Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

З а д а н и е 9.3

Найти угол, под которым пересекаются линии.

1)11x2 16xy y2 26x 22 y 10 0, x 1;

2)x2 4xy y2 8x 2 y 9 0, x y 1 0 ;

3)x2 3xy y2 4x 6 y 1 0, x y 2 0 ;

4)(x 5)2 ( y 6)2 25,(x 2)2 ( y 6)2 32 .

За д а н и е 9.4

Вкакой точке касательная к линии y x3 11x 15 перпендикулярна к прямой 2x 2 y 7 0 ?

За д а н и е 9.5

В какой точке касательная к линии	y x3 5x2 6x 3 параллельна
прямой 3x y 5 0 ?
З а д а н и е	9.6

В какой точке касательная к линии y x2 4x 5 образует с прямой

3x 2 y 7 0 угол 4 ?

За д а н и е 9.7

Вкакой точке параболы y x2 2x 5 нужно провести касательную, чтобы она была перпендикулярна к биссектрисе первого координатного угла?

За д а н и е 9.8

Вуравнении параболы y x2 bx c определить b и c так, чтобы она касалась прямой y 2x 1 в точке x 1.

За д а н и е 9.9

Точка движется по прямой y 2x 3 так, что	абсцисса ее возрастает
с постоянной скоростью 3. С какой скоростью	изменяется ордината?

З а д а н и е 9.10

Одна сторона прямоугольника имеет постоянную величину a 10 см, а другая – b – изменяется, возрастая с постоянной скоростью 4 см/с. С какой скоростью растут диагональ и площадь прямоугольника в тот момент, когда b = 30 см?

За д а н и е 9.11

Вкакой точке параболы y2 18x ордината возрастает вдвое быстрее

абсциссы?

З а д а н и е 9.12

Точка движется по параболе y 7 x2 так, что ее абсцисса изменяется с течением времени t по закону x t3 . С какой скоростью изменяется ордината?

З а д а н и е 9.13

Вычислить приближенно:

1) cos61 ;

2) lg10,21 ln(10) 2,303 ; 3) 5 33; 4) arctg1,05.

З а д а н и е 9.14

Сторона квадрата равна 8 см. Насколько приблизительно увеличится его площадь, если каждую сторону увеличить: 1) на 1 см; 2) 0,1 см?

З а д а н и е 9.15

Радиус R изменяется на величину R . Вычислить, на сколько изменяются:

1)площадь круга;

2)объем шара,

исравнить их с точными значениями.

Ответы

9.1. 1) 12x y 42 0 – касательная, x 12 y 76 0 – нормаль;

2)7x y 32 0 – касательная, x 7 y 26 0 – нормаль;

3)9x y 13 0 – касательная, x 9 y 35 0 – нормаль;

4)5x y 1 0 – касательная, x 5y 5 0 – нормаль;

5)x 4 y 2 0 – касательная, 16x 4 y 15 0 – нормаль;

6)2x y 5 0 – касательная; x 2 y 0 – нормаль;

7)y 3 – касательная,

x 0 – нормаль;

8)x y 2 0 – касательная,

xy 6 0 – нормаль;

9)y 2x 0 – касательная, 2 y x 0 – нормаль;

10)1) 2x y 3 0 – касательная,

x2 y 1 0 – нормаль в точке М1 (1, 1);

2)2x y 3 0 – касательная,

x 2 y 1 0 – нормаль в точке М2 ( 1, 1); 9.2. 1) 4x y 4 0 – касательная,

x 4 y 18 0 – нормаль;

2)x y 1 0 – касательная, x y 3 0 – нормаль;

3)4x 3y 1 0 – касательная, 3x 4 y 7 0 – нормаль;

4)x y 4 0 – касательная, x y 0 – нормаль.

9.3. 1)		arctg	2	,	2	arctg	10	;
	1		3		2		11
			3				11

2) 1 2 arctg1,5 ; 3) 1 2 2 ; 4) 1 2 arctg7 .

9.4.M ( 2, 1); N (2, 29) .

9.5.M (3, 3); N 1 , 41 .

3 27

9.6.		9	,	11	. 9.7.		1	,	17	. 9.8. b c 0	. 9.9. 6.
	M	2		4		M	2		4

9.10.Диагональ растет со скоростью приблизительно 3,8 см/с, площадь – со скоростью 40 см2/с.

9.11.x 98 , y 92 .

9.12.6t5 .

9.13.1) 0,485; 2)1,009; 3) 2,0125; 4) 4 0,025 0,81.

9.14.1) 16; 2) 1,6.

9.15.1) S dS 2 R R; 2) V dV 4 R2 R .

	10. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
	Определение 10.1. Пусть функция y f (x)		дифференцируема x R и
		Предположим,
y	f (x) – ее производная.		что f (x) в свою очередь
		– ее производная. Она называется второй
дифференцируема и ( f (x))
производной функции y f (x) и обозначается			f
				(x) . Таким образом:

f (x) = ( f (x)) .

Аналогично,

(n)

(x)

( f

(n 1)

(x)) .

Другое обозначение для

(x) : f

(2)

(x);

d2 f

;

d2 y

dx2

dx2 .

П р и м е р 10.1

y ln

x x2

. Найти y .

Р е ш е н и е

(см. упражнение 6.4).

x2 a2

(x2

a2 )3

x2 a2

П р и м е р 10.2

Найти k-ю производную функции y ax .

Р е ш е н и е

y ax ln 2; y (ax ln 2) ax ln2 2, ... ,

y(k 1) ax lnk 1 2; y(k ) (ax lnk 1 2) ax lnk 2 .

Таким образом (ax )(k ) ax lnk a .

У п р а ж н е н и е 10.1. Проверить, что

(x )(k ) ( 1) ... ( k 1)x k ;

(k )

πk

sin

(x) sin

;

(k )

πk

cos

(x)

cos x

У п р а ж н е н и е 10.2. y ln x;

y ln(1 x) . Найти y(k ) .

П р и м е р 10.3

Найти y

для функции y y(x) , заданной неявно:

Р е ш е н и е

y ; y 0

(см. пример 8.1).

y xy

подставим y b

y a2

У п р а ж н е н и е

10.3. Найти y для функции

y y(x) ,

заданной

уравнением

Пусть функция y y(x) задана параметрически в виде

x x(t);

y y(t) (см. п.7).

Пусть x(t) и y(t) дважды дифференцируемы и x (t) 0 . Тогда (см. п. 7.2)

	x x(t);
		y (t)
		y (t)
yx		t
yx		xt (t)
		xt (t)

первая производная функции y y(x) .

Рассуждая аналогично п. 7:

x x(t);
	( yx )t		(10.1)
		вторая производная функции.
yx	xt (t)

При этом

( yx )t

yt xt yt xt

)

(xt

поэтому формула (10.1) перепишется в виде

x x(t);

yt xt

(xt )

П р и м е р 10.4

Найти y для функции y y(x) , заданной параметрически в виде

x a cost;
	0 t π.
y bsin t,	0 t π.

Р е ш е н и е

По формуле (7.3)

x acost;

ctgt.

Далее, по формуле (10.1)

x a cost;

1 .

ctgt

sin

(a cost)

У п р а ж н е н и е 10.4. Проверить совпадение y

для

y a

x –

верхняя половина эллипса, с формулами из примеров 10.3 и 10.4.

У п р а ж н е н и е 10.5. Найти yx

для функции x a ch t;

y bsh t, t 0.

Теорема

10.1. Пусть Функции

u u(x)

и (x) n

раз дифферен-

цируемы, тогда

(u )(n)

u(n)

(n) .

(10.2)

(u )

(n)

1 (n 1)

(n 2)

n 1

(n 1)

(n)

–

(10.3)

Cnu

Cn u

... Cn u

формула Лейбница, где Ck

; в частности:

k!(n k)!

(u ) u 2u u ,

(u ) u 3u 3u u .

П р и м е р 10.5

y 2x (x2 x) . Найти y(6) .

Р е ш е н и е

По формуле (10.3):

x))

(6)

)

(6)

6(2

)

(5)

)

(4)

x) 15(2

x) ,

остальные слагаемые равны 0.

(2x )(4)

2x ln4

2; (2x )(5)

2x ln5

(2x )(6)

2x ln6 2 ,

поэтому

(2x (x2 x))(6)

2x ln4 2(ln2 2(x2

x) 6ln 2(2x 1) 30) .

Определение

10.2.

Пусть

функция

y f (x)

дифференцируема

и dy f

(x)dx – ее дифференциал. Зафиксируем dx и будем рассматри-

вать dy как функцию одной переменной х. Дифференциал от дифференциала dy функции y f (x) будем называть вторым дифференциалом

этой функции и обозначать d2 y . Таким образом:

d2 y =d(dy) .

(10.4)

Аналогично

dn y d(dn 1 y) .

(10.5)

Преобразуем формулы (10.4) и (10.5):

d2 y = d(dy) d( f (x)dx) d( f (x))dx f (x)dx2 .

То есть

d2 y f (x)dx2 ,

dn y f (n) (x)dxn .

При вычислении d( f (x)) приращение независимой переменной берем равным первоначальному приращению dx.

П р и м е р 10.6 y sin(x2 ) . Найти dy, d2 y .

Р е ш е н и е

y cos(x2 ) 2x, y sin(x2 )4x2 2cos(x2 ) ; dy cos(x2 )2xdx ;

d2 y ( sin(x2 ) 4x2 2cos(x2 ))dx2 .

Свойство инвариантности верное для первого дифференциала не выполняется для второго.

Например, для функции y sin(x2 ) из примера 10.6 имеем u x2 ;

y sin u; du 2xdx; d2u 2dx2 .

Тогда для первого дифференциала

dy cos(x2 )2xdx cosudu ,

но

d2 y sin(x2 )4x2dx2 2cos(x2 )dx2

sin udu2 cosu(2dx2 ) sin udu2 cosud2u.

Таким образом

d2u sin udu2 cosud2u sin udu2 d2 (sin u) .

Если u u(x) , то для функции y y(u(x))

верна формула

d2 y yu (u)du2 yu (u)d2u .

Если

функции

u u(x)

(x)

n раз

дифференцируемы, то для

d n (u )

и d n (u ) верны формулы, аналогичные формулам (10.2), (10.3).

В частности:

d(u ) du d ,

d2 (u ) d2u d2 ,

d(u ) ud du ,

d2 (u ) ud2 2dud d2u .

З а д а н и я

З а д а н и е 10.1

Найти y

и y

для функции y y(x) , заданной неявно:

y2 8x ; 2)

y x arctg y ; 3) y2

5x 4 ;

4) y2 x cos y ;

5) 3x sin y 5y ;

6) tg y 3x 5y ;

7) xy y3 ; 8)

y ey 4x ;

9) ln y

7 ;

10) 4sin2 (x y) x .

З а д а н и е 10.2

Найти y

и y

параметрически заданной функции:

x 2t 3,

x 2cos

y 3t3;

y 3sin2 t;

;

cost,

x t

x e

y ln t;

sin t;

y t

x arctgt,

x arcsin t,

x ln t,

x e

y ln(1 t2 );

10)

y t2 ln t.

1 t

;

З а д а н и е 10.3

Для заданной функции y и аргумента x0 вычислить y (x0 ) .

1)	y xcos 2x, x				π	;	2) y ln(x2	4), x	3;
1)	y xcos 2x, x					;	2) y ln(x2	4), x	3;
			0	12				0
	y 2x2 , x 1;			12
3)	y 2x2 , x 1;			4) y x arctg x, x				2;
		0					0
5)	y (4x 5)4 , x			1;			6) y sin(x3	π), x	3 π ;
			0					0
7)	y x	4 ln x, x	1; 8)				y ex cos x, x 0 .
		0						0
							З а д а н и е 10.4
Найти d 2 y :
1)	y x3 ln 5x ;		2)	y (x2 1)arctg x ; 3) y e5x cos3x ;
4)	y	arcsin 2x (arctg x)2 ; 5) y ln(x							1 x2 ) ; 6)	y 4x3 ;
7)	y e sin4 5x ;		8)	y ctg(x3 x2 ) ;				9) y arctgln x ln arctg x ;

10) y ctg x cosec x .

З а д а н и е 10.5

Доказать, что

заданная

функция

y f (x) удовлетворяет заданному

уравнению:

y ex cos x,

y 2 y 2 y 0 ;

y cos ex

sin ex , y y ye2 x

0 ;

y ex sin x,

y 2 y 2 y 0;

, xy xy

0 ;

1 x ln x

y arcsin

) xy

;

3arcsin x 5, y (1

x 3t2 ,

6)y 3t t3;

36 y ( y 3x) x 3;

7)y ex 2e2 x , y 6 y 11y 6 y 0 ;

8)y sh x ch x, y y 0 ;

9)y cos4 1 x , 3y 2 4 yy y2 ;

10)1 x 12 ln(2 y 3), y (2y 3) 2( y )2 0 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.20254.98 Mб0Математические олимпиады БПИ–БГПА–БНТУ.pdf
#
24.11.20251.63 Mб2Математический анализ. Функции нескольких переменных. Курс лекций для студентов инженерно-технических и экономических специальностей.pdf
#
28.12.2025793.46 Кб0Математический анализ. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.15 Mб1Математический анализ. Ч. 2..pdf
#
24.11.20251.03 Mб1Математический анализ. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.13 Mб1Математический анализ.pdf
#
28.12.2025533.95 Кб0Математическое моделирование в приборостроении. Моделирование механических колебаний.pdf
#
28.12.20252.08 Mб0Математическое моделирование производственных процессов-1.pdf
#
24.11.20252.57 Mб0Математическое моделирование производственных процессов.pdf
#
28.12.20251.25 Mб0Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением-1.pdf
#
24.11.20252.75 Mб1Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением.pdf