Математический анализ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет

Кафедра «Высшая математика № 2»

Л. Д. Матвеева А. Н. Рудый

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Учебно-методическое пособие для студентов энергетических специальностей

Рекомендовано учебно-методическим объединением по образованию в области энергетики и энергетического оборудования

Минск

БНТУ

2016

1

УДК 512.85(075.8) ББК 18.87я7

М 33

Рецензенты:

А. В. Чигарев, Г.М. Заяц

Матвеева, Л. Д.

М 33 Математический анализ: учебно-методическое пособие для студентов энергетических специальностей / Л. Д. Матвеева, А. Н. Рудый. –

Минск : БНТУ, 2016. – 129 с. ISBN 978-985-550-551-9.

Содержатся задания по темам «Комплексные числа», «Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной» и др. Приводятся примеры решения типовых задач.

Содержится список рекомендуемой литературы.

Издание предназначено для студентов 1-го курса энергетического факультета БНТУ, может быть также полезно преподавателям, ведущим практические

занятия по данному курсу.

2

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Определение 1.1. Многочленом (полиномом) степени n с действительными коэффициентами называется любое выражение вида

Нетрудно заметить, что некоторые многочлены вообще не имеют действительных корней, например:

Расширим множество действительных чисел. Добавим к этому множеству символ i , такой что i2 1 ( i называется мнимой единицей).

Тогда i – два корня уравнения x2 1 0 .

Определение 1.2. Множеством комплексных чисел называется множество

a Re(z), b Im(z).

Относительно операций «+» и « · » комплексные числа С обладают такими же свойствами, как и действительные числа. Эти операции коммутативны и ассоциативны; для них существуют обратные операции: вычитание и деление (кроме деления на 0).

3

Теорема 1.1 (основная теорема алгебры). Любое уравнение вида (1.2) имеет решение во множестве С.

П р и м е р 1.2

Решить уравнение 2x2 x 1 0 .

Р е ш е н и е

z z (a bi)(a bi) a2 b2 z 2 .

4

Определение 1.4. Аргументом комплексного числа z a bi называется угол , который образует радиус-вектор точки z с положительным

направлением оси Ох Аргумент будем обозначать Arg z . Аргумент определен с точностью до 2 n. При этом значение называется главным и обозначается arg z .

Замечание. Arg z =arg z + 2 n, n 0, 1, 2, ...

При этом

Доказательство z1 z2 r1 r2 (cos 1 isin 1)(cos 2 isin 2 )

r1 r2 (cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) i (sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 )

r1 r2 (cos( 1 2 ) isin( 1 2 )), что и требовалось доказать.

Из формул (1.5) следует, в частности, что

5

П р и м е р 1.3

поэтому по формуле (1.3)

6

Из формул (1.5), (1.6) видно, что аргумент комплексного числа z при

умножении, делении, возведении в степень ведет себя как показатель степени. Обозначим

Тогда из теоремы 1.2 следует, что

1) ei 1 ei 2 ei( 1 2 ) ;

2) ei 1 ei( 1 2 ) ;

ei 2

3) ei 1 n ein 1 .

Учитывая (1.7), формулу (1.4) для z можно переписать в виде z z ei – показательная форма комплексного числа.

П р и м е р 1.4

Р е ш е н и е

Согласно примеру 1.3

7

Из формулы (1.8) видно что n корней n-й степени из числа z, при этом,

k0, 1, 2,..., n 1.

Пр и м е р 1.5

Найти 3 1 .

Р е ш е н и е

1 1 ei 0 , тогда по формуле (1.9)

З а д а н и я

За д а н и е 1.1

8

З а д а н и е 1.3

Найти действительные решения уравнений.

1)(3 i)x (1 i) y 10 2i ;

2)(2 2i)x (1 2i) y 3 6i ;

3)(5 3i)x (2 i) y 1 5i ;

4)(1 5i)x (3 i) y 16i .

З а д а н и е 1.4

Записать в тригонометрической и показательной форме следующие

9