Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

Если х задает время и y y(x) – путь, пройденный телом при движении

по прямой за время х, то f (b) f (a) – средняя скорость движения тела на b a

промежутке времени a, b и согласно (12.4) c (a, b) такая, что мгновенная скорость f (c) тела в момент времени с равна средней

скорости.

П р и м е р

Дана кривая y x2 1 и точки A(0; 1) и B(6; 37) на кривой. На интер-

вале (0; 6) найти точку с, удовлетворяющую условию (12.4). Написать уравнение касательной в точке (c, f (c)) . Сделать чертеж.

Р е ш е н и е

Подставив точки А и В в формулу (12.4),

получим
	f (b) f (a)	37 1
f (c)			6	6;
f (c)	b a		6	6;

f (x) 2x f (c) 2c 6, c 3 ;
	y(3) 10 .
Уравнение	касательной		к	кривой
y x2 1

y 6x 8 (см. пример 9.9), рис. 12.2.

Рис.12.2. Графики: 1 – функции y x2 1;

2 – касательной y 6x 8

Теорема 12.5. (терема Коши). Пусть функции y f (x)				и y g(x) :
1) непрерывны на отрезке a, b ;			g (x) 0,		x (a, b)
2) дифференцируемы на интервале (a, b) , причем			g (x) 0,		x (a, b)

и g(a) g(b) . Тогда c (a, b) такая, что
	f (c)	f (b) f (a) .			(12.5)

	g (c)	g(b) g(a)

110

Доказательство

Рассмотрим функцию

		y(x) f (x)				f (b) f (a)	(g(x) g(a)) .
		y(x) f (x)				g(b) g(a)	(g(x) g(a)) .
						g(b) g(a)
y(x) удовлетворяет условиям теоремы							12.3,	и далее	доказательство
аналогично доказательству теоремы 12.4.
У п р а ж н е н и е					12.2. Проверить справедливость формулы (12.5) и
выполнение условий					теоремы Коши		для	функций	f (x) cos x,
		;
g(x) x3, x	2	;	2	.
	2		2

З а д а н и я

З а д а н и е 12.1

Доказать, что на указанных отрезках к данным функциям не применима

теорема Ролля.

y 1

, x

1, 1 ;

sin x

x, x

1, 1 .

З а д а н и е 12.2

Применив к функциям на указанных отрезках теорему Лагранжа, определить значение с.

1)y ln x, x 1, e ;

2)y x x2, x 2, 1 ;

0,5(3 x2 ) при 0 x 1
	1			;
3) y	1	при 1	x	;
	x	при 1	x
	x
на отрезке 0, 2 .
				Ответы
12.2. 1)	c e 1; 2)		c 1; 3)	c	1	, c 2 .
					2

111

13. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

Теорема 13.1 (правило Лопиталя). Пусть функции y f (x) и y g(x) :

1) дифференцируемы в некоторой окрестности O (x0 ) точки x0 ;

g(x)

x O (x0 ) ;

0, g (x) 0,

lim f (x) lim

g(x) 0 (или ) ;

x x0

lim

f (x)

x x0

g (x)

Тогда

f (x)

lim

(13.1)

g(x)

x x0

g(x)

x x0

g (x)

Доказательство

Рассмотрим случай

lim

f (x) lim g(x) 0 . Доопределим

f (x) и g(x)

x x0

в точке x0 :

f (x0 ) g(x0 ) 0.

Тогда они непрерывны

x O (x0 ) . Пусть

x O (x0 ), x x0 , тогда по

теореме Коши (теорема 12.5)

f (c) ,

f (x) f (x) f (x0 )

где c (x0, x)

g(x)

g(x) g(x0 )

g (c)

f (c)

f (x)

lim

f (x)

lim

, что и требовалось доказать.

x x0

g(x)

c x0

g (c)

x x0

g (x)

1. Если в п. 4 теоремы 13.1

lim

f (x)

, то lim

f (x)

также равен .

x x0

g (x)

x x0

g(x)

2. Аналогичная теорема верна и для односторонних пределов.

Теорема 13.2. Пусть M 0

и функции y f (x) и y g(x) :

1) дифференцируемы при

M ;

g(x) 0,

M ;

g (x) 0 при

lim f (x)

lim g(x) 0 (или ) ;

lim

f (x)

x g (x)

112

f (x)

Тогда

lim

и lim

lim

f (x)

x g(x)

x g (x)

Доказательство

Пусть x

. Тогда условия

. Рассмотрим функции y f

y g

1) –3) теоремы 13.1 выполнены в окрестности O 1 (0) точки t0 0 .

Проверим условие 4):

lim

f (x)

–

t 0

g (x)

предел существует, поэтому по теореме 13.1

lim

(x)

0 g

(x)

Тогда

f x

f (x)

lim

g x

0 g

g (x)

что и требовалось доказать.

По правилу Лопиталя раскрывают неопределенности типа

Неопределенности

( )

или

(0 )

необходимо

эквивалентными

преобразованиями

привести

виду

или

. Неопределенности

00, 1 , 0 раскрывают путем предварительного логарифмирования.

113

П р и м е р 13.1

lim

ln x

( 0) . Пусть M 0 . Функции y

x x

1) непрерывны и имеют производные при x

y x 0, y x 1 0 при x M ;

lim

ln x ,

lim

x ;

(ln x)

lim

0 ,

x 1

(x )

x x

поэтому по теореме 13.2

ln x

lim

(ln x)

)

У п р а ж н е н и е 13.1. Найти

lim

(

x ax

ln x и y x2 :

M ;

0, a 1) .

П р и м е р 13.2

Найти

lim ln x ln(x 1).

x 1 0

Р е ш е н и е

lim

ln x ln(x 1) (0 )

x 1 0

ln(x 1)

lim

(ln(x 1))

x 1 0

ln x

x ln2 x

ln2 x

lim

x 1

lim

lim x

lim

x 1

x 1 0

x 1

x 1 0

ln2 x

2ln x 1

(ln

lim

0 .

1 0

x 1 0

114

П р и м е р 13.3

Найти lim xx.

x 0

Р е ш е н и е

Имеем неопределенность вида 00. Преобразуем функцию y xx eln(xx ) ex ln x . Найдем

lim

x ln x (0 )

lim

ln x

lim

(ln x)

x 0

lim

( x) 0 .

x 0

Поэтому

lim

x x

lim

e x ln x

lim x ln x

1 .

e x 0

x 0

П р и м е р 13.4

Найти lim

ctg x

x 0

Р е ш е н и е

xcos x sin x

lim

ctg x

( ) lim

xsin x

x 0

xcos x sin x

lim

(xcos x sin x)

x 0

x 0 sin x

x 0

)

lim

cos x xsin x cos x

lim

sin x

0 .

x 0

Если в условии теоремы 13.1 предположить дополнительно, что функции y f (x), y g(x) дифференцируемы в точке x0 и g (x0 ) 0 ,

тогда формула (13.1) перепишется в виде

115

lim

f (x)

f (x )

g(x ) 0

lim

f (x) f (x0 )

x x0 g(x)

x x0

g(x) g(x0 )

f (x) f (x0 )

x x

)

f (x

lim

(13.2)

g(x) g(x

)

x x0

g (x0 )

x x0

Геометрически это значит,

что предел при x x0

отношения значений

функций y f (x), y g(x)

равен отношению

угловых коэффициентов

касательных к этим функциям в точке x0 .

П р и м е р 13.5

Найти lim

sin 7x

(см. пример 4.2).

x tg8x

Р е ш е н и е

sin 7x

7cos7x

lim

(sin 7x)

lim

, рис. 13.1.

lim

x tg8x

x (tg8x)

cos2 8x

Рис. 13.1. Графики функций y sin 7x , y tg8x и их касательных в точке x

116

З а д а н и я

З а д а н и е 13.1

Вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя.

lim

ln x

;

2) lim

sin x ;

lim

tg x x

;

lim

ch x cos x

;

x x2

x 0 sin x

x 0 sin x x

x 0

lim

1 3 tg x

;

lim

cos(sin x) cos x

;

7) lim

ln(1 x2 )

;

1 2cos2 x

x 3

x 0

x 0 cos3x ex

ln2 x

lim

a x 1

;

lim

;

10) lim

1 ln x

;

1 x

x 1

11)

lim

;

12) lim

;

13)

lim

ctg x

;

ex 1

ln x

x 0

14)

lim

1 cos x ctg x ;

15)

lim 1 x sec x

;

x 1

1 e2x

x2 ;

16)

lim

ctg x ;

17)

lim

18)

lim

(ln 2x)

ln x

;

19)

lim x

ln(ex 1)

;

20)

lim (3x x) x .

x 0

Ответы

1) 0; 2) ; 3) 2; 4) 1; 5) 13; 6) 0; 7) 0; 8) 0; 9) 0; 10) 32; 11) 12; 12) 12; 13) 0; 14) 0; 15) 2 ;

16) 2; 17) 1; 18) 1; 19) e; 20) 9e2.

117

	14. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Пусть функция	y f (x) дифференцируема в точке x0 .	Тогда (см.
формулу (9.5)) ее приращение f (x0 x) f (x0 )
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 ) x o( x), x 0 .		(14.1)
Пусть x0 x x,	x x x0 , тогда (14.1) перепишется в виде
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) o(x x0 ) .
Рассмотрим многочлен
	P1(x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) .

Многочлен P1(x) обладает следующими свойствами:

1)P1(x0 ) f (x0 ) ;

2)P1(x0 ) f (x0 ) ;

3)f (x) P1(x) o(x x0 ), x x0 .

Пусть функция y f (x) n раз дифференцируема в точке x0 . Найдем многочлен

P (x) a a (x x

) a (x x )2

... a

(x x )n ,

(14.2)

обладающий аналогичными свойствами:

1) P(k) (x ) f (k) (x ),

k 0, 1 ,..., n ;

(14.3)

2) f (x) P (x) o(x x )n, x x .

Из (14.2), (14.3) следует, что

Pn (x0 ) a0 f (x0 ) ;

Pn (x0 ) 1 a1 f (x0 ) ;

Pn (x0 ) 1 2a2 f (x0 ) ;

Pn (x0 )

1 2 3a3 f (x0 ) ;

. . .

P(n) (x ) 1 2 ... na

(n) (x ) .

Поэтому коэффициенты ak

многочлена (14.2) задаются формулой

(k) (x )

, k

0, 1, ... , n .

(14.4)

118

f (x) P (x)

lim

применим теорему (13.1)

n 1

раз

(x x )n

x x0

f (n 1)

(x) P(n 1)

(x)

f (n) (x ) P(n) (x )

lim

по формуле (13.2)

0 .

x x0

n!(x x0 )

Таким образом свойства (14.3) выполняются (при этом коэффициенты многочлена Pn (x) задаются формулами (14.4)). Тем самым теорема доказана.

Теорема 14.1. Пусть функция y f (x) n раз дифференцируема в точке x0 , тогда

f (x) f (x

)

f (x0 )

(x x )

f (x0 )

(x x

)2 ...

f (n) (x0 )

(x x

)n o((x x )n ),

(14.5)

где o((x x )n ) –

бесконечно

малая функция

более

высокого

порядка

малости, чем (x x

при

x x .

Формула (14.5) называется формулой Тейлора, многочлен

P (x) f (x )

f (x0 )

(x x

)

f (x0 )

(x x

)2 ...

f (n) (x0 )

(x x

f (k) (x

)

(x x

k 0

правой

части

формулы

(14.5)

называется многочленом

Тейлора,

представление

разности

(x) f (x)

(x)

в виде

o((x x )n ) –

остаточным членом в форме Пеано.

Если функция x0 0, то (14.5) перепишется в виде

(n)

(0)

f (x) f (0)

f (0)

(0)

...

o(x

) , x

0 –

(14.6)

формула Маклорена.

Если функция y f (x) n 1 раз дифференцируема в некоторой окрестности O (x0 ) точки x0 , то остаточный член rn (x) можно представить в виде

r (x)	f (n 1) (x0	(x x0 ))	(x x )n 1; 0 1 –
r (x)			(x x )n 1; 0 1 –
n	(n 1)!		0
	(n 1)!

остаточный член в форме Лагранжа и формула

119

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20254.98 Mб0Математические олимпиады БПИ–БГПА–БНТУ.pdf
#
24.11.20251.63 Mб2Математический анализ. Функции нескольких переменных. Курс лекций для студентов инженерно-технических и экономических специальностей.pdf
#
28.12.2025793.46 Кб0Математический анализ. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.15 Mб1Математический анализ. Ч. 2..pdf
#
24.11.20251.03 Mб1Математический анализ. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.13 Mб1Математический анализ.pdf
#
28.12.2025533.95 Кб0Математическое моделирование в приборостроении. Моделирование механических колебаний.pdf
#
28.12.20252.08 Mб0Математическое моделирование производственных процессов-1.pdf
#
24.11.20252.57 Mб0Математическое моделирование производственных процессов.pdf
#
28.12.20251.25 Mб0Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением-1.pdf
#
24.11.20252.75 Mб1Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением.pdf