Математический анализ

10.4. 1) d2 y (6x ln 5x 25x)dx2 ;

100

101

11. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

Определение 11.1. Пусть X R подмножество во множестве действительных чисел R. Х называется ограниченным сверху (снизу), если такое число М(m), что выполняется неравенство x M (x m) x X .

При этом M(m) называется верхней (нижней) гранью множества Х. Наименьшая из всех возможных верхних граней множества Х называется точной верхней гранью множества Х и обозначается sup X (латинское

supremum (супремум) – наивысшее). Наибольшая из всех возможных нижних граней множества Х называется точной нижней гранью множества Х и обозначается inf X (латинское infimum (инфимум) –

наинизшее).

П р и м е р 11.1

X1 a, b , inf X1 a, sup X1 b ,

X2 a, b , inf X2 a, sup X2 b , рис. 11.1.

Рис. 11.1

Для множества Х1

inf X1 X1, sup X1 X1.

Для множества Х2

inf X2 X2, sup X2 X2 .

Аксиома Вейерштрасса. Всякое непустое ограниченное множество X R имеет конечные точные верхние и нижние грани sup X и inf X .

102

П р и м е р 11.2

Рис.11.2

Если в условии теоремы 10.1 рассматривать не отрезок, а интервал (a, b)

или полуинтервал, то она не выполняется. Например, для y f (x) из примера 11.2

а) y arctg x , x R ;

103

непрерывна на отрезке a, b и принимает на его концах значения разных знаков, то c a, b , такая, что f (c) 0 .

рис. 11.3.

Р е ш е н и е Функция y cos x x непрерывна x R.

104

За д а н и я

За д а н и е 11.1

Доказать, что уравнение имеет по меньшей мере один действительный корень в указанном промежутке.

1)x4 1,025x 0,97 0, 2, 1 ;

2)x4 3x2 2x 1 0, 1, 2 ;

3)8x 3 2x 16 0, 0, 2 ;

4)sin x x 1 0, 0, ;

5)x3 4x 6 0, 1, 2 ;

6)x3 3x 1 0, 1, 2 .

З а д а н и е 11.2

Доказать ограниченность функции на заданном промежутке.

3)y 1 x2 , 0, ;

1x

4)y xsin 1x , ( , ) ;

5)y arctg 2x , ( , ) ;

6)y xe x , (0, ) .

105

З а д а н и е 11.4

Найти точные грани функции:

1)f (x) 1 2xx2 на (0, );

2)f (x) x2 на 5, 10 ;

3)f (x) arctg 2x на ( , ) ;

4)f (x) sin x cos x на 0, ;

Ответы

11.3. 1) да; 2) нет; 3) нет; 4) нет; 5) да.

106

12. СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

Определение 12.1. Функция y f (x) называется возрастающей в точке x0 , если окрестность O (x0 ) этой точки такая, что x O (x0 ) :

x x0 f (x) f (x0 ) ; x0 x f (x0 ) f (x) .

Аналогично определяется убывающая в точке x0 функция.

Точка x0 называется точкой локального максимума (минимума) функции y f (x) , если окрестность O (x0 ) этой точки такая, что x O (x0 ) , x x0 :

Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума. Если знаки неравенств в соотношениях (12.1) нестрогие, то говорят о нестрогом локальном максимуме (минимуме).

Теорема 12.1. (теорема Ферма). Пусть функция y f (x) определена

внекоторой окрестности O (x0 ) точки x0 , дифференцируема в этой точке

иимеет в ней локальный экстремум. Тогда

f (x0 ) 0 .

Доказательство

Докажем теорему, например, для случая, когда x0 – локальный максимум:

Из (12.2) и (12.3) следует, что f (x0 ) 0 , что и требовалось доказать.

107

Равенство f (x0 ) 0 в теореме 12.1 означает, что касательная к графику функции y f (x) в точке (x0, f (x0 )) горизонтальна.

Теорема 12.2. Пусть функция y f (x) дифференцируема в точке x0 и f (x0 ) 0 ( f (x0 ) 0 ). Тогда f (x) возрастает (убывает) в точке x0 .

Доказательство

Докажем для случая f (x0 ) 0 . По формуле (6.4)

y f (x0 x) f (x0 ) f (x0 ) x o( x),

следовательно условия возрастания функции в точке (см. определение 12.1) выполнены.

Теорема 12.3 (теорема Ролля). Пусть функция y f (x) :

1)непрерывна на отрезке a, b ;

2)дифференцируема на интервале (a, b) ;

3)f (a) f (b) .

Доказательство

По теореме 11.1 c1 , c2 a, b такие, что

например, c1 (a, b) . Тогда точка c1 удовлетворяет условиям теоремы 12.1, и поэтому f (c1) 0 , что и требовалось доказать.

108

У п р а ж н е н и е 12.1. Проверить, удовлетворяют ли условиям теоремы

(см. упражнение 6.6).

Из теоремы Ролля следует, что между двумя последовательными корнями дифференцируемой функции имеется хотя бы один корень ее производной.

Теорема 12.4 (теорема Лагранжа). Пусть функция y f (x) :

1)непрерывна на отрезке a, b ;

2)дифференцируема на интервале (a, b) . Тогда c (a, b) такая, что

(c, f (c)) параллельна прямой L, рис. 12.1.

Рис. 12.1

109