Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

n	f (k) (x )	(x x )k	f (n 1) (x (x x ))		(x x )n 1
f (x)	0		0	0

k 0	k!	0	(n 1)!		0

называется формулой Тейлора порядка n с остаточным членом в форме Лагранжа.

У п р а ж н е н и е 14.1. Пусть x0 0 . Записать формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.

П р и м е р 14.1

В условиях примера 9.4 оценим погрешность вычисления значений

3 30 289 3,(1) .

Р е ш е н и е

Запишем формулу Маклорена первого порядка с остаточным членом в форме Лагранжа:

f (x) f (0) f 1!(0) x 2!1 f ( x)x2 ,

где f (x) 3 1 x .

Тогда

					1										1		3					1		1
	3				1						3 f		(0)		1		3					1		1
		30 33 1					3 f		(0)										f							, 0 1 .
		30 33 1			9		3 f		(0)			1!			9		2!		f			9		92		, 0 1 .
					9							1!			9		2!					9		92
									1											2			1
																				9 3 (1 x)5 .
				f (x) 33 (1 x)2 ;											f	(x)				9 3 (1 x)5 .
Поэтому
r	1		3	2					1					1		и		r		1	1				1		1	0,005 .
	1		3						1					1						1					1		1

1	9		2!	9						1		5		92				1		9			3	92			243
	9		2!	9						1		5		92						9			3	92			243
								3 1		9
										9
Таким образом,						вычисленное значение 3,(1)															отличается от истинного

сточностью до 0,01.

Уп р а ж н е н и е 14.2. Записать формулу Маклорена второго порядка

для функции y 33 1 x и по этой формуле вычислить 3 30 . Оценить погрешность вычислений.

120

П р и м е р 14.2

Запишем формулу Маклорена n-го порядка для функции y sin x :

				f (x) sin x,	f (0) 0;
					f
				f (x) cos x,	f	(0) 1;
			f		f		0;
			f	(x) sin x,	f	(0)	0;
		f			f		1,
		f		(x) cos x,	f	(0)	1,
	k			. . .
	k			(см. упражнение 10.1)
f (k) (x) sin x	2			(см. упражнение 10.1)
	2

f (k) (0) sin k .

Таким образом, f (2k) (0) 0, f (2k 1) (0) ( 1)k и по формуле (14.6)

sin x x

... ( 1)n

x2n 1

o(x2n 1)

(2n 1)!

k x2k 1

2n 1

( 1)

o(x

) .

(14.7)

(2k 1)!

Аналогично

k 0

n x2n

k x2k

cos x 1

... ( 1)

o(x

) ( 1)

o(x

) ;

(14.8)

(2n)!

(2k)!

k 0

n 1 xn

k 1 xk

ln(1 x) x

... ( 1)

o(x

) ( 1)

o(x

) ;

(14.9)

k 1

(1 x)

1 x

( 1)

...

( 1) ... ( n 1)

o(x

) =

( 1) ... ( k 1)

xk o(xn ) ;

(14.10)

k 1

1 x

...

o(xn )

o(xn ) .

(14.11)

k 0

Формулы (14.7)–(14.11) называются основными разложениями.

121

П р и м е р 14.3

Разложить (1 x2 )2 по формуле Маклорена до члена x4 , используя основные разложения. Оценить погрешность при x 12 .

Р е ш е н и е

Пусть x2 t . Тогда (см. формулу (14.10))

1		1		1
	1 t		2	2	1
(1 t)2 1						t2 r (t) ;

	2			2!	2

1		1 t		1 t2 r (t) .
(1 t)2 1
		2		8	2

Остаточный член запишем в форме Лагранжа:

												r	(t)			f ( t)					t3, 0 1;
												r	(t)								t3, 0 1;
												2			3!
															3!
							1		1					1								5
						2			2		1			2	2							5			1				1
			r (t)			2			2					2				(1 t)				2 t3 =			1				1	t3 .
			r (t)															(1 t)				2 t3 =								t3 .
		2										3!													16				5
																											(1 t)2
Если		x	1	0 t							1 ,
Если		x	1	0 t							1 ,
			2								4
поэтому			2								4						1			1			1
поэтому
													r (t)											.


													2			16			64			1024
Таким образом,																16			64			1024
Таким образом,
	2	1			1			2		1		4																1
(1 x		)2 1					x				x		и		погрешность при											x			меньше чем 0,001,

					2					8																		2
рис. 14.1.					2					8																		2
рис. 14.1.

122

1
Рис. 14.1. Графики: 1 – функции y (1 x2)2	и 2 – ее многочлена Тейлора

Уп р а ж н е н и е 14.3. Вычислить:

1)е с точностью до 0,001;

2)17 с точностью до 0,00001.

Уп р а ж н е н и е 14.4. Оценить погрешность формул

а) sin x x				x3		при				x			1			;
				x3									1
			6										2
			6										2
б) sin x x			x3				x5		при					x				1		.
			x3				x5											1
			6			120												2
			6			120												2
									x3					П р и м е р 14.4
		sin x x							x3
Найти	lim	sin x x							6		.
									6
						x5
	x 0					x5											Р е ш е н и е
																	Р е ш е н и е
Воспользуемся разложением (14.7):
										sin x x											x3		x5		o(x5) .
										sin x x															o(x5) .
																					3!	5!
Тогда															3						5									3
													x		3				x		5							x		3
									x				x						x			o(x5)				x		x
									x													o(x5)				x
													6					120										6
							lim						6					120										6
							lim															x5
							x 0															x5
									x5			o(x5)													1	o(x		5	)			1
				lim				120				o(x5)								lim								5					.
								120
													5
					x 0							x	5								x 0					x	5				120
					x 0							x									x 0			120		x					120

123

		sin x x	x3
У п р а ж н е н и е 14.5. Вычислить	lim	sin x x	6	из примера 14.4,
			6
		x5
	x 0	x5

используя правило Лопиталя.

За д а н и я

За д а н и е 14.1

Разложить функцию f (x) по степеням x x0 :

1)f (x) x3 7x2 8, x0 1;

2)f (x) x4 2x3 3x2 4x 1, x0 1;

3)f (x) ln x, x0 1;

4)f (x) 1 x, x0 0 ;

5)f (x) 3 1 x, x0 0 ;

6)f (x) ex , x0 1;

7)f (x) x3 2x2 3x 5, x0 2 ;

8)f (x) e2x x2 , x0 0 ;

9)f (x) sin(sin x), x0 0 ;

10)f (x) cos(sin x), x0 0;

11)f (x) ln sinx x , x0 0 ;

12)f (x) 3 sin x3 , x0 0 ;

13)f (x) sin 2x , x0 1;

14)f (x) 1 x 2x2 , x0 0 .

За д а н и е 14.2

Вычислить приближенно:

1)e0,1 с точностью до 10–3;

2)cos5 с точностью до 10–5;

3)3 9 с точностью до 10–3;

4)4 90 с точностью до 10–4;

124

5)sin18 с точностью до 10–4;

6)sin1 с точностью до 10–8;

7)ln1,1 с точностью до 10–3;

8)e0,2 с точностью до 10–5;

9)cos6 с точностью до 10–5;

10)4 e с точностью до 10–2.

З а д а н и е 14.3

Оценить абсолютную погрешность приближенных формул:

1)	sin x x			x2				при			x		1	;
				x2									1
					6								2
					6								2
2)	tg x x	x3					при			x		1;
		x3
			3
	1 x 1		3			x			x2		при 0 x 1.
3)						x			x2
3)					2				8
					2				8

З а д а н и е 14.4

Используя основные разложения, найти пределы:

lim tg x 2sin x 3x ;

x 0

lim

cos x e

;

x 0

lim

sin 2x tg x

;

x 0

ln(1 x3)

lim

ex (

ex 1

ex 1) ;

lim

x2 (

x 1

x 1 2 x) ;

lim

e x 2

;

2x2

x 0

lim

;

x 0

sin x

lim

ctg x

;

x 0 x

125

9) lim sin(sin x) 5 x3 1 x2 .

x 0 x

Ответы

14.1. 1) f (x) 2 11(x 1) 4(x 1)2 (x 1)3 ;

2)f (x) 1 4(x 1) 3(x 1)2 2(x 1)3 (x 1)4 ;

3)f (x) (x 1) (x 21)2 (x 31)3 (x 41)4 ... ( 1)n (nx 1)n Rn 1 ;

4)f (x) 1 12 x 18 x2 161 x3 R4 ;

5)f (x) 1 13 x 19 x2 815 x3 R4 ;

6)f (x) e 1 1 (x 1) (x 1)2 ... (x 1)n Rn 1 ;

2! n!

7) f (x) 11 7(x 2) 4(x 2)2 (x 2)3 ; 8) f (x) 1 2x x2 23 x3 56 x4 151 x5 R6 ;

9) f (x) x x3 R3 ; 3


10)	f (x) 1		x2				5		x4		R ;

	2				24						4

11)	f (x)	x2				x4					x6	R ;

	6				180					2835			6

12)	f (x) x			x7				x13			R		;

	18				3240						13

126

13) 1 2 (x 1)2 4 (x 1)4 R4 ; 8 384

14) 1 12 x 78 x2 167 x3 R3 .

14.2.1) 1,105; 2) 0,99619; 3) 2,080; 4) 3,08000; 5) 0,3090; 6) 0,01745241; 7) 0,095; 8) 1,22140; 9) 0,99452; 10) 0,78.

14.3.1) меньше 38401 ; 2) меньше 2 10 6 ; 3) меньше 161 .

14.4.1) 0; 2) 121 ; 3) 2; 4) 1; 5) 14 ; 6) 12 ; 7) 0; 8) 13 ; 9) 1990 .

127

ЛИТЕРАТУРА

1. Кудрявцев, Л. Д. Краткий курс математического анализа / Л. Д. Кудрявцев. – М. : Наука, 1989.

2. Демидович, Б. П. Сборник задач по математическому анализу / Б. П. Демидович. – М. : Наука, 1990.

3.Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа: в 2 т. / под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидо-

вича. – М. : Наука, 1981. – Т. 1.

4.Герасимович, А. И. Математический анализ: в 2 ч. / А. И. Герасимович, Н. А. Рысюк. – Минск: Вышэйшая школа, 1989. – Ч. 1.

5.Математический анализ в вопросах и задачах / под ред. В. Ф. Бутузова. – М. : Физматлит, 2001.

6.Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – Минск: Вышэйшая школа, 1986. – Ч. 1.

7.Сухая, Т. А. Задачи по высшей математике: в 2 ч. / Т. А. Сухая, В. Ф. Бубнов. – Минск : Вышэйшая школа, 1993. – Ч. 2.

8.Индивидуальные задания по высшей математике: в 4 ч. / под ред. А.П. Рябушко. – Минск : Вышэйшая школа, 2008. – Ч. 1.

9.Кузнецов, Л. А. Сборник заданий по высшей математике / Л. А. Кузнецов. – М. : Высшая школа, 1983.

10.Зорич, В. А. Математический анализ : в 2 ч. / В. А. Зорич. – М. :

Фазис, 1997. – Ч. 1.

11.Письменный, Дм. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс / Дм. Письменный. – М. : Айрис Пресс, 2006.

128

	СОДЕРЖАНИЕ
1.	Комплексные числа.........................................................................................	3
Задания.................................................................................................................		8
2.	Пределы числовых последовательностей...................................................	12
Задания...............................................................................................................		20
3.	Пределы функций..........................................................................................	24
Задания...............................................................................................................		34
4.	Теоремы о пределах......................................................................................	37
Задания...............................................................................................................		43
5.	Непрерывность функции..............................................................................	46
Задания ..............................................................................................................		56
6.	Производная функции...................................................................................	61
Задания...............................................................................................................		71
7.	Производная функции, заданной параметрически....................................	75
Задания...............................................................................................................		77
8.	Производная функции, заданной неявно....................................................	79
Задания...............................................................................................................		80
9.	Геометрический и физический смысл производной.................................	83
Задания...............................................................................................................		89
10. Производные высших порядков................................................................		93
Задания...............................................................................................................		98
11. Свойства непрерывных функций.............................................................		102
Задания.............................................................................................................		105
12. Свойства дифференцируемых функций .................................................		107
Задания.............................................................................................................		111
13. Правило Лопиталя.....................................................................................		112
Задания.............................................................................................................		117
14. Формула Тейлора......................................................................................		118
Задания.............................................................................................................		124
ЛИТЕРАТУРА.................................................................................................		128

129

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20254.98 Mб0Математические олимпиады БПИ–БГПА–БНТУ.pdf
#
24.11.20251.63 Mб2Математический анализ. Функции нескольких переменных. Курс лекций для студентов инженерно-технических и экономических специальностей.pdf
#
28.12.2025793.46 Кб0Математический анализ. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.15 Mб1Математический анализ. Ч. 2..pdf
#
24.11.20251.03 Mб1Математический анализ. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.13 Mб1Математический анализ.pdf
#
28.12.2025533.95 Кб0Математическое моделирование в приборостроении. Моделирование механических колебаний.pdf
#
28.12.20252.08 Mб0Математическое моделирование производственных процессов-1.pdf
#
24.11.20252.57 Mб0Математическое моделирование производственных процессов.pdf
#
28.12.20251.25 Mб0Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением-1.pdf
#
24.11.20252.75 Mб1Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением.pdf