Упражнения к § 32.

32.11.

y = ex +e−x , (0 ≤ x ≤1) ;

32.12.

x = 3 t2 , y =t −t3 ,(−1 ≤t ≤1) ;

Ответы на упражнения к § 32.

32.1.

ln3

;

32.2. 18 ;

32.3.

3π

;

32.4. 12 ;

2

4

32.5112 ;

32.6. 4π ;

32.7. 2

2 ;

32.8. 416

;

27

27

32.9.

ln3

;

32.10. 8 ;

32.11. e −e−1 ;

32.12. 4;

2

16 (2 2

32.13. 24 ;

32.14.

−1) .

27

T

T

называется кубируемым, если

= v . При этом число

v

= v = v(T )

(1)

v

v(

T

) −v(T ) <ε

(2)

x0 < x1 <... < xn−1 < xn

и обозначим это разбиение τn . Пусть

xk = xk − xk−1 ; k=1, 2,

…, n; = max xk – диаметр разбиения, тогда

k

b

m

m

∫s(x)dx = lim ∑s(xk )

xk = lim ∑v(Vk )

(3)

a

Δ→0k=1

Δ→0k=1

Где v(Vk ) это – объем цилиндрического тела высотой

xk и площадью основания

s(xk ) . Пусть Tk −k -ый слой тела Т между плоскостями, проходящими через

точки (xk−1,0,0) и (xk ,0,0) и перпендикулярными оси Ох.

Так как Т – кубируемо, то Tk – также кубируемо и sk

x ≤ v(Tk ) ≤

x , где

sk

sk = inf s(x) ,

=sup s(x) .

sk

x [xk −1, xk ]

x [xk −1, xk ]

Тогда

n

n

n

xk

∑sk xk ≤ v(T ) = ∑v(Tk )

≤ ∑sk

(4)

k=1

k=1

k=1

n N , или

s(τn ) ≤ v(T ) ≤

(τn )

(5)

s

b

разбиения τn . Поэтому ∫s(x)dx = lims(τn ) = lim

s

(τn ) = v(T ) . Таким образом

a

Δ→0

Δ→0

b

v(T ) = ∫S(x)dx

(6)

x2 + y2 = R2 , x2 + y2 =

z

R2

(ниже параболоида).

h

x2 + y2 = R2

2

2

z

2 следует, что z = h .

Решение. Из системы уравнений

x

+ y

=

R

h

Радиус внешней окружности равен R, радиус внутренней равен R

z

.

Поэтому по формуле (6):

h

h

2

πR2 z

2 h

z

2

z2

h

πR2h

v(T ) = ∫

πR

−

dz =πR

∫

1

−

dz =πR

z −

=

.

0

h

0

h

2h

0

2

(х,0,0) и перпендикулярной оси Ох будет круг радиуса R = f (x),

s(x) =π f 2 (x) , и

по формуле (6):

b

b

Vx = ∫ f 2 (x)dx =π∫ y2dx ,

(7)

a

a

Где y = f (x) .

Аналогично, если 0 ≤ g(x) ≤ f (x), x [a,b], то при вращении вокруг оси Ох

фигуры Ф1 ={(x, y)

a ≤ x ≤b,

g(x) ≤ y ≤ f (x)}

d

Vy =

π ∫x2 ( y)dy

(9)

c

Если же вращать вокруг оси Оу трапецию

Ф = (x, y)

a ≤ x ≤b, 0 ≤ y ≤ f (x) , a ≥ 0,

{

}

b

то

Vy = 2π∫x f (x)dx

(10)

a

Пример 3. Рассмотрим тело Т из примера 1. Оно получается,

если вращать вокруг оси Oz фигуру, ограниченную линиями:

h

2

z =

x

R2

x = R

2

2

z R2

Из первого уравнения найдем х

: x

=

, поэтому по формуле (9):

h

V

=πh

(x2

(z) − x2 (z))dz =πh

R2

− zR2 dz =πR2 h

1

−

z

dz

= πR2h .

z

∫

1

2

∫

h

∫

2

0

0

0

h

h

2

Пример 4. Объем Vz

при вращении фигуры z =

x

из примера 3

R2

x = R

R

R

h

2

h

x4

R

πR2h

Vz = 2π ∫ x z(x)dx = 2π

∫ x

x

dx = 2π

=

.

R2

R2

4

0

2

0

[

0

]

Упражнение 1.

y = x2

. Найти объемы V

x

и

V

y

тел полученных при

, x 1,2

Упражнение 2. x = y; y [1; 4]. Найти объем Vy

тела полученного при

вращении фигуры Ф ={(x, y)

1 ≤ y ≤ 4, 0 ≤ x ≤ y} вокруг оси Оу. Сделать чертеж.

Пример 5. Фигура Ф ограничена линиями y = 2x2 ,

x + y =3. Найти V .

x

1

1

Vx =π ∫ ((3

− x)2

−(2x2 )2 )dx =π ∫ (9 −6x + x2 − 4x4 )dx =

−

3

−

3

2

2

=

9x −3x

2

+

1

x

3

−

4

x

5

1

= 20

5

.

3

5

6

−

3

2

Пусть x = x(t), tA ≤t ≤tB ,

x(tA ) = a, x(tB ) =b , где x(t)

– непрерывно-

b

дифференцируема на промежутке [tA; tB ]. Тогда по формуле (7): Vx =π∫ f 2 (x)dx

=

a

tB

2

′

tB

2

′

=

по формуле (1) § 26

=π ∫ f

(t)

(x(t)) x (t)dt = π ∫ y

x (t)dt ,

Где

x = x(t)

tA

tA

,

tA ≤t ≤tB

– параметрическое задание линии

y = f (x(t)) = y(t)

y = f (x),

x [a, b]. Таким образом

Vx =π

tB

y

2

′

или

∫

(t) x (t)dt ,

tA

tA

2

′

Vx = −π ∫ y

(12)

(t) x (t)dt

Пусть y = y(t), tA ≤t ≤tB , y(tA ) = c, y(tB ) = d , где y(t) – непрерывно-

дифференцируема на промежутке [tA; tB ]. Тогда по формуле (9):

d

2

tB

2

′

tB

2

′

Vy =π ∫x

( y)dy =

по формуле (1) § 26

=π ∫

x

∫

y

( y(t)) y (t)dt = π

(t) x

(t)dt ,

c

y = y(t)

tA

tA

Где

, tA ≤t ≤tB

– параметрическое задание линии

x = x( y(t)) = x(t)

x = x( y),

y [c,d ]. Таким образом

tB

2

′

Vy =π ∫

x

(13)

(t) y (t)dt

Рассмотрим область ,ограниченную простой замкнутой кривой

x = x(t)

,

t1 ≤t ≤t2 ,

x(t1) = x(t2 ), y(t1) = y(t2 ), y(t) ≥ 0

(кривая лежит по одну

(t)

y = y

сторону от оси Ox ). Тогда объем Vx можно находить по формуле (12):

t2

2

′

Vx = −π ∫ y

(t) x (t)dt ,

t1

(кривая обходится так, чтобы область оставалась слева).

Аналогично ,для области ограниченной простой замкнутой кривой

x = x(t)

,

t1 ≤t ≤t2 ,

x(t1) = x(t2 ), y(t1) = y(t2 ), x(t) ≥ 0

(кривая лежит по одну

(t)

y = y

сторону от оси Oy )объем Vy можно находить по формуле (13):

t2

2

′

Vy =π ∫

x

(t)

y (t)dt ,

t1

(кривая обходится так, чтобы область оставалась слева).

= a cos

3

t

Пример 6.

x

,

0 ≤t ≤π :

Дана астроида

= asin3 t

y

y

a

a

a

x

Найдем Vx .

′

=3acos

2

t(−sin t), по формуле (12):

Решение. x

a

0

0

Vx = ∫

y2dx = ∫(asin

3 t)2 (−3acos2 t sin t)dt = −3a3 ∫sin7 t cos2 tdt

=

−a

π

π

= +3a

3

0

6

t cos

2

t d(cost) =3a

3

0

2

t)

3

cos

2

t d(cost) =

32

a

3

.

∫sin

∫(1−cos

105

π

π

Пример 7.

2

вращается вокруг оси Ox .Найти Vx .

Петля кривой x = 2t −t

y =

4t −t3

96

x =t(2 −t)

, при x(0)

= x(2)

= 0 и y(0) = y(2) = 0

,при 0 ≤t ≤ 2 петля

−t2 )

y =t(4

обходится против часовой стрелки. По формуле (12):

2

2

′

2

3

2

64

= −π∫(4t −t

)

(2 − 2t)dt =π

.

Vx = −π∫ y (t) x (t)dt =

35

0

0

Упражнение 3. Петля кривой

−t

2

вращается вокруг оси Oy .Найти Vy .

x = 2t

y = 4t

−t3