Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ. Ч. 2..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.15 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

	x −2 = 2sin t, −	π	≤t ≤	π
	x −2 = 2sin t, −	π	≤t ≤	π
		2		2
	x −2						2
=	t = arcsin				= ∫	4 −4sin		t 2costdt =
=	t = arcsin	2			= ∫	4 −4sin		t 2costdt =
		2
	d(x −2) = 2costdt

=4∫cos2 tdt = 2∫(1+cos2tdt) = 2t +sin 2t +C =2arcsin x −2

=2arcsin x −2 + 2sin arcsin x −2 cos arcsin x −2

2 2 2

		x −2		+C =
+sin	2arcsin
			2

+C =

= 2arcsin	x −2		+(x −2) 1−	(x −2)2	+C .

		2		4

	x2			x =sh t			sh2 t			2
				x =sh t
Пример 9. ∫			dx =	dx = ch tdt		= ∫			chtdt = ∫sh		tdt =
Пример 9. ∫	1+ x2		dx =	dx = ch tdt		= ∫	1+sh2 t		chtdt = ∫sh		tdt =
	1+ x2			t = arsh x			1+sh2 t
				t = arsh x
=│см. § 4, 4.1│= =		1	∫(ch 2t −1)dt =		1 sh 2t −			1 t +C =
		2			4			2

=14 sh(2arsh x) − 12 arsh x +C = 12 sh(arsh x) ch(arsh x) − 12 arsh x +C =

=12 x 1+ x2 − 12 arsh x +C (сравни с примерами 7; 5).

Упражнения к § 22.

Упражнение 22.1. Вычислить интеграл, применяя соответствующую подстановку.

4	x + x	dx . 2.		(3 x +1)( x +1)				2x +1	+ 3 2x +1	dx .
1. ∫			∫			dx . 3.	∫
	x +1			6	x5			2x +1

4.	∫			6 x −1				dx .
4.	∫	3	x −1 +			x −1		dx .
		3	x −1 +			x −1
7.	∫		x		dx .
7.	∫	1	− 4		dx .
		1	− 4	x
10. ∫			1− x2			dx .
10. ∫			x4			dx .
			x4
13. ∫				dx			.
13. ∫							.
			(1+ x2 )3

∫

x +

3 x

dx .

∫

x +1+ 3 (x +1)2 + 6 x +1

dx .

x +

(x +1)(1+ 3

x +1)

∫

1− x

dx .

∫

3 1+

6 x

dx .

+ x

11. ∫

+ 4

dx .

12.

∫

x2 +9

dx .

14. ∫

(4 − x2 )3

15.

∫x3

9 − x2 dx .

16.	∫		dx	.
		x
			1− x2
19.	∫		dx		.
		x	x2 − x −1

22.	∫		2x +5			dx .
			4x2 +8x +9

25.	∫		3x + 4			dx .
			x2 + 6x +13

17.	∫	dx		.		18.	∫	dx	.
		(x +1) x2						x x2 + x +1
			−1
20.	∫	dx			.	21.	∫	dx		.
		(x +1) x2						(x +1) 1+ x − x2
			+ x −1

23.	∫	2x −8	dx .	24.	∫
		1− x + x2

26.	∫	4x +1	dx .	27.	∫
		2 + x − x2

	2x −10	dx .
	1+ x − x2	dx .
	1+ x − x2

x −7		dx .
3x2	− 2x +1

22.1.				Ответы на упражнения к § 22.
22.1.	4 4
		x3				+ 4arctg 4 x +C .
1. x +		x3	−2	x −44 x + 2ln	x +1	+ 4arctg 4 x +C .
	3
	3
2. x +	3 3	x2	+ 2	x +66 x +C .
	2

3.12 (2x +1) + 53 6 (2x +1)5 +C .

4.23 3 (x −1)2 −2 x −1 +33 x −1 −66 x −1 +6ln 6 x −1 +1 +C .

x +

6 6

x5 − 3 3

x2 −2

x +33 x +6

6 x −

1 ln

x +1

−6arctg 6 x +C .

3 3

(x +1)2 + 6arctg 6 x +1 +C .

−4 4 x5

− x − 4 4 x3 −2

x −44 x −

+C .

4ln

1− 4 x

1− x

1− x2

− 2arctg

+C .

1+ x

10.

−1

(1− x2 )3

+C .

11.

4 + x2 +ln

2 −

4 + x2

+C .

2 +

4 + x2

12.

x2 +

9 + 3 ln

3 − x2 +9

+C .

13.

+C .

3 + x2 +9

1+ x2

14.

−

(4 − x2 )5

+C .

15.

(9 − x2 )5 −3

(9 − x2 )3 +C .

20x5

16.

+C .

17.

x −1

+C .

1+ x2

x +1

18.

−ln

− x

−

19. −arcsin

x + 2

+C .

20.

x +3

+C .

21. arcsin

3x +1

+C .

−arcsin

5(x +1)

22.

4x2 +8x +9 +

3 ln

x +1

4x2

+8x +9

+C .

1− x + x2

x2 − x +1

+C .

23.

−7ln

x −

24.

1− x + x2

−7ln

x −

x2 − x +1

+C .

25.

x2 +6x +13 −5ln

x +3 +

x2 +6x +13

+C .

26.

−4

2 + x − x2 +3arcsin

2x −1

+C .

27.

3x2 − x +1 −

x −

x2 −

2 x +

+C .

§ 23. Интегрирование тригонометрических выражений.
При вычислении интегралов вида ∫R(sin x, cos x)dx ,	(1)
где R(u, v) - рациональная функция часто используют те	или иные
подстановки, делающие подинтегральную функцию рациональной.
п 1. Универсальная тригонометрическая подстановка.

С помощью подстановки tg 2x =t интеграл (1) – рационализируется. При

этом

2 tg

1− tg

2 x

1−t2

2dt

sin x =

, cos x =

; x = 2arctgt; dx =

. (2)

2 x

1+t2

+ tg

1+ tg

2 x

Пример 1.

∫7

+6cos x −7sin x

применим формулы (2)

2dt

d(t

−7)

= ∫

1+t2

= 2∫

6(1−t2 )

−14t +13

(t −7)2 −

7 +

−7

1+t2

(t −7) −6

t −13

−13

+C =

+C .

= 2

6 ln

t −1

6 ln

(t −7) +6

−1

Упражнение 1. ∫

sin3 x

В некоторых случаях удобно применять другие подстановки – получаются более простые интегралы.

п.2. ∫R(sin x, cos x)dx , где R(−sin x, cos x) = −R(sin x, cos x) : cos x =t . R(sin x, −cos x) = −R(sin x, cos x) : sin x =t .

В частности, если ∫R(sin x, cos x)dx =sinm x cosn x , где m и n - целые и хотя

бы одно из них нечетное.

Пример 2. ∫sin5 x cos2 xdx = R(−sin x, cos x) = −R(sin x, cos x) = = −∫sin4 x cos2 xd(cos x) = −∫(1−cos2 x)2 cos2 xd(cos x) = cos x =t =

= −∫(1−t2 )2 t2dt = −∫(t2 −2t				4 +t6 )dt = −	1t3	+	2 t5	−	1 t7	+C =
	1 cos3 x +	2 cos5 x −	1 cos7		3		5		7
= −	1 cos3 x +	2 cos5 x −	1 cos7	x +C .
	3	5	7
				61

Упражнение 2. ∫

sin xdx

sin2 x −2cos2 x

Упражнение 3. ∫

cos3 x

п.3. ∫R(sin x, cos x)dx , где R(−sin x, −cos x) = R(sin x, cos x) : tg x =t .

Пример 3. ∫

R(−sin x, −cos x) = R(sin x, cos x)

1+cos2 x

= ∫

cos

x(2 + tg x)

cos

= ∫

d (tg x)

arctg

tg x

+C;

x ≠

+πn .

x + 2

Пример 4. ∫

R(−sin x, −cos x) = R(sin x, cos x)

sin3 x cos5 x

(1+ tg2 x)3

= ∫

d(tg x)

= ∫

d(tg x)

x cos

tg x =t

= ∫

1+3t2

+3t4 +t6

dt =

+3ln t + 3 t2

1 t4

+C = −

+3ln

tg x

3 tg2 x +

1 tg4 x +C .

= −

2t2

2tg2 x

Пример 5. ∫tg3xdx = ∫tg x tg2 xdx = ∫tg x cos12 x −1 dx =

=∫tg x cos12 xdx − ∫tg xdx = ∫tg xd(tg x) − ∫cossin xxdx =

=12 tg2 x + ∫d(coscos xx) = 12 tg2 x +ln cos x +C .

Замечание. Если R(sin x, cos x) = sinm x cosn x ,										где m, n – целые четные
неотрицательные числа, то применяют формулы понижения степени:
cos2 x = 1 (1+cos2x); sin2 x =						1 (1−cos2x) .
	2					2
Пример 6. ∫sin		4		1	(1	2	dx =	1	∫(1	−2cos2x +cos			2	2x)dx =
Пример 6. ∫sin			xdx = ∫	2	(1	−cos2x)	dx =	4	∫(1	−2cos2x +cos				2x)dx =
				2				4
= 1 x −	1 sin 2x +		1 ∫(1+ cos4x)dx = 1 x −				1 sin 2x +			1x +	1	sin 4x +C .
= 1 x −	1 sin 2x +		1 ∫(1+ cos4x)dx = 1 x −				1 sin 2x +			1x +	32	sin 4x +C .
4	4		8			4	4			8	32
п.4. Интегралы вида ∫sinαx cos βxdx, ∫sinαx sin βxdx, ∫cosαx cos βxdx .
При вычислении можно воспользоваться формулами:
sinαx cos βx =		1 (sin(α + β)x +sin(α − β)x) .
		2
						62

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2025915.91 Кб1Математические модели в транспортных системах.pdf
#
24.11.20251.68 Mб0Математические модели и методы в горном производстве.pdf
#
28.12.20254.98 Mб0Математические олимпиады БПИ–БГПА–БНТУ.pdf
#
24.11.20251.63 Mб2Математический анализ. Функции нескольких переменных. Курс лекций для студентов инженерно-технических и экономических специальностей.pdf
#
28.12.2025793.46 Кб0Математический анализ. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.15 Mб1Математический анализ. Ч. 2..pdf
#
24.11.20251.03 Mб1Математический анализ. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.13 Mб1Математический анализ.pdf
#
28.12.2025533.95 Кб0Математическое моделирование в приборостроении. Моделирование механических колебаний.pdf
#
28.12.20252.08 Mб0Математическое моделирование производственных процессов-1.pdf
#
24.11.20252.57 Mб0Математическое моделирование производственных процессов.pdf

Упражнения к § 22.

§ 23. Интегрирование тригонометрических выражений.