Пример 3. r2 = a2 sin 2ϕ, 0 ≤ϕ ≤ |
π |
– лепесток лемнискаты, |
расположенный в первой четверти |
2 |
|
|
|
Найдем qx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
acos2ϕ |
|
|
Решение. r = a sin 2ϕ; |
r |
′ |
= |
|
|
|||||||||
|
|
sin 2ϕ |
|
|
||||||||||
|
|
2 |
′ |
2 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
dl = |
r |
|
+ (r ) |
|
dϕ = |
|
|
|
|
dϕ. По формуле (7): |
|
|
||
|
|
sin 2ϕ |
|
|
|
|
||||||||
π |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
qx = 2π ∫2 a |
sin 2ϕ sinϕ |
|
dϕ = 2πa2 ∫2 sinϕdϕ = 2πa2 (−cosϕ) |
|
2 = 2πa2 . |
|||||||||
|
sin 2ϕ |
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнения к § 34.
Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L вокруг указанной оси.
34.1.y = 2 x −1, x [1; 5], Ox .
34.2.y = x3, x [−1;1], Ox .
34.3.x =3(t −sin t), y =3(1−cost), t [0; 2π], Ox .
34.4.r = 4cosϕ.
34.5.r = 2(1+ cosϕ) вокруг полярной оси.
34.6.y = 2 x; 0 ≤ x ≤1, Ox .
34.7. x = cost, y =1+sin t, Ox .
104
|
x = cost |
,0 |
≤t ≤π |
|
|
34.8. |
|
|
,Ox |
||
y =1 |
+sin t |
|
|
||
|
|
|
− |
1 ≤ x ≤1 |
|
|
y =1, |
|
|
||
34.9. x =5cos3 t, y =5sin3 t, Ox .
34.10.r = cos2ϕ .
34.11.r2 = 2cos2ϕ .
34.12. r = 2sinϕ, |
π |
≤ϕ ≤ |
3π |
. |
|
4 |
4 |
||||
|
|
|
34.13.x = 2cost, y =3 + 2sin t, Ox .
34.14.y = x3, 0 ≤ x ≤ 2 .
34.15.r2 =9cos2ϕ.
34.16.r = 4sinϕ.
34.17.y = ex , x [0;2], Ox .
34.18.y = ch x, x [0;1], Ox .
|
|
Ответы на упражнения к § 34. |
|
|
|
|
|||||||||||||
34.1. 8π(5 5 −1) |
34.2. |
|
2 |
π(10 |
10 −1) |
|
34.3. 192π . |
|
|||||||||||
27 |
|
||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
34.4. 16π . |
|
34.5. |
128 |
π . |
|
|
|
|
34.6. |
8π(2 |
|
2 −1) . |
|||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||
34.7. 4π2 . |
34.8. 8π + 2π2 |
|
|
|
|
34.9. 60π . |
|
|
|||||||||||
34.10. 2π(2 − 2) |
34.11. 4π(2 − |
2) |
|
34.12. 2π(2 +π) |
|||||||||||||||
34.13. 24π2 |
34.14. |
π |
|
(145 |
145 −1) |
|
34.15.18π(2 − 2) |
||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
e2 + |
1+ e4 |
|
|||||
34.16. 16π |
|
34.17.π e |
|
1 |
+ e |
|
− 2 |
+ ln |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
2 |
|
|
|
|||
34.18. 12 π(2 +sh 2) .
105
ЛИТЕРАТУРА
1.Кудрявцев,Л.Д. Краткий курс математического анализа. / Л.Д.Кудявцев. –
М.: Наука, 1989.
2.Демидович,Б.П.Сборник задач по математическому анализу./ Б.П.Демидович. – М.: Наука, 1990.
3.Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа./ Под ред.А.В.Ефимова, Б.П.Демидовича. – М.: Наука, 1981.-Т.1.
4.Герасимович, А.И. Математический анализ: в 2 ч./ А.И. Герасимович, Н.А. Рысюк/. – Минск: Вышэйшая школа, 1989. – Ч. 1.
5.Математический анализ в вопросах и задачах./Под ред.В.Ф.Бутузова.- М.: Физматлит, 2001.
5.Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах./ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова/. – Минск: Вышэйшая школа, 1986. – Ч. 1.
6.Сухая, Т.А. Задачи по высшей математике./ Т.А. Сухая, В.Ф.Бубнов/. – Минск: Вышэйшая школа, 1993. – Ч. 2.
7.Индивидуальные задания по высшей математике./ под ред. А.П. Рябушко
/.– Минск: Вышэйшая школа, 2008. – Ч. 1,2.
8.Кузнецов, Л.А. Сборник заданий по высшей математике./ Л.А.Кузнецов/.
– М: Высшая школа, 1983.
9.Матвеева,Л.Д., РудыйА.Н. Математический анализ. 1 семестр. /Л.Д.Матвеева,А.Н.Рудый/.-Минск,БНТУ,2015.
10.Матвеева,Л.Д., Бань Л.В.,РудыйА.Н. Математический анализ. Часть 2. /Л.Д.Матвеева,Л.В.Бань,А.Н.Рудый/.-Минск,БНТУ,2015.Электронный учебный материал.Рег.№ БНТУ/ЭФ 41-35.2015.
106