V =

2

β

sinϕdϕ

.

(14)

π ∫r3 (ϕ)

3

α

Пример 8.

−

π

≤

ϕ ≤

π

,

3

(см. пример 4 § 31).

Ф = (ϕ,r)

3

3

2

a ≤ r ≤ a(1+ cosϕ)

2

π

2

π

a3 (1

27 a3

sinϕdϕ =

Vx =

π

∫3 (r13 (ϕ) − r23 (ϕ)) sinϕdϕ =

π ∫3

+ cosϕ)3 −

3

0

3

0

8

2

π

27

2

1

π

9

π

= −

πa

3

3

(1+cosϕ)

3

−

πa

3

(1

+cosϕ)

4

3

+

πa

3

cosϕ

3

=

3

∫

8

d(cosϕ) = −

3

4

4

0

0

0

33.1.

y2 = x,

x = 4, Ox,Oy ;

33.2.

y = ex ,

y = e2x , x =1, Ox, Oy ;

33.12. y = x3,

x = 0,

y =1,

Ox,Oy ;

33.13.

x =t −sin t

,

0 ≤t ≤ 2π, Ox ;

y =1−cost

33.14.

x = cos3 t

,

0

≤t ≤π,

Ox,Oy ;

y =sin3 t

33.15.

x = 2t +t

2

,

петля,

Ox,Oy ;(см.упражнение 30.20)

y = 2t2 +t3

2

33.16.

x =3t

, 0 ≤t ≤

3 , Ox ;(см.упражнение 30.21)

3

y = 3t −t

33.17.

x = 4t −t

3

, 0 ≤t ≤ 2,

Oy ;(см.упражнение 30.22)

y = 4t2

2

−1

33.18.

x =t

, − 2 ≤t ≤ 0, Ox ;(см.упражнение 30.23)

− 4t

y =t3

33.19. r = cosϕ,

0 ≤ϕ ≤π

вокруг полярной оси;

33.20. r = cos2 ϕ,

0 ≤ϕ ≤π

вокруг полярной оси;

33.21. r = 2(1+cosϕ), 0 ≤ϕ ≤π вокруг полярной оси;

33.22. r =sin 2ϕ,

0 ≤ϕ ≤π / 2 вокруг полярной оси;

33.25. x2 + y2 =

z

R2

, z = h ;

x2

y2

h

33.26.

+

=

z

,

z

= h ;

a2

b2

h

33.27.

x2

+

y2

=

z2

,

z = h ;

a2

b2

h2

33.28.

x2

+

y2

=

z2

,

x2

+

y2

=

z

;

a2

b2

h2

a2

b2

h

64π

Ответы на упражнения к § 33.

π

π

2

−1)

2

(e

2

−3);

33.1. Vx =8π,Vy =

5

;

33.2.

Vx =

4 (e

; Vy

=

2

33.3. V

y

=π(π −1) ;

33.4. V = 3π

,V

y

= 512π ;

2

x

4

105

33.5. V =16 π,V

y

= 8

π ;

33.6. V =π2

;

x

15

3

x

33.7. V =

6π ,V

y

= 3π ;

33.8. V = 512π

,V

y

= 128π

;

x

5

5

x

15

3

33.9. V =16π ,V

y

= 32π ;

33.10. V = 81π ,V

y

= 27π

;

x

3

3

x

10

2

33.11. V =

π ,V

y

= 96π ;

33.12. V = 6π

,V

y

= 3π .

x

4

35

x

7

5

33.13. V =5π2 ;

33.14. V =

32

π

, V

y

=

32

π ;

x

x

105

105

64

64

33.15. V =

π

,V

y

=

π ;

33.16. V = 81π ;

x

105

105

x

4

33.17. V

y

= 256 π ;

33.18. V = 64 π ;

3

x

3

π

2

33.19.

;

33.20.

π ;

6

21

33.21.

64

π ;

33.22.

32

π

;

3

105

33.23.

11π ;

33.24. 1πR2 h ;

6

3

33.25.

1

πR2 h ;

33.26.

1

πab h ;

2

2

33.27.

1

πab h ;

33.28.

1

πab h

3

6

n

(1)

Таким образом q = lim ∑ qk

Δ→0 k=1

y = f (x) – непрерывно-дифференцируема на

Замечание. Пусть функция

отрезке [a,b], тогда q

=π( y

k−1

+ y

k

)

x2

+

y2

– площадь боковой поверхнос-

k

k

k

ти усеченного конуса;

q =π( y

k−1

+ y

k

)

x

1+

yk

2

=

(по теореме

k

k

xk

101

Лагранжа (см. теорему 4 § 12)

=π( yk−1 + yk )

1+ ( y′(ck ))2 xk

, где ck [xk−1, xk ].

Поэтому

n

1+ ( y′(ck ))2 xk =

q = lim ∑π( yk−1 + yk )

Δ→0 k=1

n

′

2

b

′

2

= lim 2π

∑ y(ck )

xk = 2π

∫ y(x)

dx

1+ ( y (ck ))

1+ ( y (x))

Δ→0

k=1

a

Таким образом:

b

′

2

qx

= 2π∫ y(x) 1+

dx ,

(2)

( y (x))

a

b

qx

=

2π∫ ydl

(3)

a

Где dl =

′

2

dx – дифференциал дуги. Формулы (2) и (3) приведены для

1+ ( y )

кривых L, лежащих выше оси Ох. В общем случае верны формулы:

qx

b

y(x)

′

2

dx

= 2π∫

(4)

1+ ( y (x))

a

qx

b

y(x)

dl

=

2π∫

(5)

a

Если кривая L задана параметрически в виде

x

= x(t)

,

t [α1, α2 ], то (см. § 32)

= y(t)

y

dl =

′

)

2

′

2

dt , поэтому

(xt

+ ( yt )

qx =

α2

y(t)

′

2

′

2

dt

2π ∫

(6)

(x (t))

+ ( y (t))

α1

Для кривой L заданной в полярных координатах уравнением r = r(ϕ), ϕ [α, β],

dl = r(ϕ)

2

′

2

dϕ , (см. § 32), и

+(r (ϕ))

β

2

′

2

qx

= 2π ∫

r(ϕ)sinϕ

(r(ϕ))

dϕ .

(7)

+ (r (ϕ))

α

Пример 1.

y =

R2 − x2 ,

− R ≤ x ≤ R – верхняя полуокружность радиуса R