция f : N R . При этом числа f (1), f (2), ..., f (n) из области

значений E( f ) обозначаются: a1 f (1), a2 f (2), ..., an f (n) . Число an

называется n-м членом последовательности.

Для задания последовательности достаточно задать an .

П р и м е р 2.2

an ( 1)n n n 1 . Подставив n 1, 2, 3, ... получим

1		2		3	; ...; ( 1)n	n
2	;	3	;	4			.

						n 1

Определение 2.3. Число a называется пределом числовой после-


довательности an ,	a nlim an , если 0 существует число					N N ( ) ,
такое что n N	выполняется неравенство		an a		. Более коротко
такое что n N	выполняется неравенство		an a		. Более коротко
будем записывать это определение в виде
	0 N N ( ) : n N	an a		.		(2.1)
	0 N N ( ) : n N	an a		.		(2.1)

Последовательности, имеющие предел, называются сходящимися,

ане имеющие предела – расходящимися.

Пр и м е р 2.3

Доказать, что lim 2n 2 .

n n 1

Доказательство

Пусть 0 . Рассмотрим цепочку эквивалентных неравенств

	2n	2	2	n 1			2	n	2	1.
	2n		2				2		2
	n 1		n 1
	n 1		n 1
Пусть N – натуральное число, большее					2	1,		например				2		1,
Пусть N – натуральное число, большее						1,		например			N		1	1,

тогда N удовлетворяет соотношению (2.1), что и требовалось доказать.

У п р а ж н е н и е 2.1. Доказать, что lim n 10 1.
	n
Геометрически равенство a nlim an означает, что		0 все	члены
последовательности an ,	начиная с номера N ( ) + 1,	попадают	в –
окрестность (a , a )	точки а (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Например, для последовательности a	2n	из примера 2.3, если

n	n 1

0,01, то N 200 , если 0,001, то N 2000 .

Определение 2.4. Последовательность an называется ограниченной,

если M R , такое что n N an M .

Теорема 2.1. (необходимый признак сходимости последовательности). Если последовательность сходится, то она ограничена.

Доказательство

Из соотношений (2.1) следует, что все члены сходящейся последовательности после номера N лежат в интервале (a , a ) , далее дока-

зательство очевидно.

Определение 2.5. Последовательность an называется бесконечно

большой, если M 0 , N N (M ) : n N an M .

Говорят, что бесконечно большая последовательность имеет предел , и пишут nlim an .

Если все члены бесконечно большой последовательности, начиная

снекоторого номера, становятся положительными, то есть

M 0 , N N(M ) : n N an M ,

то пишут nlim an .

Если все члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера, становятся отрицательными, то есть

M 0 , N N (M ) : n N an M ,

то пишут nlim an .

П р и м е р 2.4

a	n	n2	, lim	n2 , a	n	( 1)n n2	,	lim ( 1)n n2	.
	n		n		n			n
			n					n
Бесконечно		большие		последовательности				не являются	сходящимися

и отличаются по своим свойствам от свойств сходящихся последовательностей.

Определение 2.6. Числовая последовательность называется возрастающей

(убывающей), если a1 a2 ... an an 1 ... ( a1 a2 ... an an 1 ...).

Возрастающие (убывающие) последовательности называются строго монотонными.

Числовая последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если

a1 a2 ... an an 1 ... ( a1 a2 ... an an 1 ...).

Неубывающие (невозрастающие) последовательности называются монотонными.

								П р и м е р 2.5
1.	a			n		. При n 1, 2, 3, ..., n, n 1 имеем
1.	a					. При n 1, 2, 3, ..., n, n 1 имеем
	n		n 1
			n 1
	1	2			3	...	n	n 1	... – возрастающая последовательность.
	2	3			4	...	n 1		... – возрастающая последовательность.
	2	3			4		n 1	n 2

2. Последовательность

3 3,1 3,14 3,141 3,1415 ...

последовательных приближений к числу – неубывающая последовательность.

Теорема 2.2. (достаточный признак сходимости последовательности). Монотонная ограниченная последовательность сходится.

П р и м е р 2.6
Рассмотрим последовательность a		1	1	n	. Она монотонно возрастает
	n		n
			n
и ограничена, следовательно – сходится:
	1 n	e 2,718281...				(2.2)
lim 1		e 2,718281...				(2.2)
n	n

e – трансцендентное число, служащее основанием натурального лога-

рифма: ln a loge a .

Определение 2.7. Суммой, разностью, произведением, частным последовательностей an и bn будем называть последовательности, n-й член

которых равен соответственно:

a b ;	a b ;	a b ;	an (b 0,	n N ) .
n n	n n	n n	n
			bn

Теорема			2.3. Пусть последовательности an					и bn	сходятся и
lim	a	a;	lim	b b; c	– постоянное число. Тогда
n	n		n	n				lim an a
lim( a		b	) a b; lim		c a c a;	lim( a	b ) a b;	lim an a			(b 0).
n	n	n		n	n	n	n n	n bn		b
					Доказательство
Докажем, например,					формулу	lim( an bn ) a b .		Так	как		последо-
						n

вательность an сходится, то она ограничена, то есть число M 0 , такое

что

M . Пусть

anbn ab

anbn ab anb anb

an (bn b) b(an a)

bn b

an a

(2.3)

Так как последовательность bn сходится, то N1, такой что при

n N

Так

как

последовательность

an сходится,

то N2 ,

такой

что при

n N

(считаем,

что

b 0 ;

если

b 0 ,

то

второго

слагаемого в формуле (2.3) нет).

Пусть N max N1, N2 . Тогда из (2.3) при n N следует

a b ab

n n

что и требовалось доказать.

У п р а ж н е н и е 2.2. Доказать формулу lim( an bn ) a b в условиях

теоремы 2.3.

Определение 2.8. Пусть nlim an 0 , тогда последовательность an называется бесконечно малой. Пусть an и bn – бесконечно малые последо-

вательности. Тогда	lim	a	называется неопределенностью вида	0
		n		0	.
	n bn

Вычисление таких пределов называется раскрытием неопределенности.

Аналогично определяются неопределенности вида , ( ), (0 ), (1 ) .

П р и м е р 2.7

		2n3 5n		1																	2				5				1			2
																									2				3
																									2				3
lim									делим почленно на n3									lim							n			n					.
lim									делим почленно на n3									lim															.
n			n 3n3														n							1			3					3
n			n 3n3														n							1								3
																							n2
									П р и м е р 2.8
			lim		3n2		1						lim			3n2 1


			n n2 5				3 2n3		1				n		n 1	5		n		3		2				1
			n n2 5				3 2n3		1							n2				3						n3
																n2										n3
																			3			1									3
=	делим числитель и знаменатель на n													2	lim				3			n2											.
														2								n2
																		5								1				3		2
															n									2
															n
																1 n2						3				n3
									П р и м е р 2.9
lim ( n2			3n n) ( ) lim							(	n2 3n n)(				n2 3n n)				lim										3n
lim ( n2			3n n) ( ) lim																lim
n								n					( n2 3n n)							n ( n2 3n n)
						lim			3n			lim			3		3 .
						lim			1 3			lim					3 .
						n n			1 3		n		n 1 3 1					2
										n					n

П р и м е р 2.10

lim n 3 3n n n 1

			2
	lim 1
	lim 1		n 1
	n		n 1

		сведем к			пределу (2.2)					lim			n 3					3n
													n 3					3n
1												1				1
										n			n		1
							2		3n									6
						n 1									n 1
3n				2		n 1		n 1					2		n 1			1
3n				2		2							2	2			1 n		e	6
	lim		1							lim	1										.
	lim		1	n 1						lim	1		n 1								.
	n			n 1						n			n 1

Теорема 2.4. а. Пусть последовательность an						–	бесконечно малая
( lim a		0 ) и		a	0, n . Тогда последовательность		1	– бесконечно
( lim a	n	0 ) и		a	0, n . Тогда последовательность	a		– бесконечно
n	n			n		a
							n
большая			lim	1	.
большая			lim		.
			n a
				n

б. Пусть последовательность an – бесконечно большая ( nlim an ),

тогда последовательность 1 – бесконечно малая.

П р и м е р 2.11

lim 2n3 5n 1

делим почленно на n3

lim

n4 1

У п р а ж н е н и е

2.3. Пусть последовательность an

– сходится и

lim

0 ; последовательность

– бесконечно малая. Найти

lim an .

n b

n2, b

( 1)n n2 .

У п р а ж н е н и е 2.4. Пусть a

Найти

lim

a ;

lim

b ;

lim (a

b ) .

У п р а ж н е н и е 2.5. Пусть a

( 1)n n, b

( 1)n 1n .

Найти

lim

a ;

lim

b ;

lim (a b

) .

Теорема 2.5. (о трех последовательностях).

Пусть

lim

b , n ,

тогда

сходится

и lim

c a .

a 3n , n 3 .

У п р а ж н е н и е

2.6. Рассмотрим последовательность

Тогда

...

n 3

Используя теорему о трех последовательностях, найти lim 3n .

n n!

У п р а ж н е н и е 2.7. Рассмотрим последовательность a n

, 0 .

Тогда

(n 1)

n 1

3n 1

n 3 3n

при n , поэтому по теореме 2.2 an сходится.

1. Доказать, что lim an 3 .

n an 1

2. Доказать, что nlim an 0 .

Необходимо помнить, что	lim	an	0; lim	n	0	(a 1, 0) ;
	n n!		n an

lim

loga n

0, 0 .

У п р а ж н е н и е 2.8.

а. Пусть an , bn

–

сходящиеся последовательности, an 0; bn 0;

n ,

lim a

lim b

b . Найти

lim 1

) .

n 2

б. Пусть

a1, a2 0 –

основания

трапеции.

Рассмотрим

последо-

вательность средних линий:

1 (a

a ),

(a a ),

...,

1 (a

) .

n 1

Найти

lim

a .

Ответ:

lim

(a 2a

Определение 2.9. Последовательность an имеет предел при n , если

a R , 0 N N ( ) : n N an a .


Легко видеть, что	число а в определении 2.9 единственно, поэтому
определения 2.3 и 2.9	эквивалентны.
Из определения 2.9	следует, что последовательность an – расходящаяся
(не имеет предела), если
a R ,		0 N, n N	an a	.	(2.4)
a R ,		0 N, n N	an a	.	(2.4)

<<< < Предыдущая 12 / 142 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20254.98 Mб0Математические олимпиады БПИ–БГПА–БНТУ.pdf
#
24.11.20251.63 Mб2Математический анализ. Функции нескольких переменных. Курс лекций для студентов инженерно-технических и экономических специальностей.pdf
#
28.12.2025793.46 Кб0Математический анализ. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.15 Mб1Математический анализ. Ч. 2..pdf
#
24.11.20251.03 Mб1Математический анализ. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.13 Mб1Математический анализ.pdf
#
28.12.2025533.95 Кб0Математическое моделирование в приборостроении. Моделирование механических колебаний.pdf
#
28.12.20252.08 Mб0Математическое моделирование производственных процессов-1.pdf
#
24.11.20252.57 Mб0Математическое моделирование производственных процессов.pdf
#
28.12.20251.25 Mб1Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением-1.pdf
#
24.11.20252.75 Mб1Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением.pdf