Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ. Ч. 2..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.15 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

sin 2x

cosαx cos βx = 12 (cos(α + β)x +cos(α − β)x). sinαx sin βx = 12 (cos(α − β)x −cos(α + β)x).

Пример 7. ∫sin x cos2 3xdx = 12 ∫sin x(1+cos6x)dx =

=12 ∫sin xdx + 12 ∫sin x cos6xdx = −12 cos x + 14 ∫(sin7x −sin5x)dx =

=−12 cos x − 281 cos7x + 201 cos5x +C .

Упражнения к § 23.

Упражнение 23.1. Вычислить неопределенные интегралы.

∫

3. ∫

+3cos x −

5sin x

3 + 2cos x −sin x

5 −3cos x

∫

7 +6sin x −5cos xdx .

∫6sin x +cos xdx .

+ 4sin x

1+cos x

∫

2tg x +3

dx .

9. ∫

+3cos2 x

sin2 x + 2cos2 x

4sin2 x −5cos2 x

10.

∫

sin 2x

dx .

11.

∫

12.

∫cos4 3xsin2 3xdx .

sin4 x +cos4 x

cos xsin3 x

cos3 x

13.

∫5 sin4 x cos3 xdx .

14.

∫cos4 xsin3 xdx .

15.

∫

dx .

3 sin2 x

3sin3 x

16.

∫

dx .

17.

∫

cos

x sin

xdx .

18.

∫sin

2xcos

2xdx .

cos4 x

19.	∫sin3xcos5xdx .	20.	∫cos7xcos9xdx .
22.	∫tg2 (5x +1)dx .	23.	∫ctg4 xdx .
25.	∫ctg3 3xdx	26.	∫cos3 4xdx .
28.	∫(1−cos3x)2 dx .	29.	∫		tg x	.
28.	∫(1−cos3x)2 dx .	29.	∫	1	−ctg2 x	.
				1	−ctg2 x

21. ∫tg5 4xdx .

24. ∫(1−ctg x)2 dx . 27. ∫cos4 xdx .

30. ∫sin4 x + 4cos4 x dx .

Ответы на упражнения к § 23.

23.1.

−4

1 ln

+C . 2. arctg

−1

2 arctg

5tg

+ 4

+C .

−1

+C . 3.

+C .

arctg

2tg

5. 12tg	x	+6ln	tg2	x	+1	−5x +C .

2			2

6. 6ln				tg2			x	+1			− tg			x	+ x +C .					7.	1 arctg tg							x		+C .
6. 6ln				tg2				+1			− tg				+ x +C .					7.	1 arctg tg									+C .
						2							2								2						2
8. ln			tg2 x +3									3	arctg tg x +C .							9.		1				2tg x −						5		+C .
									+															ln

																					4		5			2tg x +						5
										2							2
										2							2
10.	arctg(tg2 x) +C .																			11.			1			+ln					tg x		+C .
																							1
																						2tg2 x
12.		1			x −			1		sin12x +							1	sin3	6x +C .			2tg2 x
		1						1									1
	16					192										144
	16					192										144
13.	5 5					9		x		5 5			19				x +C .			14. −			3 3				5		x −			3			+C .
	9				sin				−				sin												sin
	9				sin				−		19		sin										5		sin							3 sin x

15. 33 sin x − 33 sin7 x +C . 7

17. 113 3 cos11 x − 53 3 cos5 x +C . 19. cos24 x − cos816 x +C .

21. 461 tg4 4x − 18 tg2 4x +6x +C . 23. −13 ctg3 x +ctg x + x +C .

25.−16 ctg2 3x − 13 ln sin3x +C .

27.83 x + 14 sin 2x + 321 sin 4x +C .

29.14 ln tg4 x −1 +C .

16.cos13 x − cos3 x +C .

18.161 x −1281 sin8x + 961 sin3 4x +C .

20.sin42x − sin1632 x +C .

22.15 tg(5x +1) − x +C .

24.−2ln sin x −ctg x +C .

26. 14 sin 4x −121 sin3 4x +C .

28.32 x − 23 sin3x +121 sin 6x +C .

30.1 arctg tg2 x +C .

2 2

Приложение.

Самостоятельная работа №1

Неопределенный интеграл.

Работа состоит из шести вариантов. К пяти первым приведены ответы. Шестой приводится с решением.

Вариант 1

Вычислить интегралы:

∫

tg(3x) +1

∫

3. ∫

cos

3sin x + cos x

+ x

∫x2 ln x dx

∫

6. ∫

(

x −1)dx

− x

x − 4x + 2

∫x

1 + xdx

∫ecos 2 x sin 2xdx

9*. ∫

+ 4x +13)

Вариант 2

Вычислить интегралы:

∫

2. ∫

xdx

3. ∫

x2 dx

x(x

−3x + 2)

x +1

3 + x

∫

∫ln(2x +1)dx

6. ∫

+3x +1

3x − 4

∫e

∫sin

3xdx

. ∫

xarctgxdx

(1+ x

)

Вариант 3

Вычислить интегралы:

1. ∫			x − 3	dx	2. ∫	4	ln xdx	3. ∫	x4 dx
	x	2	+ 5x + 4				x		3	+ x	5

4. ∫

x + 2

∫x sin 5xdx

6. ∫

x(x −3)(x + 4)

x + 2

7. ∫

∫

. ∫

ln(x +

1+ x

)dx

+ 2 cos x

+1)

Вариант 4

Вычислить интегралы:

∫

xdx

2 − x

(x +1)(x

+ 4)

5x + x

+ 4

∫xe3x dx

∫

3 x

∫tg 3 xdx

x + 4

∫

∫3

cos x sin xdx

9*. ∫

x ln

xdx

4 + x

−1)

Вариант 5

Вычислить интегралы:

1. ∫

2x +3

2. ∫

x +1dx

3. ∫x

+ 2dx

+ x + 2

4. ∫cos3 2xdx

5. ∫

6. ∫arcsin 2xdx

sin

ctg

7. ∫

8. ∫

. ∫

(x2

−1)dx

+ x

(x −1)(x

+3x

− 2x +3)

Вариант 6

Вычислить интегралы:

1. ∫

4 − 2x

2. ∫

−3x − 4

4. ∫

5. ∫

sin

7. ∫

8. ∫

− x

+ x

−1

x ln(x −1)dx

3. ∫2x3 x2 dx

6. ∫

xdx

2 + x

x + 2

. ∫

ln(ex

+1)

− 2

Ответы к варианту 1.

−3 −

2 (tg3x +1)2

−

−3 +

3. Указание.

−

; ответ: −

−ln

+ln

x +1

x3 + x2

x +1

1 x3 ln x −

1 x3

1 arcsin

x2 −4x + 2 +ln

(x −2)+ (x −2)2 −2

2 (x +1)2 −

2 (x +1)2 +c

8. Указание.

∫

d (x + 2)

∫

d (x + 2)

(

)

+9x +13

((x + 2) +9)

(x + 2)3

+ 2)2

−1

Ответ: 19 (1+9(x + 2)−2 ) 2 +c

Ответы к варианту 2.

	1		1			1		2		1			3		1	−1
								2							1	−1
1. Указание.		=t . Ответ: −		ln	2				−3		+1	−		ln	x			+c
															x
	x		2							x			4		1		1
	x		2			x				x			4		1	−	1
							67								x	−	2
							67

				7				5							1				1													1
2.			1 x6				−	1 x6 +							1 x2				− x6 + arctg x6																+c
		7						5							3
3.				1			arctg						x3			+ c
3.		3		3			arctg							3		+ c
		3		3										3
																									1
																									1
4.			1 ln			2x2 +					3x +1							−	3 ln				x + 2							+c
																							x + 2
																								x +1
		4																	4
		4																	4
												− x + 1 ln
5.			xln		2x +1																2x +1							+c
5.			xln		2x +1																2x +1							+c
		2													2
6.				3x −4 +c											2
6.				3x −4 +c
		3
7.			1 ex6				+c
		6
8.		−		1 cos3x + 1 cos3 3x +c
				3							9
9.		Указания. arctgx =t . Ответ: −																														1							1			+c
9.		Указания. arctgx =t . Ответ: −																															t cos2t −						2	sin 2t		+c
																																4							2
Ответы к варианту 3.																																		2.			4 (ln x)4			+c		3. 1 ln x5 +3 +c
1. 1 ln x2 +5x + 4 −11ln x +1 +c																																		2.			4 (ln x)4			+c		3. 1 ln x5 +3 +c
2															6																						5		5			5
																				x + 4					1
																				x + 4
																																5					1
														x +3											−6											−
4. Указание.														x +3									=		−6				+				21					14
4. Указание.									x(x −3)(x + 4)														=						+
									x(x −3)(x + 4)																		x				x −3 x + 4
Ответ: −1 ln								x		+	5				ln		x −3					−	1			ln				x + 4				+c
											5												1

				6							21												14												2		1				1
				6							21												14
5. −	1										1			sin5x															6.			3											+c
	1										1																					3
	5	xcos5x −									5								+ c													2		x3			−6x3 +12ln				x3 + 2
	5										5																					2

3tg

7. 2

3arctg

8. 2e x +c

ln (x 1+ x2 )

ln (x + 1+ x2 )

1 −

9. Указания. ∫

= ∫

= −∫ln (x +

1+ x

)d 1

1 2

(

)

−

Ответ: −ln (x +

1+ x

) 1

ln (1

+ x

)+c

Ответы к варианту 4.

1. −

2 − x2

+ c

x −1

2. Указание.

−

(x +1)(x2 + 4)

x +1

x2 + 4

Ответ: 15 ln x +1 −101 ln (x2 + 4)+101 arctg 2x +c

3.	x	2	+5x + 4 −	5	ln		5	+		5	2		9	+c
3.	x		+5x + 4 −	2	ln	x +	2	+	x +	2		−	4	+c
				2			2			2			4

	1 xe3x −			1 e3x													2			1
4.	1 xe3x −			1 e3x	+c								5. x −2x3					+16x3 −64ln					3	x + 4			+c
	3			9									1
	3			9
	1	2		1				2	x)+c							3					6
	1	2		1				2								3					6
6.	2 tg		x −	2 ln(1+tg								7.	3 ln	x			+		4 + x			+c
	2 tg			2 ln(1+tg									3 ln	x
8. −3 (cos x)3 +c
				4
	4
						xln x												−	1						−	1		−	1	dx
9. Указание. ∫						xln x					dx = −∫ln xd (x2				−1)				2	= −ln x(x2			−1)			2 + ∫(x2 −1)			2	dx
9. Указание. ∫					(					3	dx = −∫ln xd (x2				−1)				2	= −ln x(x2			−1)			2 + ∫(x2 −1)			2	x
						x2 −1				2																				x
								)
Ответ: −ln x(x					2	−1)	−1				1
Ответ: −ln x(x						−1)		2 −arcsin				+ c
											x
																69

Ответы к варианту 5.

1. ln (x

+ 2)

x +

+ x

arctg

+ c

x +1 −1

2. 2 x +1 +ln

(3x

+ 2)6 +c

x +1 +1

1 sin 2x −

1 sin3 2x +c

ctg

+ c

5. −3ln

7. 14 ln(x4 +

1+ x8 )+c

6. xarcsin 2x + 12 (1− 4x2 )2 +c

(x −3)

8. Указание.

−

−1)(x2 −

2x +3)

x −1

2 x2 −2x +3

(

)

Ответ: 2 ln

x −1

− 4 ln (x

−2x +3)+

arctg

x −1

9.Указание. ∫

x2 −1

dx = ∫

xdx

− ∫

x x

4 2

+3x

x x

+3x

∫

d (x2 )

−

∫

d (x2 )

∫

d (x−2 )

+3x

−4

+3x

−2

+3x

−4

+3x

−2

Ответ:

−

−2

3 2

−

Решение к варианту 6.

4 −2x

4 −2x = −(2x −3)

1−(2x −3)

1. ∫

dx =

= ∫

dx = ∫

−

x2 −3x −4

d (x2 −3x −4)

2x −3

d x −

−∫

= ∫

− ∫

x2 −3x −4

3 2

x2 −3x − 4

x −

−

					3	−	5
	1			x −		−
=			ln		2		2	−ln	x2 −3x −4	+c
							2
		5
2					3	+	5
					3		5
		2		x −	2		2
		2			2		2

u = ln

(

x −1 du =

2. ∫xln(x −1)dx =

)

x −1

ln(x −1)− 12 ∫

dv = xdx v =

x2 (x −1)

= −

−

1 +

ln(x −1)−

+ 1 ln(x)−

1 ln(x −1)+c

x2 (x −1)

−1

3.∫2x3 x2dx = 13 ∫2x3 d (x3 )= 13 ln2x23 + c

4.∫sindx4 x = −∫dsin(ctgx2 x ) = −∫(1+ctg2 x)d (ctgx)= −ctgx − 13 ctg3x +c

5. ∫

xdx

1 ∫

d (x2 )

= 1 ln (x2

2 + x4 )+ c

2 + x

xdx

x + 2 =t

(t2 −2)2tdt

= 2∫(t2 −

2)dt = 2 t3

6. ∫

x =t2 − 2

= ∫

−4t +c =

x + 2

dx = 2tdt

= 2 (x + 2)

−4(x + 2)2

∫

dx =

1 1

1 x +1

x3 − x2 + x −1

x2 (x −1)+(x −1)

(x −1)

(

x −1

x2 +1

)

x +1

xdx

= 2

∫

dx = 2 ln

x −1

+ 2

∫

2 ln

x −1

4 ln(x

+1)+ 2 arctgx +

x −1

x2 +1

8. ∫

dx = 1

∫

d (x

−2)

x4 −2 +c

−2

9. ∫ln (exx +1)dx = ∫e−x ln (ex (1+e−x ))dx = ∫e−x (x +ln (1+e−x ))dx = e

= −∫xd (e−x )− ∫ln(1+e−x )d (e−x +1)= −(xe−x − ∫e−xdx)− ∫ln(1+e−x )d (1+e−x )=

	t =1+ e−x
= −xe−x −e−x − ∫ln tdt =	u = ln t du = dt	= −xe−x −e−x −t ln t + ∫dt =
	t
	dv = dt v = t

−xe−x −e−x −(1+e−x )ln (1+e−x )+(1+e−x )+c

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2025915.91 Кб1Математические модели в транспортных системах.pdf
#
24.11.20251.68 Mб0Математические модели и методы в горном производстве.pdf
#
28.12.20254.98 Mб0Математические олимпиады БПИ–БГПА–БНТУ.pdf
#
24.11.20251.63 Mб2Математический анализ. Функции нескольких переменных. Курс лекций для студентов инженерно-технических и экономических специальностей.pdf
#
28.12.2025793.46 Кб0Математический анализ. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.15 Mб1Математический анализ. Ч. 2..pdf
#
24.11.20251.03 Mб1Математический анализ. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.13 Mб1Математический анализ.pdf
#
28.12.2025533.95 Кб0Математическое моделирование в приборостроении. Моделирование механических колебаний.pdf
#
28.12.20252.08 Mб0Математическое моделирование производственных процессов-1.pdf
#
24.11.20252.57 Mб0Математическое моделирование производственных процессов.pdf