§ 20. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

′

и на этом промежутке ∫v(x) u (x)dx = ∫v(x)d(u(x)). Тогда на этом промежутке

и ∫u(x)d(v(x)) и

∫udv =uv − ∫vdu ,

(1)

формула интегрирования по частям.

Доказательство. d(u v) =udv + vdu ; (см. § 6).

udv = d(u v) −vdu, ∫d(uv) =uv +C (по свойству 1 § 18), ∫vdu

существует по

Пример 1.

∫(2x +1)cos3xdx =

u = 2x +1 du = 2dx

=

cos3x = dv v =

1

sin3x

3

= (2x +1) 1 sin3x − 2 ∫sin3xdx =

1

(2x +1) sin3x +

2 cos3x +C .

3

3

3

9

Пример 2.

∫(2x +1)ln 3xdx =

u = ln 3x du = 1 dx

x

=

dv = (2x +1)dx v = x2 + x

Пример 3. ∫x2 cos xdx =

u = x2

du = 2xdx

= x2

sin x −2∫xsin xdx =

dv = cos xdx v =sin x

=

u = x du = dx

= x2 sin x −2(−xcos x + ∫cos xdx) =

dv =sin xdx

v = −cos x

= x2 sin x + 2xcos x − 2sin x +C .

Пример 4. ∫eax cosbxdx =

u = eax du = a eaxdx

=

dv = cosbxdx v =

1 sin bx

b

=

1 eax sinbx − a

∫eax sin bxdx =

u = eax du = a eaxdx

=

1

b

b

dv = sin bxdx v = −b cosbx

=

1

e

ax

sin bx

−

a

1

e

ax

cosbx +

a

∫e

ax

b

b

−

b

b

cosbxdx .

То есть ∫e

ax

cosbxdx =

1

e

ax

sinbx +

a

e

ax

cosbx −

a2

∫e

ax

cosbxdx .

b

b2

b2

Таким образом, проинтегрировав дважды по частям, получили уравнение,

содержащее ∫eax cosbxdx в правой и левой части. Решив его, получим:

∫e

ax

cosbxdx =

eax (bsin bx + a cosbx)

+C .

a2

+b2

Упражнение 1. Вычислить ∫eax sin bxdx; ∫cos(ln x)dx;∫sin(ln x)dx .

Упражнения к § 20.

Упражнение 20.1. Вычислить неопределенные интегралы.

1.

∫(x + 2)e8x−3dx .

2.

∫(2x −8)e5x+4dx .

3.

∫(3x + 4)75x−3 dx .

4. ∫(8x −3)23x+5 dx .

5. ∫(5x +11)sin 2xdx .

6. ∫(7x −5)cos10xdx .

7.

∫(x2 + 4)e3xdx .

8.

∫(2x2 +5)45x dx .

9.

∫4x2 sin8xdx .

10. ∫(3x2 −8)cos4xdx .

11. ∫(x2 + x)e−xdx .

12. ∫(x3 +3)sin xdx.

13. ∫ln(5 + x)dx .

14. ∫xln(x +1)dx .

15. ∫x2 ln xdx .

16. ∫xln2 xdx .

17. ∫(x2 − x +1)ln xdx .

18. ∫xarctg2xdx .

19. ∫xarcctg xdx .

20. ∫arccos2xdx .

21. ∫arcsin 2xdx .

22. ∫x2 arctg xdx .

23. ∫arctg(x +5)dx .

24. ∫x2 arcctg xdx .

1.

∫xsin2 xdx .

2.

∫x2 sin2 xdx .

3.

∫

x

dx .

4.

∫xctg2 xdx .

2

x

2

− x

cos

5.

∫ln

dx .

6.

∫sin(ln x)dx .

7.

∫xarctg2 xdx .

8.

∫ 1− x arccos xdx .

2

+ x

45

9. ∫arcsin x dx .

10. ∫

x arctg x

dx .

x +1

1+ x2

Ответы на упражнения к § 20.

20.1. 1.

2

xsin5x

−

x2

−21

cos5x +C .

2.

e5x+4 (10x −42)

+C .

25

5

25

3.

3x + 4

75x−3 −

3

75x−3

+C .

4.

8x −3

23x+5 −

8

23x+5

+C .

5ln 7

25ln2

7

9ln2 2

3ln 2

5.

−(5x +11)cos2x + 5sin 2x

+C .

6.

(7x −5)sin10x

+ 7cos10x +C .

e3x

2

4

45x

10

100

7.

(9x

2

−6x +38) +C .

2

x

1

8.

2x

+5 −

+

+C .

27

5ln 4

5ln 4

25ln

2

4

9.

1

(8xsin8x +cos8x −32x

2

cos8x)

+C . 10.

3xcos4x

+

sin 4x(24x2 −67)

+C .

64

8

32

11. −x2e−x −3xe−x −3e−x +C .

12. 2xsin x −(x2 +1)cos x +C .

13. ln(5 + x)(5 + x) − x +C .

14.

x

2

ln(x +

1) −

x

2

+

x

−

1

ln(x +1) +C .

2

4

2

2

x3

x3

15.

ln x −

+C .

16.

x2

ln2 x −

x2

ln x +

x2

+C .

3

9

2

2

2

4

17.

x3

x2

x3

x2

− x +C .

18.

x

arctg 2x −

x

+

1

arctg 2x +C .

−

+ x ln x −

+

2

4

8

3

2

9

4

19.

x2

arcctg x +

x

+

1

arcctg x +C .

20.

x arccos2x −

1

1− 4x

2

+C .

2

2

2

2

x3

21. x arcsin 2x +

1

1−4x2 +C .

22.

arctg x −

1 x2

+

1 ln(x2 +

1) +C .

2

3

6

6

23. xarctg(x +5) −

1 ln

x2 +10x + 26

+5arctg(x +5) +C .

x3

x2

2

arcctg x +

1 ln(x2 +1) +C .

24.

−

3

x2

6

6

x3

x2

20.2. 1.

−

x

sin 2x −

1

cos2x

+C .

2.

−

sin 2x +

x

cos2x +

1

sin 2x +C .

4

4

8

6

4

4

8

x2

3.

x tg x +ln

cos x

+C .

4. ln

sin x

− x ctg x −

+C .

2

5. xln

2 − x

4 − x2

+C .

x

−2ln

6.

sin(ln x) −cos(ln x) +C .

2 + x

2