СОДЕРЖАНИЕ

Введение.......................................................................................................................................

4

§ 24. Определенный интеграл. ...................................................................................................

5

Упражнения к § 24. ...................................................................................................................

13

§ 25. Формула Ньютона –Лейбница. .......................................................................................

14

Упражнения к § 25. ...................................................................................................................

20

§ 26. Замена переменной, интегрирование по частям в определенном интеграле. ............

22

§ 27. Несобственные интегралы первого рода. ......................................................................

25

Упражнения к § 27. ...................................................................................................................

32

§ 28. Несобственные интегралы второго рода. ......................................................................

35

Упражнения к § 28. ...................................................................................................................

38

§ 29. Эйлеровы интегралы........................................................................................................

40

Упражнения к § 29. ...................................................................................................................

44

§ 30. Вычисление площадей плоских фигур. ........................................................................

45

Упражнения к § 30. ...................................................................................................................

60

§ 31. Полярная система координат. .........................................................................................

65

§ 32. Длина дуги кривой. .........................................................................................................

81

Упражнения к § 32. ...................................................................................................................

85

§ 33. Объемы тел. .....................................................................................................................

87

Упражнения к § 33. ...................................................................................................................

98

§ 34. Площадь поверхности вращения..................................................................................

101

Упражнения к § 34. .................................................................................................................

104

ЛИТЕРАТУРА.........................................................................................................................

106

§ 24. Определенный интеграл.

Определение 1. Пусть функция

y = f (x) определена на

отрезке

[a, b].

Разобьем

[a, b]

на

n

частичных

отрезков

точками

x0 = a,

x1 , ... , xn−1 ,

xn =b; x0 < x1 < ... < xn−1 < xn и

обозначим

это

разбиение

τn .

Пусть

xk

= xk

− xk−1 - длина k – ого частичного отрезка [xk−1, xk ], k =1, 2, ... , n .

Число

= max

xk

- диаметр

разбиения. Выбираем

на каждом отрезке

[xk−1, xk ] точку ck

k

и составим сумму

σ(τn ,

f ) = f (c1)

x1 + f (c2 ) x2 + ... + f (cn )

xn ) .

(1)

σ(τn , f ) называется n – й интегральной суммой Римана.

Функция

y = f (x)

называется

интегрируемой

по

Риману,

если

limσ(τn ,

f ) = I ,

то

есть

I R, ε > 0 δ > 0 : τn ,

такого,

что

<δ

и

Δ→0

набора точек (c1 , c2 , ... , cn )

σ(τn , f ) − I

<ε .

(2)

При

этом

I = limσ(τn , f )

называется

определенным

интегралом

от

Δ→0

функции y = f (x)

на отрезке [a, b]

b

и обозначается ∫ f (x)dx . Таким образом

b

a

∫ f (x)dx = limσ(τn , f ) .

(3)

a

Δ→0

a

a

b

Будем считать, что ∫ f (x)dx = 0

и ∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx .

b

a

b

a

n

n

xk = lim(b − a) =b

Пример 1. ∫1dx = lim

∑ f (ck )

xk = lim ∑

− a .

a

Δ→0 k=1

Δ→0 k=1

Δ→0

[a, b],

Пример

2.

Пусть

функция

y = f (x)

непрерывна

на

отрезке

Доказательство.

Предположим, что

f (x) - неограничена на [a, b].

Пусть

b

∫ f (x)dx = I и пусть ε

> 0. Из (2) следует, что δ =δ(ε) , такое что

a

I −ε <σ(τn , f ) < I +ε -

(4)

для любой σ(τn , f ) у которой <δ , то есть эти интегральные суммы σ(τn , f ) -

ограничены.

Причем

неравенство

(4) выполнено

при любом выборе

точек

c1 , c2 , ... , cn

из соответствующих отрезков.

Пусть

C0 = (c1 , c2

, ... , cn )

- один из

таких наборов точек. Так как

f (x)

-

неограничена на

[a, b],

то

она

неограниченна по крайней мере на одном из частичных отрезков. Пусть,

например,

это

будет

отрезок

[x0 , x1].

Рассмотрим

наборы

C

= (c(m) , c , ... , c ), m =1, 2, ...,

где lim

f (cm ) =∞ ,

тогда, так как

c

, ... , c -

0

1

2

n

m→∞

1

2

n

интегрируемости функции.

Пример 3.

Рассмотрим функцию Дирихле

1, x Q

(см. пример 3 §5) на отрезке [a, b].

D(x) =

x R −Q

0,

Тогда τn

сумма σ(τn , D) = 0, если числа c1 , c2 , ... , cn

- иррациональные, и

σ(τn , D) =b −a ,

если

c1 , c2

, ... , cn -

рациональные. Поэтому limσ(τn , D) - не

существует и функция D(x)

- неинтегрируема.

Δ→0

Определение 2.

Пусть функция y = f (x) определена на отрезке [a, b] и

ограничена на этом отрезке. Пусть τn - разбиение отрезка [a, b].

Пусть m =inf f (x), M

=sup f (x) , тогда

k

x [x

,x

]

k

x [x

,x

]

k −1

k

k −1

k

n

n

xk

s(τn ) = ∑mk xk

и s(τn ) = ∑Mk

(5)

k=1

k=1

(τ5 ) .

Рис.4.Верхняя сумма Дарбу

s

Суммы Дарбу являются функциями, определенными на множестве всех

разбиений τ отрезка [a, b].

Свойства сумм Дарбу.

1.

s(τn ) ≤σ(τn , f ) ≤

(τn ) .

s

до τn

2.

Если

измельчить

разбиение τn

добавляя

новые

точки,

то

1

s(τn ) ≤ s(τn ) и

(τn ) ≤

(τn ) .

s

s

1

1

[a, b],

3.

Если

τ(1) и τ(2)

- два произвольных

разбиения

отрезка

то

s(τ(1) ) ≤

(τ(2) ) .

s

4.

Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a, b] функция y = f (x) была

интегрируема, необходимо и достаточно, чтобы

ε > 0 τn :

(τn ) − s(τn ) <ε ,

(6)

s

8

b

f (x)dx = limσ(τn , f ) ,

где σ(τn , f ) - любая последовательность

∫

a

Δ→0

→0 .

интегральных сумм, у которой

1

1

3

2 3

n 3

Тогда s(τn ) =

2 +

2 +

+ ... +

2 +

n

+

n

=

n

n

1

=

((2n +1)3 + (2n + 2)3

+... +(2n + n)3 ).

4

n

Воспользуемся формулой: s(n) =13 + 23 + ... + n3 = (1+ 2 + ... + n)2 . Тогда

(τn ) = (s(3n) − s(2n))

1

=

1

((1+ 2 + ... +3n)2 −(1+ 2 + ... + 2n)2 ) =

s

n4

n4

(3n +1))2

2n)2

1

(3n

((2n +1)

1

(65n

2

+38n +5) .

=

−

=

n4

4

4

4n2

s(τn ) =

1

3

1 3

n −1 3

1

(65n

2

−38n +5)

2

+ 2 +

+ ... + 2 +

=

n

4n

2

n

n

19

19

s − s =

. Пусть ε > 0, тогда если

+1, то соотношение (6) выполняется,

n

n >

ε

y = f (x) интегрируема.

поэтому

3

1

2

65

3

∫x

dx = lim

(65n

−38n +

5) =

.

4n

2

4

2

n→∞

Теорема 2. а) Пусть функция y = f (x) - непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда

y = f (x)

- интегрируема на этом отрезке.

б)

Пусть функция y = f (x) - кусочно-непрерывна на отрезке [a, b] (имеет

на

отрезке

конечное

число

точек

разрыва

1-

ого

рода).

Тогда

y = f (x)

-

b

интегрируема

на этом

отрезке.

При

этом

∫ f (x)dx

не зависит

от значений

функции в точках разрыва.

a

[a, b],

в) Пусть

y = f (x)

-

монотонна

на

отрезке

тогда

y = f (x)

-

интегрируема на этом отрезке.

3

1

Пример

5.

Найти

интеграл

dx

, рассматривая его

как

предел

∫

x

интегральных сумм.

1

[1, 3]

на

n

отрезков

так,

чтобы

точки

Решение.

Разобьем

отрезок

образовывали геометрическую прогрессию:

= q2 , ... , x

= qn =3

1

x

=1, x = q, x

q =3n ,

0

1

2

n

x = q −1,

x

= q2 − q,

x

= q3

− q2 , ... ,

x

= qn

−qn−1 ,

1

2

3

n

f (x) = 1 - монотонно убывает,

f (x ) =1, f (x ) =1/ q, f (x ) =1/ q2 , ... , f (x ) =1/ qn .

x

0

1

2

n

1

1

1

Тогда

(τn ) =1 (q −1) +

(q2

− q) +

(q3 −q2 ) +... +

(qn − qn−1) = n(q −1) , и

s

q

q2

qn−1

3 dx

1

1

3n −1

= lim n(q −1) = lim

n (3n −1) = lim

=

см.формулу(5) §4

= ln3 .

∫

x

1

1

n→∞

n→∞

n→∞

y = x3, x

[

n

Упражнение 1.

0; 1 . Найти s

и

, разбивая отрезок на n равных

s

]

1

отрезков.

Найти

∫x3dx .

Указание.

Использовать

формулу:

0

13 + 23 + ... + n3 = (1+ 2 + ... + n)2 .

1

3

Упражнение2.

Найти интегралы ∫(1+ x)dx; ∫(1+ x)dx рассматривая их как

0

2

b

1. ∫dx =b − a (см. пример 1).

a

y = g(x) - интегрируемы на [a, b],

α, β R ,

2. Пусть функции y = f (x) и

тогда y =α f (x) + β g(x)

- также интегрируема на [a, b]

и

b

b

b

∫(α f (x) + βg(x))dx =

α∫ f (x)dx + β∫g(x)dx (линейность интеграла).

(7)

a

a

a

Доказательство. По формуле (1):

n

n

n

σ(τn ,α f + β g) = ∑(α f (ck )

+ βg(ck )) xk =α ∑ f (ck ) + β ∑ g(ck ) =

k=1

k=1

k=1

=α σ(τn , f ) + β σ(τn , g) , τn . По формуле (3):

b

∫(α f (x) + βg(x))dx = limσ(τn ,α f + βg) = lim(α σ(τn , f ) + β σ(τn , g)) =

a

Δ→0

Δ→0

b

b

=α∫ f (x)dx + β∫g(x)dx , что и требовалось доказать.

a

a

функция y = f (x) интегрируема на

3. Аддитивность интеграла. Если

отрезке [a, b]

и a < c <b , то f (x) интегрируема на [a, c] и [c, b] и

b

c

b

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx .

(8)

a

a

c

Пусть

ε > 0

и τn разбиение [a, b] такое , что

s

(τn ) − s(τn ) <ε

(см. формулу

(6)). В разбиение

τn

можно добавить

точку c ,

если ее там нет, при этом

полученное разбиение также будет удовлетворять неравенству (6). Тогда

s

(τn ) − s(τn )

на [a, b] =

s

(τn ) − s(τn )

на [a, c] +

s

(τn ) − s(τn )

на [c, b]

<ε ,

поэтому и

ограничение разбиения

τn

на [a, c]

и [c, b]

будут удовлетворять неравенству (6)

и, следовательно

(см. соотношение (6)) ,

y = f (x) будет интегрируема на [a, c] и

[c, b]. Будем измельчать разбиение τn так, чтобы

→0 :

σ(τ

n

, f )

на [a, b]

=σ(τ

n

,

f )

на [a, c]

+σ(τ

n

, f )

на [c, b]

limσ(τ

n

, f )

на [a, b]

=

Δ→0

b

c

b

= ∫ f (x)dx =

∫ f (x)dx +

∫ f (x)dx что и требовалось доказать.

a

a

c

[a, b]

и f (x) ≥ 0, x [a, b], тогда

4. Пусть y = f (x)

-

интегрируема на

b

f (x)dx = limσ(τn , f ) ≥ 0 .

Доказательство. σ(τn ,

f ) ≥ 0 τn ∫

a

Δ→0

[a, b]

5. Пусть

y = f (x)

и

y = g(x) - интегрируемы на

и удовлетворяют

b

b

неравенству f (x) ≥ g(x), x [a, b], тогда ∫ f (x)dx ≥ ∫g(x)dx .

Доказательство.

a

a

b

b

b

f (x) − g(x) ≥ 0, x [a, b] ∫( f (x) − g(x))dx ≥ 0 ∫ f (x)dx − ∫g(x)dx ≥ 0 .

a

a

a

6. Пусть

y = f (x)

-

интегрируема

на [a, b], тогда

y =

f (x)

- также

интегрируема на [a, b] и

a

a

Доказательство следует из неравенства

f (x1)

−

f (x2 )

≤

f (x1) − f (x2 )

.

7.

Пусть

y = f (x)

- интегрируема на [

a, b],

m

= inf

f (x), M = sup f (x) ,

x [a, b]

x [a, b]

b

тогда m(b −a) ≤ ∫ f (x)dx

≤ M (b −a) .

(9)

a

Доказательство. m ≤ f (x) ≤ M , x [a, b] по свойству 5:

b

b

b

b

∫mdx ≤ ∫ f (x)dx ≤ ∫Mdx m(b − a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b −a) .

a

a

a

a

8. Пусть y = f (x) - непрерывна на [a, b], тогда точка c [a, b] такая, что

b

∫ f (x)dx = f (c)(b − a) .

(10)

a

- непрерывна, то она достигает на [a, b]

Доказательство. Так как y = f (x)

m ≤

a

≤ M .

b − a

- непрерывна, то из т.2 § 11 следует, c [a, b] такая, что

Так как f (x)

b