Рис.6. Φ ={(x, y)

a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)}, SΦ =

b

∫ f (x)dx = f (c)(b − a) .

Упражнения к § 24.

a

24.1. Для функции y = x, x [0,1] найти

а)

s и

, разбивая отрезок на n равных частей;

s

б)

доказать, что y = x интегрируема на этом отрезке;

1

в) вычислить ∫xdx как предел соответствующих интегральных сумм.

0

24.2. Для функции y = x2 , x [0,1] найти

а)

s и

, разбивая отрезок на n равных частей;

s

б)

доказать, что y = x2 интегрируема на этом отрезке;

24.1.

а) s = n +1

, s = n −1

1

1 .

; в) ∫xdx =

2n

2n

0

2

(n +1)(2n +1)

(n −1)(2n −1)

1

1

24.1. а) s =

, s =

2

dx =

.

6n

2

6n

2

; в) ∫x

3

24.3. c = 2 .

0

13

x

F(x) = ∫ f (t)dt

(1)

a

y = f (x)

на отрезке

[a, b], то есть

является первообразной

для

функции

′

F (x) = f (x), x [a, b].

Доказательство. Пусть x0 [a, b].

x +Δx

x

F′(x0 ) = lim

F(x0 +

x) − F(x0 )

0 ∫ f (t)dt − ∫0 f (t)dt

= lim

a

a

=

x

x→0

x

x→0

= lim

x0

=

по свойству 8 изпараграфа 24

=

x

x→0

= lim

f (c) x

= lim f (c) =

c [x , x +Δx], f (x) − непрерывна

= f (x ) ,

что

x→0

x

x→0

0

0

0

и требовалось доказать.

b

Замечание. Аналогично можно доказать,

что для функции G(x) =

∫ f (t)dt

′

x

верна формула: G (x) = − f (x) .

Теорема 2. (основная теорема интегрального исчисления).

Пусть

функция

y = f (x) - непрерывна

на отрезке [a, b]. Φ(x)

- ее

первообразная на [a, b].Тогда

b

∫ f (x)dx = Φ(b) −Φ(a)

-

(2)

x

Доказательство. Рассмотрим функцию F(x) = ∫ f (t)dt . По теореме 1 F(x) -

a

первообразная для f(x). По теореме 1 § 18: F(x) = Φ(x) +C , то есть

x

a

∫ f (t)dt = Φ(x) +C, x [a, b]. В частности при x = a : ∫ f (t)dt = 0

= Φ(a) +C

a

a

C = −Φ(a) , то есть:

Рис.1. График функции

y =3x2 .

2

2

SΦ = ∫3x

2dx

= x3

=8 −1 = 7 .

1

1

Если функция

y = f (x) - кусочно-непрерывна на [a, b], то формула (2) –

также верна в случае, когда Φ(x)

- непрерывна на [a, b].

1+ x, x [−1; 0)

1

Пример 2. f (x) =

, x

= 0

.

2

(

]

x, x

0; 1

x

1

1

1+ x, x [−1; 0)

1

Рис.2. График функции

f (x) =

,

x = 0

.

2

(

]

x, x

0; 1

x2

x

+

+C1

2

Функция

-

первообразная

для

f (x)

при

F(x) =

x2

+C2

2

x (−1; 0) (0; 1) .

И, если C1 =C2 =C , то F(x) - непрерывна и

1

1

1

1

∫ f (x)dx = F(x)

+

+C

−

=1.

= 1

2

2

+C

−1

−1

Если же C1 ≠ C2 ,

то

F(x)

разрывна

в точке x0 ,

и

формула

(2)

не

выполняется.

y = f (x)

[a, b],

Замечание.

Если

-

кусочно-непрерывна

на

то

при

1

0

1

x

2

0

x

2

1

1

1

∫

f (x)dx =∫

(1+ x)dx +∫xdx = x +

+

=

+

=1.

2

2

2

2

−1

−1

0

−1

0

x

x

′

∫sin(t2 )dt

=

0

∫sin(t2 )dt

= lim sin x2

2

1 .

Пример 3. lim

0

= lim

0

=

3

(x3 )′

x→0

x

0

x→0

x→0 3x

3

x

x

Упражнение 1. Найти а) lim

∫et2 dt

∫e−t2 dt

0

; б) lim

0

.

x

x2

x→0

x→0

Пример

4.

Вычислить

2

x −1

dx =

2

x −1

dx .

Подинтегральная

∫

∫

x2 − 2x +1

x −1

0

0

функция имеет на промежутке [0; 2] точку разрыва первого рода: x0 =1.поэтому:

2

x −1

1

x −1

2

x −1

1

2

1

2

∫

dx = ∫

dx + ∫

dx = ∫−1dx + ∫1dx = −x

0 + x

1

= (−1+ 0) + (2 −1) = 0 .

x −1

1

− x

x

−1

0

0

1

0

1

x

x

x

Упражнение 2. Φ1(x) =

∫sin(t2 )dt, Φ2 (x) =

∫ sin(t2 )dt, Φ3 (x) =

∫ sin(t2 )dt .

0

0

x−π

Найти Φ1′(x), Φ′2 (x),Φ′3 (x) .

dx

π

Пример 5. Вычислить ∫

.

1+ cos2 x

0

Φ(x) =

1

tg x

- первообразная

для

f (x) =

1

на любом

arctg

2

1+ cos

2

x

2

отрезке не содержащем точек x =

π

+πn, n = 0, ±1, ... , (см. пример 3 § 23).

π

2

π

x =

[0, π], Φ(x) имеет разрыв в точке

x =

и не является первообразной для

2

2

ArcTan

Tan x

2

y

2

x

2

Рис.3. График функции Φ(x) =

1

arctg

tg x

2

2

π

dx

Поэтому ∫

≠ Φ(π) −Φ(0) = 0 .

0 1+ cos2 x

Для вычисления интеграла разобьем отрезок [0; π]

на отрезки

π

и

0;

2

π

в точке

π

до непрерывной на первом и

; π и доопределим функцию Φ(x)

2

2

π

π

втором интервале:

lim

Φ(x) =

;

lim Φ(x) = −

.

2 2

x→π

−0

2 2

x→π

+0

2

2

dx

π

dx

dx

π

π

2

π

π

Тогда ∫

= Φ1(x)

+ Φ2 (x)

=

∫

+ ∫

2

π =

1+ cos2 x

+ cos2 x

1+ cos2 x

0

0

1

π

0

2

π

π

π

2

=

−0

+ 0

+

=

.

2 2

2

2

2

1

tg x

π

1

tg x

π

arctg

, x

0;

2

arctg

, x

0;

2

2

2

2

,

Φ2

2

.

Где Φ1(x) =

π

π

(x) =

π

π

, x

=

−

, x =

2

2

2

2

2

2

Искомый интеграл можно также вычислить , найдя первообразную F(x)

для f (x) на всем промежутке [0; π]:

1

tg x

π

arctg

, x 0;

2

2

2

π

π

F(x) =

, x =

2

.

2 2

1

arctg tg x

+π

, x π2

; π

2

2

(см. графики Φ(x)

и F(x) ).

x

2

1

tg x

π